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9.2:使用平方根属性求解二次方程

学习目标

在本节结束时,您将能够:

  • ax2=k使用平方根属性求解形式的二次方程
  • a(xh)2=k使用平方根属性求解形式的二次方程

在开始之前,请参加这个准备测验。

  1. 简化:128
    如果您错过了此问题,请查看示例 8.13。
  2. 简化:325
    如果您错过了此问题,请查看示例 8.50。
  3. 因子:9x212x+4
    如果您错过了此问题,请查看示例 6.23。

二次方程是形式的方程ax2+bx+c=0其中a0。 二次方程与线性方程的不同之处在于,二次方程包含一个二次项,变量提高到该形式的二次方ax2。 我们使用与线性方程不同的方法来求解二次方程,因为仅仅相加、减去、乘和除项并不能隔离变量。

我们已经看到,一些二次方程可以通过分解来求解。 在本章中,我们将学习其他三种在无法分解二次方程的情况下使用的方法。

ax2=k使用平方根属性求解形式的二次方程

我们已经通过分解求解了一些二次方程。 让我们回顾一下我们是如何使用分解来求解二次方程的x2=9

x2=9

将方程式以标准形式表示。

x29=0

将平方差分解为因子。

(x3)(x+3)=0

使用 “零产量” 属性。

x3=0x3=0

求解每个方程。

x=3x=3

我们可以很容易地使用因子分解来找到相似方程的解,比如x2=16x2=25,因为1625是完美的正方形。 在每种情况下,我们都会得到两个解决方案x=4,x=4x=5,x=5

但是当我们有这样的方程式时会发生什么x2=7? 由于7不是完美的正方形,因此我们无法通过分解来求解方程。

之前我们了解到 s169 ince 是的平方13,我们也可以说13这是的平方根169。 另外(13)2=169,的平方根13也是如此169。 因此,1313都是的平方根169。 因此,每个正数都有两个平方根——一个正数和一个负数。 我们之前用这种方式定义了数字的平方根:

如果n2=mn则为的平方根m

由于这些方程都是形式上的x2=k,因此平方根定义告诉我们,解是两个平方根k。 这就产生了平方根属性

定义1

平方根属性

如果x2=k,那么

x=k或者x=kx=±k

请注意,Square Root Property 给出了形式的方程的两个解x2=k,即主平方根k和相反的方程。 我们也可以将解决方案写成x=±k。 我们将其理解为x等于正或负的平方根k

现在我们将x2=9再次求解方程,这次是使用平方根属性。

x2=9 Use the Square Root Property. x=±9x=±3

所以x=3或者x=3

当常量不是完美正方形时会发生什么? 让我们使用平方根属性来求解方程x2=7

x2=7

使用平方根属性。 x=7,x=7

我们无法简化7,所以我们把答案当作激进的答案。

示例1 How to Solve a Quadratic Equation of the form ax2\k Using the Square Root Property

解决:x250=0

解决方案

步骤 1:分离二次项并将其系数设为一。 50到两边就可以自己x2动手。 x250=0x2=50
步骤 2:使用平方根属性。 记得写下±符号。 x=±50
第 3 步:简化激进。 重写以显示两个解决方案。 x=±252x=±52x=52,x=52
第 4 步:检查解决方案。 x=52和中替换x=52

x250=0(52)250?=025250?=00=0

x250=0(52)250?=025250?=00=0

表 9.1.1
练习1

解决:x248=0

回答

x=43,x=43

练习2

解决:y227=0

回答

y=33,y=33

此处列出了使用平方根属性求解二次方程所要采取的步骤。

使用平方根属性求解二次方程

  1. 分离二次项并将其系数设为一。
  2. 使用平方根属性。
  3. 简化激进。
  4. 检查解决方案。

要使用平方根属性,变量项的系数必须等于 1。 在下一个示例中,在使用平方根属性3之前,我们必须将方程的两边除以系数。

示例2

解决:3z2=108

解决方案

  3z2=108
二次项是孤立的。 除3以得出其系数1 3z23=1083
简化。 z2=36
使用平方根属性。 z=±36
简化激进。 z=±6
重写以显示两个解决方案。 z=6,z=6

查看解决方案:

。
图 9.1.1
 
表 9.1.2
练习3

解决:2x2=98

回答

x=7,x=7

练习4

解决:5m2=80

回答

m=4,m=4

平方根属性指出 “如果”x2=k,会发生什么k<0? 在下一个示例中,情况将如此。

示例3

解决:x2+72=0

解决方案

  x2+72=0
分离二次项。 x2=72
使用平方根属性。 x=±72
简化复数的使用。 x=±72i
简化激进。 x=±62i
重写以显示两个解决方案 x=62i,x=62i

查看解决方案:

。
图 9.1.2
 
表 9.1.3
练习5

解决:c2+12=0

回答

c=23i,c=23i

练习6

解决:q2+24=0

回答

c=26i,c=26i

当方程中出现分数时,我们的方法也适用,我们像任何带有分数的方程一样求解。 在下一个示例中,我们首先分离二次项,然后使系数等于一。

示例4

解决:23u2+5=17

解决方案

  23u2+5=17
分离二次项。 。
32以得出系数1 。
简化。 。
使用平方根属性。 。
简化激进。 。
简化。 。
重写以显示两个解决方案。 。

查看:

。
图 9.1.10
 
表 9.1.4
练习7

解决:12x2+4=24

回答

x=210,x=210

练习8

解决:34y23=18

回答

y=27,y=27

某些方程的解在自由基内部可能有分数。 当这种情况发生时,我们必须使分母合理化

示例5

解决:2x28=41

解决方案

  。
分离二次项。 。
2以得出系数1 。
简化。 。
使用平方根属性。 。
将基数重写为平方根的分数。 。
合理化分母。 。
简化。 。
重写以显示两个解决方案。 。

查看:

我们把支票留给你。

 
表 9.1.5
练习9

解决:5r22=34

回答

r=655,r=655

练习10

解决:3t2+6=70

回答

t=833,t=833

a(xh)2=k使用平方根属性求解形式的二次方程

我们也可以使用平方根属性来求解这种a(xh)2=k形式的方程。 请注意,原始形式的二x次项被替换ax2=k(xh)

左边是方程 a 乘以 x 平方等于 k。将此方程中的 x 替换为表达式 x 减去 h 会改变方程。 现在是 x 的平方减去 h 等于 k 的乘积。
图 9.1.20

和以前一样,第一步是分离变量为平方的项。 在这种情况下,正在对二项式进行平方。 隔离二项式后,通过将两边除以系数a,就可以使用平方根属性(xh)2了。

示例6

解决:4(y7)2=48

解决方案

  4(y7)2=48
将两边除以系数4 (y7)2=12
在二项式上使用平方根属性。 y7=±12
简化激进。 y7=±23
求解y y=7±23
重写以显示两个解决方案。 y=7+23
y=723

查看:

。
图 9.1.21
 
表 9.1.6
练习11

解决:3(a3)2=54

回答

a=3+32,a=332

练习12

解决:2(b+2)2=80

回答

b=2+210,b=2210

请记住,当我们取分数的平方根时,我们可以分别取分子和分母的平方根。

示例7

解决:(x13)2=59

解决方案

(x13)2=59

使用平方根属性。

x13=±59

将基数重写为平方根的分数。

x13=±59

简化激进。

x13=±53

求解x

x=13±53

重写以显示两个解决方案。

x=13+53,x=1353

查看:

我们把支票留给你。

练习13

解决:(x12)2=54

回答

x=12+52,x=1252

练习14

解决:(y+34)2=716

回答

y=34+74,y=3474

我们将通过隔离二项式项来开始下一个示例的解。

示例8

解决:2(x2)2+3=57

解决方案

2(x2)2+3=57

3从两边减去以分离二项式项。

2(x2)2=54

将两边除以2

(x2)2=27

使用平方根属性。

x2=±27

简化激进。

x2=±33

求解x

x=2±33

重写以显示两个解决方案。

x=2+33,x=233

查看:

我们把支票留给你。

练习15

解决:5(a5)2+4=104

回答

a=5+25,a=525

练习16

解决:3(b+3)28=88

回答

b=3+42,b=342

有时解是复数。

示例9

解决:(2x3)2=12

解决方案

(2x3)2=12

使用平方根属性。

2x3=±12

简化激进。

2x3=±23i

3边都加上。

2x=3±23i

将两边除以2

x=3±23i2

以标准形式重写。

x=32±23i2

简化。

x=32±3i

重写以显示两个解决方案。

x=32+3i,x=323i

查看:

我们把支票留给你。

练习17

解决:(3r+4)2=8

回答

r=43+22i3,r=4322i3

练习18

解决:(2t8)2=10

回答

t=4+10i2,t=410i2

在接下来的两个例子中,方程的左边似乎不是这种形式a(xh)2。 但是它们是完美的正方三项式,所以我们会考虑把它们变成我们需要的形式。

示例10

解决:4n2+4n+1=16

解决方案

我们注意到方程的左侧是一个完美的方形三项式。 我们将首先将其考虑在内。

  4n2+4n+1=16
将完美的正方三项式分解出来。 (2n+1)2=16
使用平方根属性。 2n+1=±16
简化激进。 2n+1=±4
求解n 2n=1±4
将两边除以2 2n2=1±42n=1±42
重写以显示两个解决方案。 n=1+42,n=142
简化每个方程。 n=32,n=52

查看:

。
图 9.1.22
 
表 9.1.7
练习\PageIndex{19}

解决:9 m^{2}-12 m+4=25

回答

m=\frac{7}{3}, \quad m=-1

练习\PageIndex{20}

解决:16 n^{2}+40 n+25=4

回答

n=-\frac{3}{4}, \quad n=-\frac{7}{4}

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关键概念

  • 平方根属性
    • 如果x^{2}=k、则x=\sqrt{k}x=-\sqrt{k}x=\pm \sqrt{k}
    如何使用平方根属性求解二次方程。
    1. 分离二次项并将其系数设为一。
    2. 使用平方根属性。
    3. 简化激进。
    4. 检查解决方案。