2.6：偏度与均值、中位数和模式

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考虑以下数据集。
4; 5; 6; 6; 7; 7; 7; 7; 7; 7; 7; 7; 8; 8; 8; 8; 8; 8; 8; 9; 10

该数据集可以用以下直方图表示。每个间隔的宽度为 1，每个值位于间隔的中间。

此直方图与提供的数据相匹配。它由 7 个相邻的条形组成，其中 x 轴的间隔为 1，从 4 到 10。条形的高度在中间达到峰值，向右和向左对称地逐渐变细。

直方图显示数据的对称分布。如果可以在直方图中的某个点绘制一条垂直线，使得垂直线左侧和右侧的形状是彼此的镜像图像，则分布是对称的。这些数据的均值、中位数和模态各为七。 在完全对称的分布中，均值和中位数相同。 此示例有一个模式（单模态），该模式与均值和中位数相同。在具有两种模式（双峰态）的对称分布中，这两种模式将不同于均值和中位数。

数据：4；5；6；6；6；7；7；7；7；7；7；8 的直方图不对称。与左侧相比，右侧似乎 “被砍掉了”。这种类型的分布称为向左倾斜，因为它是向左拉出的。我们可以正式测量分布的偏度，就像我们可以用数学方法测量数据的中心权重或其一般的 “间距” 一样。偏度的数学公式是：

\[a_{3}=\sum \frac{\left(x_{t}-\overline{x}\right)^{3}}{n s^{3}}.\nonumber\]

与零的偏差越大表示偏度越大。如果偏度为负，则分布向左倾斜，如图所示\(\PageIndex{13}\)。

此直方图与提供的数据相匹配。它由 5 个相邻的条形组成，其中 x 轴的间隔为 1，从 4 到 8。峰值在右边，柱的高度向左逐渐变细。

均值为 6.3，中位数为 6.5，模式为 7。 请注意，均值小于中位数，并且都小于模态。 均值和中位数都反映了偏差，但均值更能反映偏差。

数据：6；7；7；7；7；8；8；8；8；9；10 的直方图也不是对称的。它向右倾斜。

此直方图与提供的数据相匹配。它由 5 个相邻的条形组成，其中 x 轴以 1 的间隔从 6 到 10 分开。峰值在左边，柱的高度向右逐渐变细。

均值为 7.7，中位数为 7.5，模式为 7。在这三个统计量中，均值是最大的，而模态是最小的。同样，均值最能反映偏差。

总而言之，通常，如果数据的分布向左倾斜，则均值小于中位数，中位数通常小于模态。如果数据的分布向右倾斜，则该模式通常小于中位数，后者小于均值。

与均值、中位数和模态以及我们稍后将看到的方差一样，有一些数学公式可以精确测量数据分布的这些特征。再次查看偏度公式，我们发现这是数据均值与单个观测值立方体之间的关系。

\[a_{3}=\sum \frac{\left(x_{i}-\overline{x}\right)^{3}}{n s^{3}}\nonumber\]

其中 ss 是数据的样本标准差\(\mathrm{X}_{i}\)，\(\overline{x}\)是算术平均值，\(n\)是样本数量。

形式上，算术平均值被称为分布的第一个时刻。我们将看到的第二个时刻是方差，偏度是第三个时刻。方差测量数据与均值的平方差，偏度测量数据与均值的立方差。虽然方差永远不能是负数，但偏度的度量可以是负数，这就是我们确定数据是否从右向左倾斜的方式。正态分布的偏度为零，任何对称数据的偏度都应接近于零。偏度的负值表示数据向左倾斜，而偏度的正值表示数据向右倾斜。向左倾斜，我们的意思是左尾相对于右尾较长。同样，向右倾斜意味着右尾相对于左尾较长。偏度是分布在其均值周围的不对称程度的特征。虽然平均值和标准差是维度量（这就是为什么我们要取方差的平方根），也就是说，其单位与测量量相同\(\mathrm{X}_{i}\)，但偏度通常是以使其成为非维度的方式定义的。它是一个纯数，仅表示分布的形状。偏度的正值表示不对称尾部向更正向外延伸的分布\(X\)，负值表示尾部向更负向外延伸的分布\(X\)。测量偏度为零将表示分布对称。

当我们在后面的章节中讨论概率分布时，偏度和对称性变得很重要。