5.2: 加减多项式
在本节结束时,您将能够:
- 确定多项式的次数
- 加减多项式
- 计算给定值的多项式函数
- 加减多项式函数
确定多项式的次数
我们已经了解到,一个项是一个常量或一个常数与一个或多个变量的乘积。 单项式是具有一个项的代数表达式。 当它的形式为axm,其中a是常量并且m是整数时,它被称为一个变量中的单项式。 一个变量中单项式的一些例子是。 单项式也可以有多个变量,例如和−4a2b3c2.
单项式是具有一个项的代数表达式。 一个变量中的单项式是这种形式的项axm,其中a是常数,m是整数。
单项式或通过加法或减法组合的两个或多个单项式是多项式。 有些多项式根据项数有特殊的名称。 单项式是只有一个项的多项式。 二项式正好有两个项,而一个三项式正好有三个项。 超过三个项的多项式没有特殊名称。
- 多项式 —由加法或减法组合的单项式或两个或多个代数项是多项式。
- 单项式 —只有一个项的多项式称为单项式。
- 二项式 —正好有两个项的多项式称为二项式。
- 三项式 —正好有三个项的多项式称为三项式。
以下是多项式的一些示例。
多项式 | y+1 | 4a2−7ab+2b2 | 4x4+x3+8x2−9x+1 | |
---|---|---|---|---|
单项式 | 14 | 8y2 | −9x3y5 | −13a3b2c |
二项式 | a+7ba+7b | 4x2−y2 | y2−16 | 3p3q−9p2q |
三项式 | x2−7x+12 | 9m2+2mn−8n2 | 6k4−k3+8k | z4+3z2−1 |
请注意,每个单项式、二项式和三项式也是多项式。 它们只是多项式 “家族” 中的特殊成员,因此它们有特殊的名字。 我们在提及这些特殊多项式时使用单项式、二项式和三项式这两个词,然后将其余所有多项式称为即可。
多项式的次数及其项的次数由变量的指数决定。 没有变量,只有常量的单项式是一种特例。 常数的度数为 0。
- 项的度数是其变量的指数之和。
- 常数的度数为 0。
- 多项式的次数是其所有项的最高度。
让我们通过看几个多项式来看看它是如何工作的。 我们将逐步进行,从单项式开始,然后发展到具有更多项的多项式。 让我们从单项式开始。 单项式8ab2有两个变量a和b。 要找到度数,我们需要找到指数的总和。 变量 a 没有写入指数,但请记住,这意味着指数为 1。 的指数b为 2。 指数之和 1+2,1+2 为 3,因此度数为 3。
以下是一些其他示例。
当您按度数降序列出项时,处理多项式会更容易。 当以这种方式书写多项式时,据说它是多项式的标准形式。 养成先写最高学位的学期的习惯。
确定每个多项式是单项式、二项式、三项式还是其他多项式。 然后,找到每个多项式的次数。
- 7y2−5y+3
- −2a4b2
- 3x5−4x3−6x2+x−8
- 2y−8xy3
- 15
- 回答
-
多项式 术语数量 键入 学位学位 多项式度 ⓐ 7y2−5y+3 3 三项式 2、1、0 2 ⓑ −2a4b2−2a4b2 1 单项式 4、2 6 ⓒ 3x5−4x3−6x2+x−8 5 多项式 5、3、2、1、0 5 ⓓ 2y−8xy3 2 二项式 1、4 4 ⓔ 15 1 单项式 0 0
确定每个多项式是单项式、二项式、三项式还是其他多项式。 然后,找到每个多项式的次数。
- −5
- 8y3−7y2−y−3
- −3x2y−5xy+9xy3
- 81m2−4n2
- −3x6y3z
- 回答 a
-
单项式,0
- 答案 b
-
多项式,3
- 答案 c
-
三项式,3
- 回答 d
-
二项式,2
- 答案 b
-
单项式,10
确定每个多项式是单项式、二项式、三项式还是其他多项式。 然后,找到每个多项式的次数。
- 64k3−8
- 9m3+4m2−2
- 56
- 8a4−7a3b−6a2b2−4ab3+7b4
- −p4q3
- 回答
-
ⓐ 二项式,3 ⓑ 三项式,3 ⓒ 单项式,0 ⓓ 多项式,4 ⓔ 单项式,7
加减多项式
我们已经学会了如何通过组合相似的术语来简化表达式。 请记住,类似项必须具有相同的变量和相同的指数。 由于单项式是术语,因此加减单项式与合并相似项相同。 如果单项式与项类似,我们只需将它们相加或减去系数即可。
加上或减去:
- 25y2+15y2
- 16pq3−(−7pq3)。
- 回答 a
-
25y2+15y2Combine like terms.40y2
- 答案 b
-
16pq3−(−7pq3)Combine like terms.23pq3
加上或减去:
- 12q2+9q2
- 8mn3−(−5mn3)。
- 回答
-
ⓐ21q2 ⓑ13mn3
加上或减去:
- −15c2+8c2
- −15y2z3−(−5y2z3)
- 回答
-
ⓐ−7c2 ⓑ−10y2z3
请记住,相似项必须具有相同的变量和相同的指数。
简化:
- a2+7b2−6a2
- u2v+5u2−3v2
- 回答
-
ⓐ 将相似的术语组合在一起。
a2+7b2−6a2=−5a2+7b2ⓑ 没有相似的术语可以合并。 在这种情况下,多项式保持不变。
u2v+5u2−3v2
添加:
- 8y2+3z2−3y2
- m2n2−8m2+4n2
- 回答
-
ⓐ5y2+3z2
ⓑm2n2−8m2+4n2
添加:
- 3m2+n2−7m2
- pq2−6p−5q2
- 回答
-
ⓐ−4m2+n2
ⓑpq2−6p−5q2
我们可以将加减多项式看作是将一系列单项式相加和减去。 寻找相似的术语——那些具有相同变量和相同指数的术语。 Commutative Property 允许我们重新排列条款,将相似的术语组合在一起。
找到总和:(7y2−2y+9)+(4y2−8y−7).
- 回答
-
\ (\ begin {align*} &\ text {识别相似的术语。} & & (\ 下划线 {\ 下划线 {7y^2}} −\ 下划线 {2y} +9) + (\ 下划线 {\ 下划线 {4y^2}} −\ 下划线 {8y} −7)\\ [6pt]
&\ text {不用括号重写,}\\
&\ text {重新排列以将相似的术语组合在一起。} & &\ 下划线 {\ 下划线 {7y^2+4y^2}} −\ 下划线 {2y−8y} +9−7\\ [6pt]
&\ text {像术语一样合并。} & & 11y^2−10y+2\ end {align*}\)
找到总和:(7x2−4x+5)+(x2−7x+3)
- 回答
-
8x2−11x+8
找到总和:(14y2+6y−4)+(3y2+8y+5)
- 回答
-
17y2+14y+1
在下一个示例中减去多项式时,在分布时要小心使用符号。
找出区别:(9w2−7w+5)−(2w2−4)
- 回答
-
\ (\ begin {align*} & & (9w^2−7w+5)\; −\; (2w^2−4)\\ [6pt]
&\ text {分发和识别相似的术语。} & &\ 下划线 {\ 下划线 {9w^2}} −\ 下划线 {7w} +5-\ 下划线 {\ 下划线 {2w^2}} +4\\ [6pt]
&\ text {重新排列条款。} & &\ 下划线 {\ 下划线 {9w^2-2w^2}} −\ 下划线 {7w} +5+4\\ [6pt]
&\ text {合并相似的术语。} & & 7w^2−7w+9\ end {align*}\)
找出区别:(8x2+3x−19)−(7x2−14)
- 回答
-
x2+3x−5
找出区别:(9b2−5b−4)−(3b2−5b−7)
- 回答
-
6b2+3
(p2+10pq−2q2)从... 中减去(p2+q2)。
- 回答
-
\ (\ begin {align*} & & & (p^2+q^2)\; −\; (p^2+10pq−2q^2)\\ [6pt]
&\ text {分发和识别类似的术语。} & &\ 下划线 {\ 下划线 {p^2}} +\ 下划线 {q^2}-\ 下划线 {\ 下划线 {p^2}} -10pq +\ 下划线 {2q^2}\\ [6pt]
&\ text {重新排列术语,将相似的术语放在一起。} & &\ 下划线 {\ 下划线 {p^2-p^2}} −10pq +\ 下划线 {q^2 + 2q^2}\\ [6pt]
&\ text {像术语一样合并。} & & −10pq+3q^2\ end {align*}\)
(a2+5ab−6b2)从中减去(a2+b2)
- 回答
-
−5ab+7b2
(m2−7mn−3n2)从... 中减去(m2+n2)。
- 回答
-
7mn+4n^2
找到总和:(u2−6uv+5v2)+(3u2+2uv)
- 回答
-
\ (\ begin {align*} & & & (u^2−6uv+5v^2)\; +\; (3u^2+2uv)\\ [6pt]
&\ text {分发和识别相似的术语。} & &\ 下划线 {\ 下划线 {u^2}}-\ 下划线 {6uv} +5v^2+\ 下划线 {\ 下划线 {3u^2}} +\ 下划线 {2uv}\\ [6pt]
&\ text {重新排列术语以将相似的术语组合在一起。} & &\ 下划线 {\ 下划线 {u^2}} +\ 下划线 {\ 下划线 {3u^2}}-\ 下划线 {6uv} +\ 下划线 {2uv} +5v^2\\ [6pt]
&\ text {像术语一样合并。} & & 4u^2−4uv+5v^2\ end {align*}\)
找到总和:(3x2−4xy+5y2)+(2x2−xy)
- 回答
-
5x2−5xy+5y2
找到总和:(2x2−3xy−2y2)+(5x2−3xy)
- 回答
-
7x2−6xy−2y2
当我们加上和减去两个以上的多项式时,过程是相同的。
简化:(a3−a2b)−(ab2+b3)+(a2b+ab2)
- 回答
-
\ (\ begin {align*} & & (a^3−a^2b)\; −\; (ab^2+b^3)\; +\; (a^2b+ab^2)\\ [6pt]
&\ text {分发} & a^3−a^2-b^3 + a^2b+ab^2\\ [6pt]
&\ text {重新排列术语以将相似的术语组合在一起。} & & a^3−a^2b + a^2b− ab^2 + ab^2-b^3\\ [6pt]
&\ text {像术语一样合并。} & & a^3−b^3\ end {align*}\)
简化:(x3−x2y)−(xy2+y3)+(x2y+xy2)
- 回答
-
x3+y3
简化:(p3−p2q)+(pq2+q3)−(p2q+pq2)
- 回答
-
p3−3p2q+q3
计算给定值的多项式函数
多项式函数是由多项式定义的函数。 例如,f(x)=x2+5x+6和g(x)=3x−4是多项式函数,因为x2+5x+6和3x−4是多项式。
多项式函数是指其范围值由多项式定义的函数。
在 G raphs and Functions 中,我们首先引入了函数,我们了解到对一个函数f(x)进行求值意味着找出给定值的值x。 为了计算多项式函数,我们将用给定值代替变量,然后使用运算顺序进行简化。
对于该函数,请f(x)=5x2−8x+4查找:
- f(4)
- f(−2)
- f(0)。
- 回答
-
ⓐ
简化指数。 乘。 简化。 ⓑ
简化指数。 乘。 简化。 ⓒ
简化指数。 乘。
对于该函数f(x)=3x2+2x−15,请找到
- f(3)
- f(−5)
- f(0)。
- 回答
-
ⓐ 18 ⓑ 50 ⓒ−15
对于该函数g(x)=5x2−x−4,请找到
- g(−2)
- g(−1)
- g(0)。
- 回答
-
ⓐ 20 ⓑ 2 ⓒ−4
与下一个示例中的多项式函数相似的多项式函数用于许多领域,用于确定物体投影到空中后某个时候的高度。 下一个函数中的多项式专门用于从 250 英尺处掉落某物。
多项式函数h(t)=−16t2+250给出了球从 250 英尺高的建筑物掉落后 t 秒的高度。 在t=2几秒钟后找到高度。
- 回答
-
h(t)=−16t2+250To find h(2), substitute t=2.h(2)=−16(2)2+250Simplify.h(2)=−16·4+250Simplify.h(2)=−64+250Simplify.h(2)=186After 2 seconds the height of the ball is 186 feet.
多项式函数h(t)=−16t2+150给出石头从 150 英尺高的悬崖上掉落后 t 秒的高度。 在t=0秒后找到高度(物体的初始高度)。
- 回答
-
高度是150英尺。
多项式函数h(t)=−16t2+175给出了球从 175 英尺高的桥上掉落后 t 秒的高度。 在t=3几秒钟后找到高度。
- 回答
-
高度是31英尺。
加减多项式函数
就像可以加减多项式一样,也可以加减多项式函数。
对于函数f(x)和g(x),
(f+g)(x)=f(x)+g(x)
(f−g)(x)=f(x)−g(x)
对于函数f(x)=3x2−5x+7和g(x)=x2−4x−3,请查找:
- (f+g)(x)
- (f+g)(3)
- (f−g)(x)
- (f−g)(−2)。
- 回答
-
ⓐ
重写时不带括号。 将相似的术语放在一起。 将相似的术语组合在一起。 ⓑ 在 (a) 部分中,我们找到了(f+g)(x),现在被要求找到(f+g)(3)。
(f+g)(x)=4x2−9x+4To find (f+g) (3), substitute x=3.(f+g)(3)=4(3)2−9·3+4(f+g)(3)=4·9−9·3+4(f+g)(3)=36−27+4
请注意,我们可以(f+g)(3)通过先g(3)分别找到f(3)和的值,然后将结果相加来找到。
查找f(3)。 查找g(3)。 查找(f+g)(3)。 ⓒ
重写时不带括号。 将相似的术语放在一起。 将相似的术语组合在一起。 ⓓ
对于函数f(x)=2x2−4x+3和g(x)=x2−2x−6,请查找:ⓐ(f+g)(x) ⓑ(f+g)(3) ⓒ(f−g)(x) ⓓ(f−g)(−2)。
- 回答
-
ⓐ(f+g)(x)=3x2−6x−3
ⓑ(f+g)(3)=6
ⓒ(f−g)(x)=x2−2x+9
ⓓ(f−g)(−2)=17
对于函数f(x)=5x2−4x−1和g(x)=x2+3x+8,请查找 ⓐ(f+g)(x) ⓑ(f+g)(3) ⓒ(f−g)(x) ⓓ(f−g)(−2)。
- 回答
-
ⓐ(f+g)(x)=6x2−x+7
ⓑ(f+g)(3)=58
ⓒ(f−g)(x)=4x2−7x−9
ⓓ(f−g)(−2)=21
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- 加减多项式
关键概念
- 单项式
- 单项式是具有一个项的代数表达式。
- 一个变量中的单项式是 axm axm 形式的项,其中 a 是常数,m 是整数。
- 多项式
- 多项式 —由加法或减法组合的单项式或两个或多个代数项是多项式。
- 单项式 —只有一个项的多项式称为单项式。
- 二项式 — 正好有两个项的多项式称为二项式。
- 三项式 —正好有三个项的多项式称为三项式。
- 多项式的次数
- 项的度数是其变量的指数之和。
- 常数的度数为 0。
- 多项式的次数是其所有项的最高度。
词汇表
- 二项式
- 二项式是正好有两个项的多项式。
- 常数的度
- 任何常数的度数均为 0。
- 多项式的次数
- 多项式的次数是其所有项的最高度。
- 一个术语的学位
- 项的度数是其变量的指数之和。
- 单项式
- 单项式是具有一个项的代数表达式。 一个变量中的单项式是 axm axm 形式的项,其中 a 是常数,m 是整数。
- 多项式
- 通过加法或减法组合的单项式或两个或多个单项式是多项式。
- 多项式的标准形式
- 当多项式的项按度降序书写时,多项式为标准形式。
- 三项式
- 三项式是正好有三个项的多项式。
- 多项式函数
- 多项式函数是指其范围值由多项式定义的函数。