2.3：数据中心的衡量标准

数据集的 “中心” 也是描述位置的一种方式。 数据 “中心” 的两个最常用的度量是平均值（平均值）和中位数。 要计算 50 个人的平均体重，请将 50 个权重相加，然后除以 50。 从技术上讲，这是算术平均值。 我们稍后将讨论几何平均值。 要找出 50 个人的中位权重，请对数据进行排序，然后找到将数据分成两个相等部分的数字，这意味着两边的观测值数量相等。 25人的体重低于这个体重，25人的体重比这个体重重。 当存在极值或异常值时，中位数通常是衡量中心的更好方法，因为它不受异常值的精确数值的影响。 均值是最常用的中心测量值。

注意

“平均值” 和 “平均值” 这两个词经常互换使用。 用一个词代替另一个词是常见的做法。 技术术语是 “算术平均值”，从技术上讲，“平均值” 是中心位置。 形式上，数学家将算术平均值称为分布的第一个时刻。 但是，在实践中，在非统计学家中，“平均值” 通常被视为 “算术平均值”。

当数据集中的每个值都不是唯一时，可以通过将每个不同值乘以其频率，然后将总和除以数据值总数来计算均值。 用于表示样本均值的字母是上面有条形的 x（发音为 “\(x\)bar”）:\(\overline x\).

希腊字母\(\mu\)（发音为 “mew”）代表总体平均值。 要使样本均值成为总体均值的良好估计值，要求之一是采集的样本必须是真正随机的。

要了解两种计算均值的方法是相同的，请考虑样本：
1；1；1；2；3；4；4；4；4

\[\overline{x}=\frac{1+1+1+2+2+3+4+4+4+4+4}{11}=2.7\nonumber\]

\[\overline{x}=\frac{3(1)+2(2)+1(3)+5(4)}{11}=2.7\nonumber\]

在第二次计算中，频率为 3、2、1 和 5。

您可以使用表达式快速找到中位数的位置\(\frac{n+1}{2}\)。

字母\(n\)是样本中数据值的总数。 如果\(n\)是奇数，则中位数是排序数据的中间值（从小到大排序）。 如果\(n\)是偶数，则中位数等于在数据排序后将两个中间值相加并除以二。 例如，如果数据值的总数为 97，则\(\frac{n+1}{2}=\frac{97+1}{2}=49\)。 中位数是有序数据中的^{第 49 个}值。 如果数据值的总数为 100，则\(\frac{n+1}{2}=\frac{100+1}{2}=50.5\)。 中位数出现在第 50 和^第 51 ^个值的中间。 中位数的位置和中位数的值不相同。 大写字母\(M\)通常用于表示中位数。 下一个示例说明了中位数的位置和中位数的值。

示例 2.24

表明艾滋病患者服用新抗体药物后存活月数的艾滋病数据如下（最小到最大）：
3；4；8；10；11；12；13；14；15；15；16；17；18；21；22；24；25；26；26；26；27；29；31；32；33；34；34；35; 37; 40; 44; 44; 47;
计算均值和中位数。

回答

解决方案 2.24

均值的计算公式为：

\(\overline{x}=\frac{[3+4+(8)(2)+10+11+12+13+14+(15)(2)+\ldots+35+37+40+(44)(2)+47]}{40}=23.6\)
要找到中位数\(M\)，请先使用位置的公式。 位置是：
\(\frac{n+1}{2}=\frac{40+1}{2}=20.5\)
从最小值开始，中位数位于^{第 20 和第} 21 个值（两个 24）之间：
\(3; 4; 8; 8; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 15; 16; 16; 17; 17; 18; 21; 22; 22; 24; 24; 25; 26; 26; 27; 27; 29; 29; 31; 32; 33; 33; 34; 34; 35; 37; 40; 44; 44; 47;\)

\(M=\frac{24+24}{2}=24\)

示例 2.25

假设在一个有50人的小镇上，一个人每年的收入为5,000,000美元，而另一个49人每人赚30,000美元。 哪个是衡量 “中心” 的更好方法：均值还是中位数？

回答

解决方案 2.25

\(\overline{x}=\frac{5,000,000+49(30,000)}{50}=129,400\)

\(M = 30,000\)

（有49个人的收入为3万美元，一个人的收入为500万美元。）

中位数比平均值更能衡量 “中心”，因为其中 49 个值为 30,000，一个为 5,000,000。 5,000,000 是一个异常值。 30,000 让我们更好地了解数据的中间位置。

衡量中心的另一个标准是模式。 模式是最常用的值。 数据集中可以有多种模式，只要这些值具有相同的频率并且该频率最高。 具有两种模式的数据集称为双模态。

示例 2.26

20 名学生的统计考试分数如下：

50; 53; 59; 59; 63; 63; 72; 72; 72; 72; 72; 76; 78; 81; 83; 84; 84; 84; 90; 93

找到模式。

回答

解决方案 2.26

最常见的分数是 72，出现五次。 模式 = 72。

示例 2.27

五个房地产考试分数分别为 430、430、480、480、495。 该数据集是双峰的，因为分数 430 和 480 各出现两次。

什么时候该模式是衡量 “中心” 的最佳方法？ 以减肥计划为例，该计划在第一周宣传平均减肥为六磅。 该模式可能表明大多数人在第一周减掉了两磅，这使得该计划的吸引力降低了。

注意

该模式既可以计算定性数据，也可以计算定量数据。 例如，如果数据集为：红色、红色、红色、绿色、黄色、紫色、黑色、蓝色，则模式为红色。

计算分组频率表的算术平均值

当只有分组数据可用时，您不知道单个数据值（我们只知道间隔和间隔频率）；因此，您无法计算数据集的精确均值。 我们必须做的是通过计算频率表的平均值来估计实际均值。 频率表是一种数据表示形式，其中显示了分组的数据以及相应的频率。 要计算分组频率表中的均值，我们可以应用均值的基本定义：mean =\(\frac{\text { data sum }}{\text { number of data values }}\) 我们只需要修改定义以适应频率表的限制即可。

由于我们不知道单个数据值，因此我们可以找到每个区间的中点。 中点是\(\frac{\text { lower boundary+upper boundary}}{2}\)。 现在，我们可以将均值定义修改为\(\textbf{Mean of Frequency Table}=\frac{\sum f m}{\sum f}\)其中 f = 区间频率，m = 区间的中点。

示例 2.28

显示了显示布朗特教授上次统计测试的频率表。 找出类均值的最佳估计值。

表 2.24

成绩间隔	学生人数
50—56.5	1
56.5—62.5	0
62.5—68.5	4
68.5—74.5	4
74.5—80.5	2
80.5—86.5	3
86.5—92.5	4
92.5—98.5	1

回答

解决方案 2.28

找到所有间隔的中点

表 2.25

成绩间隔	中点
50—56.5	53.25
56.5—62.5	59.5
62.5—68.5	65.5
68.5—74.5	71.5
74.5—80.5	77.5
80.5—86.5	83.5
86.5—92.5	89.5
92.5—98.5	95.5

• 计算每个间隔频率和中点的乘积之和。 \(\sum f m\)\(53.25(1)+59.5(0)+65.5(4)+71.5(4)+77.5(2)+83.5(3)+89.5(4)+95.5(1)=1460.25\)
• \(\mu=\frac{\sum f m}{\sum f}=\frac{1460.25}{19}=76.86\)

练习 2.28

Maris对玩电子游戏对记忆回忆的影响进行了研究。 作为研究的一部分，她整理了以下数据：

表 2.26

青少年在电子游戏上花费的时间	青少年人数
0—3.5	3
3.5—7.5	7
7.5—11.5	12
11.5—15.5	7
15.5—19.5	9

玩电子游戏的平均小时数的最佳估计值是多少？