8.3：分解和求多项式解（零）

有几种方法可以找到多项式的解，多项式是这种形式的三项式\(ax^2 + bx + c = 0\)。 这些解也称为多项式的实零。

1. Tri@@ al and Check Factoring 方法：使用此方法，目标是创建两个二项式，当它们相乘时得出给定的三项式。 当给定的三项式具有较大的\(a\)和值时，此方法可能非常困难\(c\)。 分解完成后，使用零因子属性找到所有实零，并将每个因子设置为等于\(0\)并求解\(x\)。
2. 分组因子分解法：使用此方法，目标是通过将中间项拆分为两个项来创建四个项，这两个项的系数的乘积为，总\(a ∗ c\)和为\(b\)。 中心项的顺序无关紧要。 创建四个项后，将前两个项与圆括号配对，将后两个项与圆括号配对，然后从两对中分解出 GCF。 由此产生的重复二项式是一个因子，而 GCF 因子结合起来形成第二个二项式。 这是在任何形式的可分解三项式上使用的最简单方法\(ax^2 + bx + c\)，但可能有一点学习曲线。 分解完成后，使用零因子属性找到所有实零，并将每个因子设置为等于\(0\)并求解\(x\)。
3. 二次公式：二次公式可用于找出可分解三项式的实零。 请参阅目录，找到解释如何使用二次公式的部分。

示例 Template:Index

使用本节中讨论的任何方法对表达式进行分解（这些示例问题将演示按分组分解方法）：

1. \(4x^2 − 3x − 10\)
2. \(8x^2 − 2x − 3\)
3. \(12x − 14x^3 + 22x^2\)
4. \(\dfrac{(x^2 + 1)^2 (−2) + (2x)2(x^2 + 1)(2x)}{(x^2 + 1)^4}\)
5. \(\dfrac{(2x + 1)^{\frac{1}{2}} − (x + 2)(2x + 1)^{-\frac{1}{2}}}{2x + 1}\)

解决方案

1. \(\begin{array} &&4x^2 − 3x − 10 &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Example problem} \\ &4x^2 − 3x − 10 &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Product \(ac\)是\(4∗(−10) = −40\)，总和是\(b = −3\)。 要按分组使用因子，}\\ & &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ text {需要两个中间项乘以乘积\(−40\)并加上总和\(−3\)。}\\ & &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ text {\(8\)和\(5\)是不错的候选商品；由于商品必须为负数，因此其中一个值必须为负数。}\\ & &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ 是，它们的总\(−40\)和是\(−3\)。}\\ &\(−8\)\(5\); 4x^2 − 8x + 5x − 10 &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ text {四个术语，两个中间项的总和是最初的中间术语，\(−3x\)}\\ & (4x^2 − 8x) + (5x − 10) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\x (x − 2) + 5 (x − 2) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ text {从每对中扣除 GCF-总是存在重复的二项式因子}\\ & (4x + 5) (x − 2) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ 一定要通过 FOIL 查看。} \ end {array}\)

2. \(\begin{array} &&8x^2 − 2x − 3 &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Example problem} \\ &8x^2 − 2x − 3 &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Product \(ac\)是\(8∗(−3) = −24\)，总和是\(b = −2\)。 要按分组使用因子，}\\ & &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ text {需要两个中间项，它们乘以\(−2\)。}\\ &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ text {\(6\)而且\(4\)很不错\(−24\)候选人；由于产品必须为负数，因此其中一个值必须为负数。}\\ & &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ text {\(−6\)\;\ 8x^2 + 4x − 6x − 3 &\;\;\(4\)\(−24\)\(−2\)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ text {两个中间项的顺序无关紧要。}\\ & (8x^2 + 4x) + (−6x − 3) &\;\;\;\;\\(−2x\);\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ text {创建成对的术语。 注意括号之间加了;}\\ & &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ text {此处四个术语中的第三个为负数，所以符号与该术语保持一致。}\\ &4x (+ 1) + (−3) (2x + 1) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\每对的 GCF-始终存在重复的二项式因子}\\ & (4x − 3) (2x + 1) &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ 一定要通过 FOIL 查看。} \ end {array}\)

3. \(\begin{array} && 12x − 14x^3 + 22x^2 &\text{Example problem} \\ &−14x^3 + 22x^2 + 12x &\text{Reorder the terms in decreasing order of variable degree.} \\ &2x(−7x^2 + 11x + 6) &\text{Factor out the GCF so a trinomial results that can be factored using factor by grouping.} \\ & &\text{The GCF of \(2x\)将包含在最终答案中，所以别忘了。}\\ &−7x^2 + 11x + 6 &\ text {Product\(ac\) 是\(−7 ∗ 6 = −42\)，总和是\(b = 11\)。 要按分组使用因子，}\\ &\ text {需要两个中间项，它们乘以乘积\(−42\)并加上总和\(11\)。}\\ &\ text {没有符合这两个要求的数字，}\\ &\ text {这意味着三项式不能分解为整数因子。}\\ &−7x^2 + 11x + 6 &\ text {要找到多项式的因子和零，请使用二次公式。}\\ &\ text {Let\(a = −7\),\(b = 11\),\(c = 6\)}\\ &x =\ dfrac {−11 ±\ sqrt {11^2 − 4 (−7) (6)} {2 (−7)} &\ text {二次方程式}\\ &x =\ dfrac {−11 ±\sqrt {121 + 168}} {-14} &\ text {简化}\\ &x =\ dfrac {11±\ sqrt {289}} {14} &\ text {\(−1\)从所有术语中除去}\\ dfrac {11±\ sqrt {289}} {14} =\ dfrac {11 −\ sqrt {28rt 9}} {14} = −\ dfrac {3} {7} &\ text {激进形式零的精确答案，后跟实数form。}\\ & (x − 2)、\;\; (x +-\ dfrac {3} {7}) &\ text {因子。 注意在因子\(±\)中插入正确的值。}\\ &\ text {找到解，然后进行逆向工程以找出将产生该解的因子。}\\ &\ text {二次公式中的第一个解是\(x = 2\)。}\\ &\ text {A factor of\((x − 2)\)当设置为等于时\(0\)将生成\(x = 2\)。}\\ &\ text {二次公式中的第二个解是\(x = −\dfrac{3}{7}\)。}\\ &\ text {系数\((x + −\dfrac{3}{7})\)将产生\(x = −\dfrac{3}{7}\)。}\\ &2x (x − 2) (x +\ dfrac {3} {7}) &\ text {多项式因子，包括本问题开始时排除的原始 GCF。} \ end {array}\)

4. \(\begin{array} && \dfrac{(x^2 + 1)^2 (−2) + (2x)2(x^2 + 1)(2x)}{(x^2 + 1)^4} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Example problem} \\ &\dfrac{2(x^2 + 1)[(x^2 + 1)(−1) + (x)2(2x)]}{(x^2 + 1)(x^2 + 1)^3} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Factor out the GCF from the numerator.} \\ &\dfrac{2\cancel{(x^2 + 1)}[(x^2 + 1)(−1) + (x)2(2x)]}{\cancel{(x^2 + 1)}(x^2 + 1)^3} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Remove common factors.} \\ &\dfrac{2[(x^2 + 1)(−1) + (x)2(2x)]}{(x^2 + 1)^3} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Remove common factors.} \\ &\dfrac{2[−x^2 − 1 + 4x^2]}{(x^2 + 1)^3} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Simplify} \\ &\dfrac{2(3x^2 − 1)}{(x^2 + 1)^3} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Final answer.} \end{array}\)

5. \(\begin{array} &&\dfrac{(2x + 1)^{\frac{1}{2}} − (x + 2)(2x + 1)^{-\frac{1}{2}}}{2x + 1} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Example problem} \\ &\dfrac{(2x + 1)^{\frac{1}{2}} −\dfrac{(x + 2)}{(2x + 1)^{\frac{1}{2}}}}{2x + 1} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Write the expression with a positive exponent (move it to the denominator).} \\ &\dfrac{(2x + 1)^{\frac{1}{2}}(2x + 1)^{\frac{1}{2}} − (x + 2)}{\dfrac{(2x + 1)^{\frac{1}{2}}}{2x + 1}} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Write the numerator with a common denominator.} \\ &\dfrac{2x + 1 − x − 2}{(2x + 1)^{\frac{1}{2}} (2x + 1)} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Simplified.} \\ &\dfrac{2x + 1 − x − 2}{(2x + 1)^{\frac{3}{2}}} &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\text{Final answer.} \end{array}\)

练习 Template:Index

使用本节中讨论的任何方法进行分解：

1. \(5x^2 − 23x − 10\)
2. \(8x^2 + 2x − 3\)
3. \(3x^2 − 7x − 6\)
4. \(10x^2 + 13x − 5\)
5. \(12x^5 − 17x^4 + 6x^3\)
6. \(\dfrac{(2x^2 − 1)^2 (−2) + (2x)2(2x^2 − 1)(2x)}{(2x^2 − 1)^4}\)
7. \(\dfrac{2(2x − 3)^{\frac{1}{3}} − (x − 1)(2x − 3)^{-\frac{2}{3}}}{2x − 3^{\frac{2}{3}}}\)

二次方程式

定义：二次公式

二次公式用于求解（或找出零）形式的度\(2\)数多项式（二次方程）\(ax^2 + bx + c = 0\)。 二次公式为：

\[x = \dfrac{−b ± \sqrt{b^2 − 4ac}}{2a} \nonumber \]

其中\(a\)\(b\)、和\(c\)是二次方程标准形式的系数\(ax^2 + bx + c = 0\)。

示例 Template:Index

对于以下函数，\(f\)使用二次公式找出所有零。 将最终答案表示为精确答案（以激进形式），也表示为小数，四舍五入到千分之一。

1. \(f(x) = −2x^2 + 4x − 1\)
2. \(f(x) = x^3 − 3x^2 − 4x\)

解决方案

1. 设置\(f(x) = 0: −2x^2 + 4x − 1 = 0\)。 此函数以、\(b = 4\)和\(ax^2 + bx + c = 0\)\(a = −2\)、的形式编写\(c = −1\)。

用以下值替换二次公式\(c\)中的\(a\)、\(b\)和：

\(\begin{array} &&x = \dfrac{−4 ± \sqrt{4^2 − 4(−2)(−1)}}{2(−2)} &\;\;\;\;\;\text{Quadratic Formula} \\ &x = \dfrac{−4 ± \sqrt{(16 − 8)}}{−4} &\;\;\;\;\;\text{Simplify} \\ &x = \dfrac{−4 ± \sqrt{8}}{−4} &\;\;\;\;\;\text{Simplify} \\ &x = \dfrac{−4 ± 2 \sqrt{2}}{−4} &\;\;\;\;\;\text{Simplify the radical} \\ &x = \dfrac{2 ± \sqrt{2}}{2} &\;\;\;\;\;\text{Exact answers in radical form} \\ &x = \dfrac{2 − \sqrt{2}}{2} ,\;\; x = \dfrac{2 + \sqrt{2}}{2} &\;\;\;\;\;\text{Exact answers written as two roots} \\ &x = 0.293 \text{ and } x = 1.707 &\;\;\;\;\;\text{Approximation answers rounded to the thousandths place} \end{array}\)

2. 该函数\(f(x) = x^3 − 3x^2 − 4x\)是三次函数。 在对三项式因子使用二次方程之前，先\(x\)从所有三个项中分出来：\(x(x^2 − 3x − 4) = 0\)\(a = 1\)、with\(b = −3\) 和\(c = −4\)。

别忘了\(x\)被分解出来的是一个根源，也就是说\(x = 0\)。

用以下值替换二次公式\(c\)中的\(a\)、\(b\)和：

\(\begin{array} &&x = \dfrac{3 ± \sqrt{(−3)2 − 4(1)(−4)}}{2(1)} &\text{Quadratic Formula} \\ &x = \dfrac{3 ± \sqrt{(16 + 9)}}{2} &\text{Simplify} \\ &x = \dfrac{3 ± \sqrt{25}}{2} &\text{Simplify} \\ &x = \dfrac{3 ± 5}{2} &\text{Simplify further} \\ &x = \dfrac{3 − 5}{2} ,\;\;x = \dfrac{−2}{2} ,\;\; x = −1 &\text{Second root (first root is \(x = 0\))}\\ &x =\ dfrac {3 + 5} {2},\;\; x =\ dfrac {8} {2},\;\; x = 4 &\ text {第三根}\ end {array}\)

有三种解，即三次函数的根\(f(x) = x^3 − 3x^2 − 4x: x = 0\)，\(x = −1\)和\(x = 4\)。

练习 Template:Index

对于以下函数，\(f\)使用二次公式找出所有零。 将最终答案表示为精确答案（以激进形式），也表示为小数，四舍五入到千分之一。

1. \(f(t) = 9t^3 − 18t^2 + 6t\)
2. \(f(x) = x^5 − 4x^4 − 32x^3\)
3. \(f(x) = 18 − 3x − 2x^2\)
4. \(f(x) = 12x^2 + 11x − 5\)
5. \(f(x) = 3x^2 − 6x + 2\)