2.6：偏度与均值、中位数和模式
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4; 5; 6; 6; 7; 7; 7; 7; 7; 7; 7; 7; 8; 8; 8; 8; 8; 8; 8; 9; 10
该数据集可以用以下直方图表示。 每个间隔的宽度为 1，每个值位于间隔的中间。
直方图显示数据的对称分布。 如果可以在直方图中的某个点绘制一条垂直线，使得垂直线左侧和右侧的形状是彼此的镜像图像，则分布是对称的。 这些数据的均值、中位数和模态各为七。 在完全对称的分布中，均值和中位数相同。 此示例有一个模式（单模态），该模式与均值和中位数相同。 在具有两种模式（双峰态）的对称分布中，这两种模式将不同于均值和中位数。
数据：4；5；6；6；6；7；7；7；7；7；7；8 的直方图不对称。 与左侧相比，右侧似乎 “被砍掉了”。 这种类型的分布称为向左倾斜，因为它是向左拉出的。 我们可以正式测量分布的偏度，就像我们可以用数学方法测量数据的中心权重或其一般的 “间距” 一样。 偏度的数学公式是：
\[a_{3}=\sum \frac{\left(x_{t}-\overline{x}\right)^{3}}{n s^{3}}.\nonumber\]
与零的偏差越大表示偏度越大。 如果偏度为负，则分布向左倾斜，如图所示\(\PageIndex{13}\)。
均值为 6.3，中位数为 6.5，模式为 7。 请注意，均值小于中位数，并且都小于模态。 均值和中位数都反映了偏差，但均值更能反映偏差。
数据：6；7；7；7；7；8；8；8；8；9；10 的直方图也不是对称的。 它向右倾斜。
均值为 7.7，中位数为 7.5，模式为 7。 在这三个统计量中，均值是最大的，而模态是最小的。 同样，均值最能反映偏差。
总而言之，通常，如果数据的分布向左倾斜，则均值小于中位数，中位数通常小于模态。 如果数据的分布向右倾斜，则该模式通常小于中位数，后者小于均值。
与均值、中位数和模态以及我们稍后将看到的方差一样，有一些数学公式可以精确测量数据分布的这些特征。 再次查看偏度公式，我们发现这是数据均值与单个观测值立方体之间的关系。
\[a_{3}=\sum \frac{\left(x_{i}-\overline{x}\right)^{3}}{n s^{3}}\nonumber\]
其中 ss 是数据的样本标准差\(\mathrm{X}_{i}\)，\(\overline{x}\)是算术平均值，\(n\)是样本数量。
形式上，算术平均值被称为分布的第一个时刻。 我们将看到的第二个时刻是方差，偏度是第三个时刻。 方差测量数据与均值的平方差，偏度测量数据与均值的立方差。 虽然方差永远不能是负数，但偏度的度量可以是负数，这就是我们确定数据是否从右向左倾斜的方式。 正态分布的偏度为零，任何对称数据的偏度都应接近于零。 偏度的负值表示数据向左倾斜，而偏度的正值表示数据向右倾斜。 向左倾斜，我们的意思是左尾相对于右尾较长。 同样，向右倾斜意味着右尾相对于左尾较长。 偏度是分布在其均值周围的不对称程度的特征。 虽然平均值和标准差是维度量（这就是为什么我们要取方差的平方根），也就是说，其单位与测量量相同\(\mathrm{X}_{i}\)，但偏度通常是以使其成为非维度的方式定义的。 它是一个纯数，仅表示分布的形状。 偏度的正值表示不对称尾部向更正向外延伸的分布\(X\)，负值表示尾部向更负向外延伸的分布\(X\)。 测量偏度为零将表示分布对称。
当我们在后面的章节中讨论概率分布时，偏度和对称性变得很重要。