2.4: 西格玛表示法和计算算术平均值

总体均值公式

$$\boldsymbol{\mu}=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} x_{i}\nonumber$$

样本均值的公式

$$\overline{x}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i}\nonumber$$

这个单元是想让你想起你曾经学习过的材料，当时说：“我相信我永远不需要这个！”

以下是总体均值和样本均值的公式。 希腊字母$\mu$是总体均值的符号，$\overline{x}$也是样本均值的符号。 这两个公式都有一个数学符号，告诉我们如何进行计算。 之所以称为西格玛表示法，是因为该符号是希腊语大写字母 sigma:$\Sigma$。 像所有数学符号一样，它告诉我们该怎么做：就像加号告诉我们相加，$x$告诉我们乘法一样。 它们被称为数学运算符。 该$\Sigma$符号告诉我们添加特定的数字列表。

假设我们有来自当地动物收容所的动物样本，我们对它们的平均年龄感兴趣。 如果我们在列中列出每个值或观测值，则可以为每个值或观测值指定一个索引号。 第一个数字将为数字 1，第二个数字为 2，依此类推。

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桌子$\PageIndex{27}$

动物	年龄
1	9
2	1
3	8.5
4	10.5
5	10
6	8.5
7	12
8	8
9	1
10	9.5

每个观察结果都代表样本中的特定动物。 Purr 是头号动物，是一只 9 岁的猫，Toto 是 2 号动物，是 1 岁的小狗，依此类推。

为了计算平均值，公式告诉我们把所有这些数字（在本例中为年龄）相加，然后将总和除以 10，即样本中的动物总数。

头号动物，猫 Purr，被指定为$X_1$，动物编号 2 Toto 通过邓迪指定为$X_2$依此类推，邓迪的动物编号为 10，被指定为$X_{10}$。

公式中的 i 告诉我们要将哪些观测值相加。 在这种情况下，所有这些都是$X_1$通过$X_{10}$哪个。 我们知道要用索引符号、人口的大写$i = 1$$N$和$n$或来添加哪些。 在这个例子中，索引符号是$i = 1$，因为它是一个样本，所以我们在顶部使用一个小$n$$\Sigma$值，即 10。

标准差需要相同的数学运算符，因此回忆一下你过去的知识会很有帮助。

发现年龄总和为 78，除以 10 得出样本平均年龄为 7.8 岁。