第 12 章复习练习

序列

练习$\PageIndex{1}$ Write the First Few Terms of a Sequence

在以下练习中，写出给出通用项的序列的前五个项。

1. $a_{n}=7 n-5$
2. $a_{n}=3^{n}+4$
3. $a_{n}=2^{n}+n$
4. $a_{n}=\frac{2 n+1}{4^{n}}$
5. $a_{n}=\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}$

回答

2。 $7,13,31,85,247$

4。 $\frac{3}{4}, \frac{5}{16}, \frac{7}{64}, \frac{9}{256}, \frac{11}{1024}$

练习$\PageIndex{2}$ Find a Formula for the General Term ($n$th Term of a Sequence

在以下练习中，为显示前五个项的序列找到一个通用项。

1. $9,18,27,36,45, \dots$
2. $-5,-4,-3,-2,-1, \dots$
3. $\frac{1}{e^{3}}, \frac{1}{e^{2}}, \frac{1}{e}, 1, e, \ldots$
4. $1,-8,27,-64,125, \ldots$
5. $-\frac{1}{3},-\frac{1}{2},-\frac{3}{5},-\frac{2}{3},-\frac{5}{7}, \dots$

回答

1。 $a_{n}=9 n$

3。 $a_{n}=e^{n-4}$

5。 $a_{n}=-\frac{n}{n+2}$

练习$\PageIndex{3}$ Use Factorial Notation

在以下练习中，使用阶乘表示法，写出给出通用项的序列的前五个项。

1. $a_{n}=4 n !$
2. $a_{n}=\frac{n !}{(n+2) !}$
3. $a_{n}=\frac{(n-1) !}{(n+1)^{2}}$

回答

2。 $\frac{1}{6}, \frac{1}{12}, \frac{1}{20}, \frac{1}{30}, \frac{1}{42}$

练习$\PageIndex{4}$ Find the Partial Sum

在以下练习中，展开部分总和并找到其值。

1. $\sum_{i=1}^{7}(2 i-5)$
2. $\sum_{i=1}^{3} 5^{i}$
3. $\sum_{k=0}^{4} \frac{4}{k !}$
4. $\sum_{k=1}^{4}(k+1)(2 k+1)$

回答

1。 $\begin{array}{l}{-3+(-1)+1+3+5} {+7+9=21}\end{array}$

3。 $4+4+2+\frac{2}{3}+\frac{1}{6}=\frac{65}{6}$

练习$\PageIndex{5}$ Use Summation Notation to Write a Sum

在以下练习中，使用求和表示法写出每个总和。

1. $-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}-\frac{1}{27}+\frac{1}{81}-\frac{1}{243}$
2. $4-8+12-16+20-24$
3. $4+2+\frac{4}{3}+1+\frac{4}{5}$

回答

1。 $\sum_{n=1}^{5}(-1)^{n} \frac{1}{3^{n}}$

3。 $\sum_{n=1}^{5} \frac{4}{n}$

算术序列

练习$\PageIndex{6}$ Determine if a Sequence is Arithmetic

在以下练习中，确定每个序列是否为算术，如果是，请指出共同的区别。

1. $1,2,4,8,16,32, \dots$
2. $-7,-1,5,11,17,23, \dots$
3. $13,9,5,1,-3,-7, \dots$

回答

2。 该序列是算术运算，有共同的区别$d=6$。

练习$\PageIndex{7}$ Determine if a Sequence is Arithmetic

在以下练习中，写出每个算术序列的前五个项以及给定的第一项和共同的差异。

1. $a_{1}=5$和$d=3$
2. $a_{1}=8$和$d=-2$
3. $a_{1}=-13$和$d=6$

回答

1。 $5,8,11,14,17$

3。 $-13,-7,-1,5,11$

练习$\PageIndex{8}$ Find the General Term ($n$th Term) of an Arithmetic Sequence

在以下练习中，使用提供的信息查找所描述的术语。

1. 找出序列的第二十五项，其中第一个项为五，共同差为三。
2. 找出序列的第三十项，其中第一个项是$16$，共同的区别是$−5$。
3. 找出序列的第十七项，其中第一个项是$−21$，共同差为二。

回答

2。 $-129$

练习$\PageIndex{9}$ Find the General Term ($n$th Term) of an Arithmetic Sequence

在以下练习中，找到指定的术语并给出通用术语的公式。

1. 找出序列的第十八项，其中第五项是$12$，共同差为七。
2. 找出序列的第二十一个项，其中第七项是$14$，共同的区别是$−3$。

回答

1。 $a_{18}=103 .$一般术语是$a_{n}=7 n-23$。

练习$\PageIndex{10}$ Find the General Term ($n$th Term) of an Arithmetic Sequence

在以下练习中，找出序列的第一个项和给定项的常见区别。 给出通用术语的公式。

1. 第五学期是$17$，第十四学期是$53$。
2. 第三个学期是$−26$，第十六个学期是$−91$。

回答

1。 $a_{1}=1, d=4 .$一般术语是$a_{n}=4 n-3$。

练习$\PageIndex{11}$ Find the Sum of the First $n$ Terms of an Arithmetic Sequence

在以下练习中，求出每个算术序列的前$30$项之和。

1. $7,4,1,-2,-5, \dots$
2. $1,6,11,16,21, \ldots$

回答

1。 $-430$

练习$\PageIndex{12}$ Find the Sum of the First $n$ Terms of an Arithmetic Sequence

在以下练习中，求出给出总项的算术序列的前十五个项的总和。

1. $a_{n}=4 n+7$
2. $a_{n}=-2 n+19$

回答

1。 $585$

练习$\PageIndex{13}$ Find the Sum of the First $n$ Terms of an Arithmetic Sequence

在以下练习中，找到每个总和。

1. $\sum_{i=1}^{50}(4 i-5)$
2. $\sum_{i=1}^{30}(-3 i-7)$
3. $\sum_{i=1}^{35}(i+10)$

回答

1。 $4850$

3。 $980$

几何序列和序列

练习$\PageIndex{14}$ Determine if a Sequence is Geometric

在以下练习中，确定序列是否为几何序列，如果是，请指明常用比率。

1. $3,12,48,192,768,3072, \dots$
2. $5,10,15,20,25,30, \dots$
3. $112,56,28,14,7, \frac{7}{2}, \ldots$
4. $9,-18,36,-72,144,-288, \dots$

回答

2。 该序列不是几何序列。

4。 该序列是几何序列，比例相同$r=−2$。

练习$\PageIndex{15}$ Determine if a Sequence is Geometric

在以下练习中，使用给定的第一项和常用比率写出每个几何序列的前五个项。

1. $a_{1}=-3$和$r=5$
2. $a_{1}=128$和$r=\frac{1}{4}$
3. $a_{1}=5$和$r=-3$

回答

2。 $128,32,8,2, \frac{1}{2}$

练习$\PageIndex{16}$ Find the General Term ($n$th Term) of a Geometric Sequence

在以下练习中，找到给出第一个项和常用比率的序列的指定项。

1. 找到$a_{9}$给定$a_{1}=6$和$r=2$
2. 找到$a_{11}$给定$a_{1}=10,000,000$和$r=0.1$

回答

1。 $1,536$

练习$\PageIndex{17}$ Find the General Term ($n$th Term) of a Geometric Sequence

在以下练习中，找到给定序列的指定项。 找到序列的通用术语。

1. 找到$a_{12}$序列，$6,-24,96,-384,1536,-6144, \dots$
2. 找到$a_{9}$序列，$4374,1458,486,162,54,18, \ldots$

回答

1。 $a_{12}=-25,165,824 .$一般术语是$a_{n}=6(-4)^{n-1}$

练习$\PageIndex{18}$ Find the Sum of the First $n$ terms of a Geometric Sequence

在以下练习中，求出每个几何序列的前十五个项的总和。

1. $-4,8,-16,32,-64,128 \ldots$
2. $3,12,48,192,768,3072 \ldots$
3. $3125,625,125,25,5,1 \ldots$

回答

1。 $5,460$

3。 $\approx 3906.25$

练习$\PageIndex{19}$ find the Sum of the First $n$ terms of a Geometric Sequence

在以下练习中，找到总和

1. $\sum_{i=1}^{8} 7(3)^{i}$
2. $\sum_{i=1}^{6} 24\left(\frac{1}{2}\right)^{i}$

回答

2。 $\frac{189}{8}=23.625$

练习$\PageIndex{20}$ Find the Sum of an Infinite Geometric Series

在以下练习中，求出每个无限几何序列的总和。

1. $1-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}-\frac{1}{27}+\frac{1}{81}-\frac{1}{243}+\frac{1}{729}-\dots$
2. $49+7+1+\frac{1}{7}+\frac{1}{49}+\frac{1}{343}+\ldots$

回答

2。 $\frac{343}{6} \approx 57.167$

练习$\PageIndex{21}$ Find the Sum of an Infinite Geometric Series

在以下练习中，将每个重复的十进制写成分数。

1. $0 . \overline{8}$
2. $0 . \overline{36}$

回答

2。 $\frac{4}{11}$

练习$\PageIndex{22}$ Apply Geometric Sequences and Series in the Real World

在以下练习中，解决问题。

1. 如果每个家庭将退税的$60$百分比花在商品和服务上，那么政府为刺激经济而向每个家庭提供美元的$360$退税对经济的总体影响是多少？
2. 亚当17岁高中毕业后刚刚找到了第一份全职工作。 他决定$300$每月投资美元购买IRA（年金）。 年金的利息为$7$ ％，按月复利。 当亚当六十七岁生日退休时，他的账户里会有多少钱？

回答

2。 $\$ 1,634,421.27$

二项式定理

练习$\PageIndex{23}$ Use Pascal's Triangle to Expand a Binomial

在以下练习中，使用 Pascal 的三角形展开每个二项式。

1. $(a+b)^{7}$
2. $(x-y)^{4}$
3. $(x+6)^{3}$
4. $(2 y-3)^{5}$
5. $(7 x+2 y)^{3}$

回答

2。 $x^{4}-4 x^{3} y+6 x^{2} y^{2}-4 x y^{3}+y^{4}$

4。 $\begin{array}{l}{32 y^{5}-240 y^{4}+720 y^{3}-1080 y^{2}} {+810 y-243}\end{array}$

练习$\PageIndex{24}$ Evaluate a Binomial Coefficient

在以下练习中，进行评估。

1. 1. $\left( \begin{array}{l}{11} \\ {1}\end{array}\right)$
   2. $\left( \begin{array}{l}{12} \\ {12}\end{array}\right)$
   3. $\left( \begin{array}{l}{13} \\ {0}\end{array}\right)$
   4. $\left( \begin{array}{l}{8} \\ {3}\end{array}\right)$
2. 1. $\left( \begin{array}{l}{7} \\ {1}\end{array}\right)$
   2. $\left( \begin{array}{l}{5} \\ {5}\end{array}\right)$
   3. $\left( \begin{array}{l}{9} \\ {0}\end{array}\right)$
   4. $\left( \begin{array}{l}{9} \\ {5}\end{array}\right)$
3. 1. $\left( \begin{array}{l}{1} \\ {1}\end{array}\right)$
   2. $\left( \begin{array}{l}{15} \\ {15}\end{array}\right)$
   3. $\left( \begin{array}{l}{4} \\ {0}\end{array}\right)$
   4. $\left( \begin{array}{l}{11} \\ {2}\end{array}\right)$

回答

1。

1. $11$
2. $1$
3. $1$
4. $56$

3。

1. $1$
2. $1$
3. $1$
4. $55$

练习$\PageIndex{25}$ Use the Binomial Theorem to Expand a Binomial

在以下练习中，使用二项式定理展开每个二项式。

1. $(p+q)^{6}$
2. $(t-1)^{9}$
3. $(2 x+1)^{4}$
4. $(4 x+3 y)^{4}$
5. $(x-3 y)^{5}$

回答

2。 $\begin{array}{l}{t^{9}-9 t^{8}+36 t^{7}-84 t^{6}+126 t^{5}} {-126 t^{4}+84 t^{3}-36 t^{2}+9 t-1}\end{array}$

4。 $\begin{array}{l}{256 x^{4}+768 x^{3} y+864 x^{2} y^{2}} {+432 x y^{3}+81 y^{4}}\end{array}$

练习$\PageIndex{26}$ Use the Binomial Theorem to Expand a Binomial

在以下练习中，在二项式扩展中找到指定的术语。

1. 第七学期$(a+b)^{9}$
2. 第三学期$(x-y)^{7}$

回答

1。 $84a^{6} b^{3}$

练习$\PageIndex{27}$ Use the Binomial Theorem to Expand a Binomial

在以下练习中，在二项式展开中找到指定项的系数。

1. $y^{4}$的期限$(y+3)^{6}$
2. $x^{5}$的期限$(x-2)^{8}$
3. $a^{3} b^{4}$的期限$(2 a+b)^{7}$

回答

1。 $135$

3。 $280$

练习测试

练习$\PageIndex{28}$

在以下练习中，写出给出通用项的序列的前五个项。

1. $a_{n}=\frac{5 n-3}{3^{n}}$
2. $a_{n}=\frac{(n+2) !}{(n+3) !}$
3. 为序列找一个通用术语，$-\frac{2}{3},-\frac{4}{5},-\frac{6}{7},-\frac{8}{9},-\frac{10}{11}, \dots$
4. 展开部分总和并找到其值。 $\sum_{i=1}^{4}(-4)^{i}$
5. 使用求和表示法写下以下内容。 $-1+\frac{1}{4}-\frac{1}{9}+\frac{1}{16}-\frac{1}{25}$
6. 用给定的第一项和共同的差值写出算术序列的前五项。 $a_{1}=-13$和$d=3$
7. 找出算术序列的第二十项，其中第一个项为二，共同差异为$−7$。
8. 找出一个算术序列的第二十三项，其第七项为$11$常差为三。 然后找到通用术语的公式。
9. 找出第九项为、第十六项为的算术序列的第一个项$−1$和公差$−15$。 然后找到通用术语的公式。
10. 求算术序列首$25$项的总和，$5,9,13,17,21, \dots$
11. 求出总项为的算术序列中首$50$项的总和$a_{n}=-3 n+100$。
12. 找到总和。 $\sum_{i=1}^{40}(5 i-21)$

回答

2。 $\frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6}, \frac{1}{7}, \frac{1}{8}$

4。 $-4+16-64+256=204$

6。 $-13,-10,-7,-4,-1$

8。 $a_{23}=59 .$一般术语是$a_{n}=3 n-10$。

10。 $1,325$

12。 $3,260$

练习$\PageIndex{29}$

在以下练习中，确定序列是算术序列、几何序列还是两者都不是。 如果是算术，则找出共同的区别。 如果是几何比例，则找到常用比率。

1. $14,3,-8,-19,-30,-41, \ldots$
2. $324,108,36,12,4, \frac{4}{3}, \ldots$
3. 用给定的第一项和常用比率写出几何序列的前五个项。 $a_{1}=6$和$r=−2$。
4. 在第一项和常用比率为和的几何序列$r=4$中，找到$a_{11}$。$a_{1}=5$
5. 找到$a_{10}$几何序列，$1250,250,50,10,2, \frac{2}{5}, \ldots$然后找到通用项的
   公式。
6. 求出几何序列的前十三个项的总和，$2,-6,18,-54,162,-486 \ldots$

回答

2。 该序列是几何序列，比例相同$r=\frac{1}{3}$。

4。 $5,242,880$

6。 $797,162$

练习$\PageIndex{30}$

在以下练习中，找到总和。

1. $\sum_{i=1}^{9} 5(2)^{i}$
2. $1-\frac{1}{5}+\frac{1}{25}-\frac{1}{125}+\frac{1}{625}-\frac{1}{3125}+\dots$
3. 将重复的十进制写成分数。 $0 . \overline{81}$
4. 戴夫在18岁高中毕业后刚刚找到了第一份全职工作。 他决定$450$每月投资美元购买IRA（年金）。 年金的利息为$6$ ％，按月复利。 当亚当六十五岁生日退休时，他的账户里会有多少钱？
5. 使用帕斯卡三角形扩展二项式。 $(m-2 n)^{5}$
6. 评估每个二项式系数。
   1. $\left( \begin{array}{l}{8} \\ {1}\end{array}\right)$
   2. $\left( \begin{array}{l}{16} \\ {16}\end{array}\right)$
   3. $\left( \begin{array}{l}{12} \\ {0}\end{array}\right)$
   4. $\left( \begin{array}{l}{10} \\ {6}\end{array}\right)$
7. 使用二项式定理扩展二项式。 $(4 x+5 y)^{3}$

回答

2。 $\frac{5}{6}$

4。 $\$ 1,409,344.19$

6。

1. $8$
2. $1$
3. $1$
4. $210$