9.2:使用平方根属性求解二次方程
在本节结束时,您将能够:
- ax2=k使用平方根属性求解形式的二次方程
- a(x–h)2=k使用平方根属性求解形式的二次方程
在开始之前,请参加这个准备测验。
- 简化:√128。
如果您错过了此问题,请查看示例 8.13。 - 简化:√325。
如果您错过了此问题,请查看示例 8.50。 - 因子:9x2−12x+4。
如果您错过了此问题,请查看示例 6.23。
二次方程是形式的方程ax2+bx+c=0,其中a≠0。 二次方程与线性方程的不同之处在于,二次方程包含一个二次项,变量提高到该形式的二次方ax2。 我们使用与线性方程不同的方法来求解二次方程,因为仅仅相加、减去、乘和除项并不能隔离变量。
我们已经看到,一些二次方程可以通过分解来求解。 在本章中,我们将学习其他三种在无法分解二次方程的情况下使用的方法。
ax2=k使用平方根属性求解形式的二次方程
我们已经通过分解求解了一些二次方程。 让我们回顾一下我们是如何使用分解来求解二次方程的x2=9。
x2=9
将方程式以标准形式表示。
x2−9=0
将平方差分解为因子。
(x−3)(x+3)=0
使用 “零产量” 属性。
x−3=0x−3=0
求解每个方程。
x=3x=−3
我们可以很容易地使用因子分解来找到相似方程的解,比如x2=16和x2=25,因为16和25是完美的正方形。 在每种情况下,我们都会得到两个解决方案x=4,x=−4,x=5,x=−5
但是当我们有这样的方程式时会发生什么x2=7? 由于7不是完美的正方形,因此我们无法通过分解来求解方程。
之前我们了解到 s169 ince 是的平方13,我们也可以说13这是的平方根169。 另外(−13)2=169,的平方根−13也是如此169。 因此,13和−13都是的平方根169。 因此,每个正数都有两个平方根——一个正数和一个负数。 我们之前用这种方式定义了数字的平方根:
如果n2=m,n则为的平方根m。
由于这些方程都是形式上的x2=k,因此平方根定义告诉我们,解是两个平方根k。 这就产生了平方根属性。
平方根属性
如果x2=k,那么
x=√k或者x=−√k或x=±√k
请注意,Square Root Property 给出了形式的方程的两个解x2=k,即主平方根k和相反的方程。 我们也可以将解决方案写成x=±√k。 我们将其理解为x等于正或负的平方根k。
现在我们将x2=9再次求解方程,这次是使用平方根属性。
x2=9 Use the Square Root Property. x=±√9x=±3
所以x=3或者x=−3
当常量不是完美正方形时会发生什么? 让我们使用平方根属性来求解方程x2=7。
x2=7
使用平方根属性。 x=√7,x=−√7
我们无法简化√7,所以我们把答案当作激进的答案。
解决:x2−50=0。
解决方案:
步骤 1:分离二次项并将其系数设为一。 | 加50到两边就可以自己x2动手。 | x2−50=0x2=50 |
步骤 2:使用平方根属性。 | 记得写下±符号。 | x=±√50 |
第 3 步:简化激进。 | 重写以显示两个解决方案。 | x=±√25⋅√2x=±5√2x=5√2,x=−5√2 |
第 4 步:检查解决方案。 | 在x=5√2和中替换x=−5√2 |
x2−50=0(5√2)2−50?=025⋅2−50?=00=0 x2−50=0(−5√2)2−50?=025⋅2−50?=00=0 |
解决:x2−48=0。
- 回答
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x=4√3,x=−4√3
解决:y2−27=0。
- 回答
-
y=3√3,y=−3√3
此处列出了使用平方根属性求解二次方程所要采取的步骤。
使用平方根属性求解二次方程
- 分离二次项并将其系数设为一。
- 使用平方根属性。
- 简化激进。
- 检查解决方案。
要使用平方根属性,变量项的系数必须等于 1。 在下一个示例中,在使用平方根属性3之前,我们必须将方程的两边除以系数。
解决:3z2=108。
解决方案:
3z2=108 | |
二次项是孤立的。 除3以得出其系数1。 | 3z23=1083 |
简化。 | z2=36 |
使用平方根属性。 | z=±√36 |
简化激进。 | z=±6 |
重写以显示两个解决方案。 | z=6,z=−6 |
查看解决方案: ![]() |
解决:2x2=98。
- 回答
-
x=7,x=−7
解决:5m2=80。
- 回答
-
m=4,m=−4
平方根属性指出 “如果”x2=k,会发生什么k<0? 在下一个示例中,情况将如此。
解决:x2+72=0。
解决方案:
x2+72=0 | |
分离二次项。 | x2=−72 |
使用平方根属性。 | x=±√−72 |
简化复数的使用。 | x=±√72i |
简化激进。 | x=±6√2i |
重写以显示两个解决方案 | x=6√2i,x=−6√2i |
查看解决方案: ![]() |
解决:c2+12=0。
- 回答
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c=2√3i,c=−2√3i
解决:q2+24=0。
- 回答
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c=2√6i,c=−2√6i
当方程中出现分数时,我们的方法也适用,我们像任何带有分数的方程一样求解。 在下一个示例中,我们首先分离二次项,然后使系数等于一。
解决:23u2+5=17。
解决方案:
23u2+5=17 | |
分离二次项。 | ![]() |
乘32以得出系数1。 | ![]() |
简化。 | ![]() |
使用平方根属性。 | ![]() |
简化激进。 | ![]() |
简化。 | ![]() |
重写以显示两个解决方案。 | ![]() |
查看: ![]() |
解决:12x2+4=24。
- 回答
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x=2√10,x=−2√10
解决:34y2−3=18。
- 回答
-
y=2√7,y=−2√7
某些方程的解在自由基内部可能有分数。 当这种情况发生时,我们必须使分母合理化。
解决:2x2−8=41。
解决方案:
![]() |
|
分离二次项。 | ![]() |
除2以得出系数1。 | ![]() |
简化。 | ![]() |
使用平方根属性。 | ![]() |
将基数重写为平方根的分数。 | ![]() |
合理化分母。 | ![]() |
简化。 | ![]() |
重写以显示两个解决方案。 | ![]() |
查看: 我们把支票留给你。 |
解决:5r2−2=34。
- 回答
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r=6√55,r=−6√55
解决:3t2+6=70。
- 回答
-
t=8√33,t=−8√33
a(x−h)2=k使用平方根属性求解形式的二次方程
我们也可以使用平方根属性来求解这种a(x−h)2=k形式的方程。 请注意,原始形式的二x次项被替换ax2=k为(x−h)。

和以前一样,第一步是分离变量为平方的项。 在这种情况下,正在对二项式进行平方。 隔离二项式后,通过将两边除以系数a,就可以使用平方根属性(x−h)2了。
解决:4(y−7)2=48。
解决方案:
4(y−7)2=48 | |
将两边除以系数4。 | (y−7)2=12 |
在二项式上使用平方根属性。 | y−7=±√12 |
简化激进。 | y−7=±2√3 |
求解y。 | y=7±2√3 |
重写以显示两个解决方案。 | y=7+2√3 y=7−2√3 |
查看: ![]() |
解决:3(a−3)2=54。
- 回答
-
a=3+3√2,a=3−3√2
解决:2(b+2)2=80。
- 回答
-
b=−2+2√10,b=−2−2√10
请记住,当我们取分数的平方根时,我们可以分别取分子和分母的平方根。
解决:(x−13)2=59。
解决方案:
(x−13)2=59
使用平方根属性。
x−13=±√59
将基数重写为平方根的分数。
x−13=±√5√9
简化激进。
x−13=±√53
求解x。
x=13±√53
重写以显示两个解决方案。
x=13+√53,x=13−√53
查看:
我们把支票留给你。
解决:(x−12)2=54。
- 回答
-
x=12+√52,x=12−√52
解决:(y+34)2=716。
- 回答
-
y=−34+√74,y=−34−√74
我们将通过隔离二项式项来开始下一个示例的解。
解决:2(x−2)2+3=57。
解决方案:
2(x−2)2+3=57
3从两边减去以分离二项式项。
2(x−2)2=54
将两边除以2。
(x−2)2=27
使用平方根属性。
x−2=±√27
简化激进。
x−2=±3√3
求解x。
x=2±3√3
重写以显示两个解决方案。
x=2+3√3,x=2−3√3
查看:
我们把支票留给你。
解决:5(a−5)2+4=104。
- 回答
-
a=5+2√5,a=5−2√5
解决:3(b+3)2−8=88。
- 回答
-
b=−3+4√2,b=−3−4√2
有时解是复数。
解决:(2x−3)2=−12。
解决方案:
(2x−3)2=−12
使用平方根属性。
2x−3=±√−12
简化激进。
2x−3=±2√3i
两3边都加上。
2x=3±2√3i
将两边除以2。
x=3±2√3i2
以标准形式重写。
x=32±2√3i2
简化。
x=32±√3i
重写以显示两个解决方案。
x=32+√3i,x=32−√3i
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解决:(3r+4)2=−8。
- 回答
-
r=−43+2√2i3,r=−43−2√2i3
解决:(2t−8)2=−10。
- 回答
-
t=4+√10i2,t=4−√10i2
在接下来的两个例子中,方程的左边似乎不是这种形式a(x−h)2。 但是它们是完美的正方三项式,所以我们会考虑把它们变成我们需要的形式。
解决:4n2+4n+1=16。
解决方案:
我们注意到方程的左侧是一个完美的方形三项式。 我们将首先将其考虑在内。
4n2+4n+1=16 | |
将完美的正方三项式分解出来。 | (2n+1)2=16 |
使用平方根属性。 | 2n+1=±√16 |
简化激进。 | 2n+1=±4 |
求解n。 | 2n=−1±4 |
将两边除以2。 | 2n2=−1±42n=−1±42 |
重写以显示两个解决方案。 | n=−1+42,n=−1−42 |
简化每个方程。 | n=32,n=−52 |
查看: ![]() |
解决:9 m^{2}-12 m+4=25。
- 回答
-
m=\frac{7}{3}, \quad m=-1
解决:16 n^{2}+40 n+25=4。
- 回答
-
n=-\frac{3}{4}, \quad n=-\frac{7}{4}
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关键概念
- 平方根属性
- 如果x^{2}=k、则x=\sqrt{k}或x=-\sqrt{k}或x=\pm \sqrt{k}
- 分离二次项并将其系数设为一。
- 使用平方根属性。
- 简化激进。
- 检查解决方案。