7.1: 直线的斜率

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Victoria Dominguez, Cristian Martinez, & Sanaa Saykali
Citrus College via ASCCC Open Educational Resources Initiative

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

回想一下，有序对可以绘制为矩形坐标平面中的点。穿过任意两个不同的点，画一条直线$l$。

要用$l$代数描述直线，首先要考虑直线公式的斜率。

定义：直线的斜率

穿过点$m$$l$的直线的斜$(x_1, y_1)$率$(x_2, y_2)$为

\[m = \dfrac{\text{rise}}{\text{run}} = \dfrac{y_2 − y_1}{x_2 − x_1} \text{ where } x_2 \neq x_1 \nonumber \]

$clipboard_ef5b30d9d90d175767e807356eeeb09d5.png$

示例 Template:Index

在下图中找到直线的斜率。

$clipboard_e363ff7b3bb533d1487bf37ba2e55050d.png$

解决方案

通过上面对直线斜率公式的定义，直线的斜率可以写成$m = \dfrac{\text{rise}}{\text{run}}$。首先选择线上的任意两个点$P$和$Q$。选择$P$要成为的点$(2, 2)$和指$Q$向成为的点$(1, 0)$。

从点开始$Q$，$P$通过向上计算$2$网格方块来上升到点，这意味着$\text{rise} = 2$。现在，要到达点$P$，右边是$\text{run}$$1$网格方块，也就是说$\text{run} = 1$，如下图所示。

$clipboard_eb782dfab92d784f98c38e932215ff3af.png$

因此，

$\begin{array} &&m = \dfrac{\text{rise}}{\text{run}} &\text{slope of a line formula} \\ &= \dfrac{2}{1} &\text{rise \(2$然后运行$1$}\\ &= 2\ end {array}\)

因此，图中直线的斜率为$m = 2$。

示例 Template:Index

找到下图所示直线的斜率。

$clipboard_e19cd2064387c2c10ad2af63dccc6440d.png$

解决方案

与示例类似$1$，首先选择线上的任意两个点$P$和$Q$。

注意：由于可以选择直线上的任何$2$点，因此选择两个整数点会更容易。这些点位于直线上，也位于两条网格线的交点上。例如，在图中，在给定行上选择以下任意两个点会更容易：$(2, 0)$$(0, 1)$$(4, −1)$、$(6, −2)$、$(−4, 3)$、$(−6, 4)$、等等...

线$Q$上任意两点$P$的斜率是相同的。选择$P_1$要成为的点$(0, 1)$和指$Q_1$向成为的点$(2, 0)$。从点开始$P_1$，先向右跑$2$网格方块到达点$Q_1$，这意味着$\text{run} = 2$. 现在，要到点$Q_1$数向下计数$1$网格方块。注意，$\text{rise} = -1$这意味着向下移动$1$单位，如下图所示。

$clipboard_eae1964d11eb4f5c0410a5ca79250683d.png$

$\begin{array} &&m = \dfrac{\text{rise}}{\text{run}} &\text{slope of a line formula} \\ &= \dfrac{−1}{2} &\text{rise = \(-1$然后运行 =$2$}\ end {array}\)

因此，上图中直线的斜率为$m = −\dfrac{1}{2}$。

现在，选择 point t$P_2$ o be$(-2, 2)$ 和 point$Q_2$ t$(-6, 4)$ o be，如上图所示。从点开始$P_2$，先向左运行$4$网格方块到达点$Q_2$，这意味着$\text{run} = -4$. 现在，向上$Q_2$计算$2$网格方块的点数。因此，$\text{rise} = 2$. 斜率是$m = \dfrac{2}{−4} = −\dfrac{1}{2}$。注意，无论我们在给定线上考虑哪个$2$点，斜率都是相同的。

示例 Template:Index

$(4, 4)$使用斜率公式找出穿过$(3, 2)$的直线的斜率。绘制穿过给定点的线条的图形。

注意：只要保持一致，点的标注顺序就不会影响直线公式的斜率。

解决方案

让我们$(x_1, y_1) = (3, 2)$$(x_2, y_2) = (4, 4)$然后，

$\begin{array} &&m = \dfrac{y_2 − y_1}{x_2 − x_1} &\text{slope of a line formula} \\ &= \dfrac{4 − 2}{4 − 3} & \\ &= \dfrac{2}{1} &\text{rise \(= 2$然后运行$= 1$}\\ &= 2 &\ end {array}\)

因此，穿过点$(3, 2)$和的直线的斜率$(4, 4)$为$m = 2$。穿过给定点的直线如下图所示。

$clipboard_e274e9e3b46b3eff108909c81ba819a08.png$

请注意，当直线从左向右上升时，该线具有正斜率。

示例 Template:Index

找出穿过点的直线的斜率，$(−1, 2)$然后$(3, −4)$。绘制点并绘制线条图。

解决方案

让我们$(x_1, y_1) = (-1, 2)$$(x_2, y_2) = (3, -4)$然后，

$\begin{array} &&m = \dfrac{y_2 − y_1}{x_2 − x_1} &\text{slope of a line formula} \\ &= \dfrac{-4 − 2}{3 − (-1)} & \\ &= \dfrac{-6}{4} &\text{Simplify} \\ &= -\dfrac{3}{2} & \end{array}$