11.2：距离和中点公式和圆形

学习目标

在本节结束时，您将能够：

• 使用距离公式
• 使用中点公式
• 用标准形式写出圆的方程
• 画一个圆圈

在开始之前，请参加这个准备测验。

1. 找出腿为$12$和$16$英寸的直角三角形的斜边长度。
   如果你错过了这个问题，请查看示例 2.34。
2. 因子：$x^{2}-18 x+81$。
   如果您错过了此问题，请查看示例 6.24。
3. 通过完成方块求解:$x^{2}-12 x-12=0$.
   如果您错过了此问题，请查看示例 9.22。

在本章中，我们将研究圆锥截面（通常称为圆锥）及其属性。 圆锥是由平面与双锥相交而形成的曲线，两个圆锥点对点放置。 双锥的每一半都称为午睡。

图 11.1.1

有四个圆锥—— 圆形、抛物线、椭圆和双曲线。 下图显示了与双锥相交的平面是如何形成每条曲线的。

图 11.1.2

每条曲线都有许多影响您日常生活的应用，从手机到声学和导航系统。 在本节中，我们将研究圆的属性。

使用距离公式

我们使用毕达哥拉斯定理来计算直角三角形边的长度。 在这里，我们将再次使用这个定理来查找矩形坐标系上的距离。 通过在矩形坐标系上寻找距离，我们可以在圆锥和代数的几何之间建立联系，这为应用开辟了一个充满机会的世界。

我们的第一步是开发一个公式来计算矩形坐标系上各点之间的距离。 我们将绘制点并创建一个直角三角形，就像我们在图表和函数中找到斜率时所做的那样。 然后我们更进一步，使用毕达哥拉斯定理来找出三角形斜边的长度，即两点之间的距离。

示例$\PageIndex{1}$

使用直角坐标系查找点$(6,4)$和之间的距离$(2,1)$。

解决方案

表 11.1.1

绘制这两个点。 用一条线将两 点连接起来。 画一个直角三角形，就好像你要 找到斜率一样。	图 11.1.3
找出每条腿的长度。	图 11.1.4
使用毕达哥拉斯定理找出$d$两点之间的距离。	$a^{2}+b^{2}=c^{2}$
在值中替换。	$3^{2}+4^{2}=d^{2}$
简化。	$9+16=d^{2}$
	$25=d^{2}$
使用平方根属性。	$d=5\quad\cancel{d=-5}$
既然距离$d$是正数，我们可以消除$d=-5$。	点$(6,4)$与之间的距离$(2,1)$为$5$。

练习$\PageIndex{1}$

使用直角坐标系查找点$(6,1)$和之间的距离$(2,-2)$。

回答

$d=5$

练习$\PageIndex{2}$

使用直角坐标系查找点$(5,3)$和之间的距离$(-3,-3)$。

回答

$d=10$

图 11.1.5

我们在上一个示例中使用的方法引导我们得出计算两点$\left(x_{1}, y_{1}\right)$和之间距离的公式$\left(x_{2}, y_{2}\right)$。

当我们找到水平腿的长度时$6−2$，我们减去了$x_{2}-x_{1}$。

当我们找到垂直腿的长度时$4−1$，我们减去了$y_{2}-y_{1}$。

如果三角形处于不同的位置，则我们可能减去了$x_{1}-x_{2}$或$y_{1}-y_{2}$。 表达式$x_{2}-x_{1}$和仅在结果数字的符号上$x_{1}-x_{2}$变化。 要获得正值，因为距离是正值，我们可以使用绝对值。 因此，总而言之，我们会说$\left|x_{2}-x_{1}\right|$和$\left|y_{2}-y_{1}\right|$。

在毕达哥拉斯定理中，我们用一般表达式$\left|x_{2}-x_{1}\right|$$\left|y_{2}-y_{1}\right|$而不是数字代替。

$\begin{array}{l c}{} & {a^{2}+b^{2}=c^{2}} \\ {\text {Substitute in the values. }}&{(|x_{2}-x_{1}|)^{2}+(|y_{2}-y_{1}|)^{2}=d^{2}} \\ {\text{Squaring the expressions makes}}&{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}=d^{2}} \\ \text{them positive, so we eliminate} \\\text{the absolute value bars.}\\ {\text{Use the Square Root Property.}}&{d=\pm\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}\\ {\text{Distance is positive, so eliminate}}&{d=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}\\\text{the negative value.}\end{array}$

这是我们用来计算两点$d$$(x_{1},y_{1})$之间距离的距离公式$(x_{2}, y_{2})$。

定义$\PageIndex{1}$

距离公式

两点$(x_{1},y_{1})$和$d$之间的距离$(x_{2}, y_{2})$为

$d=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}$

示例$\PageIndex{2}$

使用距离公式计算点$(-5,-3)$和之间的距离$(7,2)$。

解决方案：

写出距离公式。

$d=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}$

标记积分$\left( \begin{array}{c}{x_{1}, y_{1}} \\ {-5,-3}\end{array}\right)$，$\left( \begin{array}{l}{x_{2}, y_{2}} \\ {7,2}\end{array}\right)$然后替换。

$d=\sqrt{(7-(-5))^{2}+(2-(-3))^{2}}$

简化。

$d=\sqrt{12^{2}+5^{2}}$
$d=\sqrt{144+25}$
$d=\sqrt{169}$
$d=13$

答案：

$d=13$

练习$\PageIndex{3}$

使用距离公式计算点$(-4,-5)$和之间的距离$(5,7)$。

回答

$d=15$

练习$\PageIndex{4}$

使用距离公式计算点$(-2,-5)$和之间的距离$(-14,-10)$。

回答

$d=13$

示例$\PageIndex{3}$

使用距离公式计算点$(10,−4)$和之间的距离$(−1,5)$。 以精确的形式写出答案，然后找到十进制近似值，必要时四舍五入到最接近的十分之一。

解决方案：

写出距离公式。

$d=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}$

标记积分$\left( \begin{array}{c}{x_{1}, y_{1}} \\ {10,-4}\end{array}\right)$，$\left( \begin{array}{c}{x_{2}, y_{2}} \\ {-1,5}\end{array}\right)$然后替换。

$d=\sqrt{(-1-10)^{2}+(5-(-4))^{2}}$

简化。

$d=\sqrt{(-11)^{2}+9^{2}}$
$d=\sqrt{121+81}$
$d=\sqrt{202}$

由于$202$不是完美的正方形，我们可以将答案保留为精确的形式或找到十进制近似值。

$d=\sqrt{202}$
或者
$d \approx 14.2$

练习$\PageIndex{5}$

使用距离公式计算点$(−4,−5)$和之间的距离$(3,4)$。 以精确的形式写出答案，然后找到十进制近似值，必要时四舍五入到最接近的十分之一。

回答

$d=\sqrt{130}, d \approx 11.4$

练习$\PageIndex{6}$

使用距离公式计算点$(−2,−5)$和之间的距离$(−3,−4)$。 以精确的形式写出答案，然后找到十进制近似值，必要时四舍五入到最接近的十分之一。

回答

$d=\sqrt{2}, d \approx 1.4$

使用中点公式

能够找到线段的中点通常很有用。 例如，如果您有圆直径的端点，则可能需要找到圆的中心，即直径的中点。 为了找到线段的中点，我们求出端点$x$-坐标的平均值和$y$-坐标的平均值。

定义$\PageIndex{2}$

中点公式

线段的中点，其端点是两点$\left(x_{1}, y_{1}\right)$并且$\left(x_{2}, y_{2}\right)$是

$\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)$

为了找到线段的中点，我们求出端点$x$-坐标的平均值和$y$-坐标的平均值。

示例$\PageIndex{4}$

使用中点公式求出端点为$(−5,−4)$和的线段的中点$(7,2)$。 在矩形坐标系上绘制端点和中点。

解决方案：

表 11.1.2

写出中点公式。	$\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)$
标记积分，$\left( \begin{array}{c}{x_{1}, y_{1}} \\ {-5,-4}\end{array}\right), \left( \begin{array}{l}{x_{2}, y_{2}} \\ {7,2}\end{array}\right)$然后替换。	$\left(\frac{-5+7}{2}, \frac{-4+2}{2}\right)$
简化。	$\left(\frac{2}{2}, \frac{-2}{2}\right)$
	$(1,-1)$ 线段的中点就是点 $(1,-1)$。
绘制端点和中点。	图 11.1.6

练习$\PageIndex{7}$

使用中点公式求出端点为$(−3,−5)$和的线段的中点$(5,7)$。 在矩形坐标系上绘制端点和中点。

回答

图 11.1.7

练习$\PageIndex{8}$

使用中点公式求出端点为$(−2,−5)$和的线段的中点$(6,−1)$。 在矩形坐标系上绘制端点和中点。

回答

图 11.1.8

距离公式和中点公式都取决于两个点，$\left(x_{1}, y_{1}\right)$和$\left(x_{2}, y_{2}\right)$。 很容易混淆哪个公式需要加法和哪个减法坐标。 如果我们记住公式来自哪里，可能更容易记住公式。

图 11.1.9

用标准形式写出圆的方程

正如我们提到的，我们的目标是将圆锥的几何与代数连接起来。 通过使用坐标平面，我们可以轻松做到这一点。

图 11.1.10

我们将圆定义为平面中与平面中给定点保持固定距离的所有点。 给定点称为圆的中心$(h,k)$，固定距离称为圆的半径。$r$

定义$\PageIndex{3}$

圆是平面中与平面中给定点保持固定距离的所有点。 给定点称为圆的中心$(h,k)$，固定距离称为圆的半径。$r$

表 11.1.3

我们看矩形坐标系中的一个圆。 半径是从中心到圆上某一 点的距离$(x,y)$。$(h,k)$	图 11.1.11
要得出圆的方程，我们可以使用带点$(h,k)$$(x,y)$和 距离的 距离公式$r$。	$d=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}$
替换这些值。	$r=\sqrt{(x-h)^{2}+(y-k)^{2}}$
两边都是正方形。	$r^{2}=(x-h)^{2}+(y-k)^{2}$

这是中心和半径为的圆方程$(h,k)$的标准形式$r$。

定义$\PageIndex{4}$

中心、$(h,k)$和半径为的圆方程的标准形式是$r$

图 11.1.12

示例$\PageIndex{5}$

用半径$3$和中心写出圆方程的标准形式$(0,0)$。

解决方案：

表 11.1.4

使用圆方程的标准形式	$(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$
在值中替换$r=3, h=0$，和$k=0$。	$(x-0)^{2}+(y-0)^{2}=3^{2}$
简化。	$x^{2}+y^{2}=9$

练习$\PageIndex{9}$

写出半径为$6$和中心的圆方程的标准形式$(0,0)$。

回答

$x^{2}+y^{2}=36$

练习$\PageIndex{10}$

写出半径为$8$和中心的圆方程的标准形式$(0,0)$。

回答

$x^{2}+y^{2}=64$

在最后一个例子中，中心是$(0,0)$。 注意方程发生了什么。 无论中心在哪里$(0,0)$，标准形式就会变成$x^{2}+y^{2}=r^{2}$。

示例$\PageIndex{6}$

用半径$2$和中心写出圆方程的标准形式$(−1,3)$。

解决方案：

表 11.1.5

使用圆方程的标准形式。	$(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$
在值中替换。	$(x-(-1))^{2}+(y-3)^{2}=2^{2}$
简化。	$(x+1)^{2}+(y-3)^{2}=4$

练习$\PageIndex{11}$

写出半径为$7$和中心的圆方程的标准形式$(2,−4)$。

回答

$(x-2)^{2}+(y+4)^{2}=49$

练习$\PageIndex{12}$

写出半径为$9$和中心的圆方程的标准形式$(−3,−5)$。

回答

$(x+3)^{2}+(y+5)^{2}=81$

在下一个示例中，没有给出半径。 为了计算半径，我们使用两个给定点的距离公式。

示例$\PageIndex{7}$

写出圆方程的标准形式$(2,4)$，中心也包含点$(−2,1)$。

图 11.1.15

解决方案：

半径是从圆心到圆上任何点的距离，因此我们可以使用距离公式来计算。 我们将使用中心$(2,4)$和点$(−2,1)$

使用距离公式求出半径。

$r=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}$

替换这些值。 $\left( \begin{array}{l}{x_{1}, y_{1}} \\ {2,4}\end{array}\right), \left( \begin{array}{c}{x_{2}, y_{2}} \\ {-2,1}\end{array}\right)$

$r=\sqrt{(-2-2)^{2}+(1-4)^{2}}$

简化。

$r=\sqrt{(-4)^{2}+(-3)^{2}}$
$r=\sqrt{16+9}$
$r=\sqrt{25}$
$r=5$

现在我们知道了半径和中心$(2,4)$，我们可以使用圆方程的标准形式来找到方程。$r=5$

使用圆方程的标准形式。

$(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$

在值中替换。

$(x-2)^{2}+(y-4)^{2}=5^{2}$

简化。

$(x-2)^{2}+(y-4)^{2}=25$

练习$\PageIndex{13}$

写出圆方程的标准形式$(2,1)$，中心也包含点$(−2,−2)$。

回答

$(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=25$

练习$\PageIndex{14}$

写出圆方程的标准形式$(7,1)$，中心也包含点$(−1,−5)$。

回答

$(x-7)^{2}+(y-1)^{2}=100$

画一个圆圈

任何形式的方程$(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$都是圆方程的标准形式$(h,k)$，其中心和半径为$r$。 然后，我们可以在矩形坐标系上绘制圆的图形。

请注意，标准格式要求从$x$和中减去$y$。 在下一个例子中，方程有$x+2$，所以我们需要将加法重写为负数的减法。

示例$\PageIndex{8}$

找到中心和半径，然后绘制圆的图形：$(x+2)^{2}+(y-1)^{2}=9$。

解决方案：

表 11.1.6

使用圆方程的标准形式。 确定中心$(h,k)$和半径$r$。
	中心：$(-2,1)$半径：$3$
绘制圆圈图。

练习$\PageIndex{15}$

1. 找到中心和半径，然后
2. 绘制圆圈图:$(x-3)^{2}+(y+4)^{2}=4$.

回答

1. 圆的中心位置为$(3,-4)$，半径为$2$。

图 11.1.19

练习$\PageIndex{16}$

1. 找到中心和半径，然后
2. 绘制圆圈图:$(x-3)^{2}+(y-1)^{2}=16$.

回答

1. 圆的中心位置为$(3,1)$，半径为$4$。

图 11.1.20

要找到中心和半径，我们必须用标准形式写出方程。 在下一个示例中，我们必须首先将的系数$x^{2}, y^{2}$设为一。

示例$\PageIndex{9}$

找到中心和半径，然后绘制圆的图形$4 x^{2}+4 y^{2}=64$。

解决方案：

表 11.1.7

将两边除以$4$。
使用圆方程的标准形式。 确定中心$(h,k)$和半径$r$。
	中心：$(0,0)$半径：$4$
绘制圆圈图。

练习$\PageIndex{17}$

1. 找到中心和半径，然后
2. 绘制圆圈图：$3 x^{2}+3 y^{2}=27$

回答

1. 圆的中心位置为$(0,0)$，半径为$3$。

图 11.1.25

练习$\PageIndex{18}$

1. 找到中心和半径，然后
2. 绘制圆圈图：$5 x^{2}+5 y^{2}=125$

回答

1. 圆的中心位置为$(0,0)$，半径为$5$。

图 11.1.26

如果我们扩展示例 11.1.8 中的方程$(x+2)^{2}+(y-1)^{2}=9$，则圆的方程看起来会大不相同。

$(x+2)^{2}+(y-1)^{2}=9$

对二项式进行平方。

$x^{2}+4 x+4+y^{2}-2 y+1=9$

按降序排列术语，然后在右边取零

$x^{2}+y^{2}+4 x-2 y-4=0$

这种形式的方程被称为圆方程的一般形式。

定义$\PageIndex{5}$

圆方程的一般形式是

$x^{2}+y^{2}+a x+b y+c=0$

如果给我们一个通用形式的方程，我们可以通过填写$x$和中的正方形将其更改为标准形式$y$。 然后我们可以使用圆的中心和半径绘制圆的图形。

示例$\PageIndex{10}$

1. 找到中心和半径，然后
2. 绘制圆圈图：$x^{2}+y^{2}-4 x-6 y+4=0$

解决方案：

我们需要将这个通用形式重写成标准形式才能找到中心和半径。

表 11.1.8

	图 11.1.27
将$x$-terms$y$ 和-terms 分组。 收集右侧的常量。	图 11.1.28
完成方格。	图 11.1.29
重写为二项式方块。	图 11.1.30
确定中心和半径。	中心：$(2,3)$半径：$3$
绘制圆圈图。	图 11.1.31

练习$\PageIndex{19}$

1. 找到中心和半径，然后
2. 绘制圆圈图:$x^{2}+y^{2}-6 x-8 y+9=0$.

回答

1. 圆的中心位置为$(3,4)$，半径为$4$。

图 11.1.32

练习$\PageIndex{20}$

1. 找到中心和半径，然后
2. 绘制圆圈图：$x^{2}+y^{2}+6 x-2 y+1=0$

回答

1. 圆的中心位置为$(-3,1)$，半径为$3$。

图 11.1.33

在下一个示例中，有一个$y$-term和一个$y^{2}$-term。 但是请注意，没有$x$-term，只有一个$x^{2}$-term。 我们以前见过这个，知道这意味着$h$是$0$。 我们需要完成项的平方，但不需要完成$x$项的平方。$y$

示例$\PageIndex{11}$

1. 找到中心和半径，然后
2. 绘制圆圈图：$x^{2}+y^{2}+8 y=0$

解决方案：

我们需要将这个通用形式重写成标准形式才能找到中心和半径。

表 11.1.9

将$x$-terms$y$ 和-terms 分组。
右侧没有要收集的常量。
完成方块$y^{2}+8y$。
重写为二项式方块。
确定中心和半径。	中心：$(0,-4)$半径：$4$
绘制圆圈图。

练习$\PageIndex{21}$

1. 找到中心和半径，然后
2. 绘制圆圈图:$x^{2}+y^{2}-2 x-3=0$.

回答

1. 圆的中心位置为$(-1,0)$，半径为$2$。

图 11.1.39

练习$\PageIndex{22}$

1. 找到中心和半径，然后
2. 绘制圆圈图:$x^{2}+y^{2}-12 y+11=0$.

回答

1. 圆的中心位置为$(0,6)$，半径为$5$。

图 11.1.40

访问这些在线资源以获取更多说明和练习，使用距离和中点公式以及绘制圆圈。

• 距离中点公式和圆圈
• 找出两点之间的距离和中点
• 完成正方形以标准圆形写出方程

关键概念

• 距离公式：两点$d$$\left(x_{1}, y_{1}\right)$之间的距离$\left(x_{2}, y_{2}\right)$为

  $d=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}$

• 中点公式：线段的中点，其端点是两点$\left(x_{1}, y_{1}\right)$并且$\left(x_{2}, y_{2}\right)$是

  $\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)$

  为了找到线段的中点，我们求出端点$x$-坐标的平均值和$y$-坐标的平均值。
• 圆圈：圆是平面中与平面中固定点保持固定距离的所有点。 给定点称为圆的中心$(h,k)$，固定距离称为圆的半径。$r$
• 方程的标准形式 a Circle：具有中心$(h,k)$、和半径的圆方程的标准形式是$r$

图 11.1.41

• 圆@@ 方程的一般形式：圆方程的一般形式是

  $x^{2}+y^{2}+a x+b y+c=0$

词汇表

圈

圆是平面中与平面中固定点保持固定距离的所有点。