2.3: 距离公式

上一节讲述了如何在矩形坐标平面上绘制点。 本节介绍如何找到平面中任意两点之间的距离。 例如，要计算点的距离\((x_1, y_1)\)，\((x_2, y_2)\)请考虑以下公式：

定义：距离公式

两点之间\(P_1(x_1, y_1)\)以及平面\(P_2(x_2, y_2)\)中的距离 d 由下式给出：

\(d = \sqrt {(x_2 − x_1) ^2 + (y_2 − y_1)} ^2\)

示例 Template:Index

找出两点\((−5, 2)\)之间的距离\((3, 4)\)

解决方案

让\(P_1(−5, 2)\) an\(P_2(3, 4)\) d 成为平面中的两个点，然后 let\(x_1 = −5\)\(y_1 = 2\)、\(x_2 = 3\)、和\(y_2 = 4\)。

使用给定值的距离公式：

\(\begin{aligned} d &= \sqrt{(x_2 − x_1) ^2 + (y_2 − y_1) ^2 } \\&= \sqrt{ (3 − (−5))^2 + (4 − 2)^2}\\& = \sqrt{ (3 + 5)^2 + (2)^2 } \\ &= \sqrt{ 8 ^2 + 2^2} \\ &= \sqrt{64 + 4 }\\ &= \sqrt{ 68 } \\&= 2\sqrt{17}\end{aligned}\)

因此，两个给定点之间的距离为\(2\sqrt{17}\)。

示例 Template:Index

找出两点\((−2.5, −1)\)和之间的距离\((−3, −1.5)\)。

解决方案

让\(P_1(−2.5, −1)\)和\(P_2(−3, −1.5)\)成为飞机中的点然后 let\(x_1 = −2.5\)\(y_1 = −1\)、\(x_2 = −3\)和\(y_2 = −1.5\)。

然后使用给定值的距离公式得出，

\(\begin{aligned} d &= \sqrt{(x_2 − x_1) ^2 + (y_2 − y_1) ^2}\\& = \sqrt{[−3 − (−2.5)]^2 + [−1.5 − (−1)]^2 } \\&= \sqrt{ (−3 + 2.5)^2 + (−1.5 + 1)^2} \\&= \sqrt{ (−0.5)^2 + (−0.5)^2 } \\&= \sqrt{ 0.25 + 0.25 }\\ &= \sqrt{0.5 } \\&\approx 0.71 \end{aligned}\)

因此，两个给定点之间的距离约为 0.71。

练习 Template:Index

1. 找出\(P_1(−3, −1.5)\)和之间的距离\(P_2(−2.5, − 1)\)。 将答案与示例 2 中的答案进行比较。 可以得出什么结论？
2. 找出\((−3, 6)\)和之间的距离\((2, 4)\)
3. 找出两点\(\left( \dfrac{1 }{2} , − \dfrac{10 }{4}\right)\)之间的距离\(\left(− \dfrac{14 }{4} , − \dfrac{5 }{2}\right )\)
4. 为什么要使用距离公式？