第 12 章复习练习
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序列
在以下练习中，写出给出通用项的序列的前五个项。
- \(a_{n}=7 n-5\)
- \(a_{n}=3^{n}+4\)
- \(a_{n}=2^{n}+n\)
- \(a_{n}=\frac{2 n+1}{4^{n}}\)
- \(a_{n}=\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}\)
- 回答
-
2。 \(7,13,31,85,247\)
4。 \(\frac{3}{4}, \frac{5}{16}, \frac{7}{64}, \frac{9}{256}, \frac{11}{1024}\)
在以下练习中，为显示前五个项的序列找到一个通用项。
- \(9,18,27,36,45, \dots\)
- \(-5,-4,-3,-2,-1, \dots\)
- \(\frac{1}{e^{3}}, \frac{1}{e^{2}}, \frac{1}{e}, 1, e, \ldots\)
- \(1,-8,27,-64,125, \ldots\)
- \(-\frac{1}{3},-\frac{1}{2},-\frac{3}{5},-\frac{2}{3},-\frac{5}{7}, \dots\)
- 回答
-
1。 \(a_{n}=9 n\)
3。 \(a_{n}=e^{n-4}\)
5。 \(a_{n}=-\frac{n}{n+2}\)
在以下练习中，使用阶乘表示法，写出给出通用项的序列的前五个项。
- \(a_{n}=4 n !\)
- \(a_{n}=\frac{n !}{(n+2) !}\)
- \(a_{n}=\frac{(n-1) !}{(n+1)^{2}}\)
- 回答
-
2。 \(\frac{1}{6}, \frac{1}{12}, \frac{1}{20}, \frac{1}{30}, \frac{1}{42}\)
在以下练习中，展开部分总和并找到其值。
- \(\sum_{i=1}^{7}(2 i-5)\)
- \(\sum_{i=1}^{3} 5^{i}\)
- \(\sum_{k=0}^{4} \frac{4}{k !}\)
- \(\sum_{k=1}^{4}(k+1)(2 k+1)\)
- 回答
-
1。 \(\begin{array}{l}{-3+(-1)+1+3+5} {+7+9=21}\end{array}\)
3。 \(4+4+2+\frac{2}{3}+\frac{1}{6}=\frac{65}{6}\)
在以下练习中，使用求和表示法写出每个总和。
- \(-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}-\frac{1}{27}+\frac{1}{81}-\frac{1}{243}\)
- \(4-8+12-16+20-24\)
- \(4+2+\frac{4}{3}+1+\frac{4}{5}\)
- 回答
-
1。 \(\sum_{n=1}^{5}(-1)^{n} \frac{1}{3^{n}}\)
3。 \(\sum_{n=1}^{5} \frac{4}{n}\)
算术序列
在以下练习中，确定每个序列是否为算术，如果是，请指出共同的区别。
- \(1,2,4,8,16,32, \dots\)
- \(-7,-1,5,11,17,23, \dots\)
- \(13,9,5,1,-3,-7, \dots\)
- 回答
-
2。 该序列是算术运算，有共同的区别\(d=6\)。
在以下练习中，写出每个算术序列的前五个项以及给定的第一项和共同的差异。
- \(a_{1}=5\)和\(d=3\)
- \(a_{1}=8\)和\(d=-2\)
- \(a_{1}=-13\)和\(d=6\)
- 回答
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1。 \(5,8,11,14,17\)
3。 \(-13,-7,-1,5,11\)
在以下练习中，使用提供的信息查找所描述的术语。
- 找出序列的第二十五项，其中第一个项为五，共同差为三。
- 找出序列的第三十项，其中第一个项是\(16\)，共同的区别是\(−5\)。
- 找出序列的第十七项，其中第一个项是\(−21\)，共同差为二。
- 回答
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2。 \(-129\)
在以下练习中，找到指定的术语并给出通用术语的公式。
- 找出序列的第十八项，其中第五项是\(12\)，共同差为七。
- 找出序列的第二十一个项，其中第七项是\(14\)，共同的区别是\(−3\)。
- 回答
-
1。 \(a_{18}=103 .\)一般术语是\(a_{n}=7 n-23\)。
在以下练习中，找出序列的第一个项和给定项的常见区别。 给出通用术语的公式。
- 第五学期是\(17\)，第十四学期是\(53\)。
- 第三个学期是\(−26\)，第十六个学期是\(−91\)。
- 回答
-
1。 \(a_{1}=1, d=4 .\)一般术语是\(a_{n}=4 n-3\)。
在以下练习中，求出每个算术序列的前\(30\)项之和。
- \(7,4,1,-2,-5, \dots\)
- \(1,6,11,16,21, \ldots\)
- 回答
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1。 \(-430\)
在以下练习中，求出给出总项的算术序列的前十五个项的总和。
- \(a_{n}=4 n+7\)
- \(a_{n}=-2 n+19\)
- 回答
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1。 \(585\)
在以下练习中，找到每个总和。
- \(\sum_{i=1}^{50}(4 i-5)\)
- \(\sum_{i=1}^{30}(-3 i-7)\)
- \(\sum_{i=1}^{35}(i+10)\)
- 回答
-
1。 \(4850\)
3。 \(980\)
几何序列和序列
在以下练习中，确定序列是否为几何序列，如果是，请指明常用比率。
- \(3,12,48,192,768,3072, \dots\)
- \(5,10,15,20,25,30, \dots\)
- \(112,56,28,14,7, \frac{7}{2}, \ldots\)
- \(9,-18,36,-72,144,-288, \dots\)
- 回答
-
2。 该序列不是几何序列。
4。 该序列是几何序列，比例相同\(r=−2\)。
在以下练习中，使用给定的第一项和常用比率写出每个几何序列的前五个项。
- \(a_{1}=-3\)和\(r=5\)
- \(a_{1}=128\)和\(r=\frac{1}{4}\)
- \(a_{1}=5\)和\(r=-3\)
- 回答
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2。 \(128,32,8,2, \frac{1}{2}\)
在以下练习中，找到给出第一个项和常用比率的序列的指定项。
- 找到\(a_{9}\)给定\(a_{1}=6\)和\(r=2\)
- 找到\(a_{11}\)给定\(a_{1}=10,000,000\)和\(r=0.1\)
- 回答
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1。 \(1,536\)
在以下练习中，找到给定序列的指定项。 找到序列的通用术语。
- 找到\(a_{12}\)序列，\(6,-24,96,-384,1536,-6144, \dots\)
- 找到\(a_{9}\)序列，\(4374,1458,486,162,54,18, \ldots\)
- 回答
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1。 \(a_{12}=-25,165,824 .\)一般术语是\(a_{n}=6(-4)^{n-1}\)
在以下练习中，求出每个几何序列的前十五个项的总和。
- \(-4,8,-16,32,-64,128 \ldots\)
- \(3,12,48,192,768,3072 \ldots\)
- \(3125,625,125,25,5,1 \ldots\)
- 回答
-
1。 \(5,460\)
3。 \(\approx 3906.25\)
在以下练习中，找到总和
- \(\sum_{i=1}^{8} 7(3)^{i}\)
- \(\sum_{i=1}^{6} 24\left(\frac{1}{2}\right)^{i}\)
- 回答
-
2。 \(\frac{189}{8}=23.625\)
在以下练习中，求出每个无限几何序列的总和。
- \(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}-\frac{1}{27}+\frac{1}{81}-\frac{1}{243}+\frac{1}{729}-\dots\)
- \(49+7+1+\frac{1}{7}+\frac{1}{49}+\frac{1}{343}+\ldots\)
- 回答
-
2。 \(\frac{343}{6} \approx 57.167\)
在以下练习中，将每个重复的十进制写成分数。
- \(0 . \overline{8}\)
- \(0 . \overline{36}\)
- 回答
-
2。 \(\frac{4}{11}\)
在以下练习中，解决问题。
- 如果每个家庭将退税的\(60\)百分比花在商品和服务上，那么政府为刺激经济而向每个家庭提供美元的\(360\)退税对经济的总体影响是多少？
- 亚当17岁高中毕业后刚刚找到了第一份全职工作。 他决定\(300\)每月投资美元购买IRA（年金）。 年金的利息为\(7\) ％，按月复利。 当亚当六十七岁生日退休时，他的账户里会有多少钱？
- 回答
-
2。 \(\$ 1,634,421.27\)
二项式定理
在以下练习中，使用 Pascal 的三角形展开每个二项式。
- \((a+b)^{7}\)
- \((x-y)^{4}\)
- \((x+6)^{3}\)
- \((2 y-3)^{5}\)
- \((7 x+2 y)^{3}\)
- 回答
-
2。 \(x^{4}-4 x^{3} y+6 x^{2} y^{2}-4 x y^{3}+y^{4}\)
4。 \(\begin{array}{l}{32 y^{5}-240 y^{4}+720 y^{3}-1080 y^{2}} {+810 y-243}\end{array}\)
在以下练习中，进行评估。
-
- \(\left( \begin{array}{l}{11} \\ {1}\end{array}\right)\)
- \(\left( \begin{array}{l}{12} \\ {12}\end{array}\right)\)
- \(\left( \begin{array}{l}{13} \\ {0}\end{array}\right)\)
- \(\left( \begin{array}{l}{8} \\ {3}\end{array}\right)\)
-
- \(\left( \begin{array}{l}{7} \\ {1}\end{array}\right)\)
- \(\left( \begin{array}{l}{5} \\ {5}\end{array}\right)\)
- \(\left( \begin{array}{l}{9} \\ {0}\end{array}\right)\)
- \(\left( \begin{array}{l}{9} \\ {5}\end{array}\right)\)
-
- \(\left( \begin{array}{l}{1} \\ {1}\end{array}\right)\)
- \(\left( \begin{array}{l}{15} \\ {15}\end{array}\right)\)
- \(\left( \begin{array}{l}{4} \\ {0}\end{array}\right)\)
- \(\left( \begin{array}{l}{11} \\ {2}\end{array}\right)\)
- 回答
-
1。
- \(11\)
- \(1\)
- \(1\)
- \(56\)
3。
- \(1\)
- \(1\)
- \(1\)
- \(55\)
在以下练习中，使用二项式定理展开每个二项式。
- \((p+q)^{6}\)
- \((t-1)^{9}\)
- \((2 x+1)^{4}\)
- \((4 x+3 y)^{4}\)
- \((x-3 y)^{5}\)
- 回答
-
2。 \(\begin{array}{l}{t^{9}-9 t^{8}+36 t^{7}-84 t^{6}+126 t^{5}} {-126 t^{4}+84 t^{3}-36 t^{2}+9 t-1}\end{array}\)
4。 \(\begin{array}{l}{256 x^{4}+768 x^{3} y+864 x^{2} y^{2}} {+432 x y^{3}+81 y^{4}}\end{array}\)
在以下练习中，在二项式扩展中找到指定的术语。
- 第七学期\((a+b)^{9}\)
- 第三学期\((x-y)^{7}\)
- 回答
-
1。 \(84a^{6} b^{3}\)
在以下练习中，在二项式展开中找到指定项的系数。
- \(y^{4}\)的期限\((y+3)^{6}\)
- \(x^{5}\)的期限\((x-2)^{8}\)
- \(a^{3} b^{4}\)的期限\((2 a+b)^{7}\)
- 回答
-
1。 \(135\)
3。 \(280\)
练习测试
在以下练习中，写出给出通用项的序列的前五个项。
- \(a_{n}=\frac{5 n-3}{3^{n}}\)
- \(a_{n}=\frac{(n+2) !}{(n+3) !}\)
- 为序列找一个通用术语，\(-\frac{2}{3},-\frac{4}{5},-\frac{6}{7},-\frac{8}{9},-\frac{10}{11}, \dots\)
- 展开部分总和并找到其值。 \(\sum_{i=1}^{4}(-4)^{i}\)
- 使用求和表示法写下以下内容。 \(-1+\frac{1}{4}-\frac{1}{9}+\frac{1}{16}-\frac{1}{25}\)
- 用给定的第一项和共同的差值写出算术序列的前五项。 \(a_{1}=-13\)和\(d=3\)
- 找出算术序列的第二十项，其中第一个项为二，共同差异为\(−7\)。
- 找出一个算术序列的第二十三项，其第七项为\(11\)常差为三。 然后找到通用术语的公式。
- 找出第九项为、第十六项为的算术序列的第一个项\(−1\)和公差\(−15\)。 然后找到通用术语的公式。
- 求算术序列首\(25\)项的总和，\(5,9,13,17,21, \dots\)
- 求出总项为的算术序列中首\(50\)项的总和\(a_{n}=-3 n+100\)。
- 找到总和。 \(\sum_{i=1}^{40}(5 i-21)\)
- 回答
-
2。 \(\frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6}, \frac{1}{7}, \frac{1}{8}\)
4。 \(-4+16-64+256=204\)
6。 \(-13,-10,-7,-4,-1\)
8。 \(a_{23}=59 .\)一般术语是\(a_{n}=3 n-10\)。
10。 \(1,325\)
12。 \(3,260\)
在以下练习中，确定序列是算术序列、几何序列还是两者都不是。 如果是算术，则找出共同的区别。 如果是几何比例，则找到常用比率。
- \(14,3,-8,-19,-30,-41, \ldots\)
- \(324,108,36,12,4, \frac{4}{3}, \ldots\)
- 用给定的第一项和常用比率写出几何序列的前五个项。 \(a_{1}=6\)和\(r=−2\)。
- 在第一项和常用比率为和的几何序列\(r=4\)中，找到\(a_{11}\)。\(a_{1}=5\)
- 找到\(a_{10}\)几何序列，\(1250,250,50,10,2, \frac{2}{5}, \ldots\)然后找到通用项的
公式。 - 求出几何序列的前十三个项的总和，\(2,-6,18,-54,162,-486 \ldots\)
- 回答
-
2。 该序列是几何序列，比例相同\(r=\frac{1}{3}\)。
4。 \(5,242,880\)
6。 \(797,162\)
在以下练习中，找到总和。
- \(\sum_{i=1}^{9} 5(2)^{i}\)
- \(1-\frac{1}{5}+\frac{1}{25}-\frac{1}{125}+\frac{1}{625}-\frac{1}{3125}+\dots\)
- 将重复的十进制写成分数。 \(0 . \overline{81}\)
- 戴夫在18岁高中毕业后刚刚找到了第一份全职工作。 他决定\(450\)每月投资美元购买IRA（年金）。 年金的利息为\(6\) ％，按月复利。 当亚当六十五岁生日退休时，他的账户里会有多少钱？
- 使用帕斯卡三角形扩展二项式。 \((m-2 n)^{5}\)
- 评估每个二项式系数。
- \(\left( \begin{array}{l}{8} \\ {1}\end{array}\right)\)
- \(\left( \begin{array}{l}{16} \\ {16}\end{array}\right)\)
- \(\left( \begin{array}{l}{12} \\ {0}\end{array}\right)\)
- \(\left( \begin{array}{l}{10} \\ {6}\end{array}\right)\)
- 使用二项式定理扩展二项式。 \((4 x+5 y)^{3}\)
- 回答
-
2。 \(\frac{5}{6}\)
4。 \(\$ 1,409,344.19\)
6。
- \(8\)
- \(1\)
- \(1\)
- \(210\)