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5.2: 加减多项式

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    203909
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    学习目标

    在本节结束时,您将能够:

    • 确定多项式的次数
    • 加减多项式
    • 计算给定值的多项式函数
    • 加减多项式函数
    注意

    在开始之前,请参加这个准备测验。

    1. 简化:\(3x^2+3x+1+8x^2+5x+5.\)
      如果你错过了这个问题,请查看 [链接]
    2. 减去:\((5n+8)−(2n−1).\)
      如果你错过了这个问题,请查看 [链接]
    3. 评估:\(4xy^2\)何时\(x=−2x\)\(y=5.\)
      如果你错过了这个问题,请查看 [链接]

    确定多项式的次数

    我们已经了解到,一个是一个常量或一个常数与一个或多个变量的乘积。 单项式是具有一个项的代数表达式。 当它的形式为\(ax^m\),其中\(a\)是常量并且\(m\)是整数时,它被称为一个变量中的单项式。 一个变量中单项式的一些例子是。 单项式也可以有多个变量,例如和\(−4a^2b^3c^2.\)

    定义:单项式

    单项式是具有一个项的代数表达式。 一个变量中的单项式是这种形式的项\(ax^m\),其中\(a\)是常数,\(m\)是整数。

    单项式或通过加法或减法组合的两个或多个单项式是多项式。 有些多项式根据项数有特殊的名称。 单项式是只有一个项的多项式。 二项式正好有两个项,而一个三项式正好有三个项。 超过三个项的多项式没有特殊名称。

    定义:多项式
    • 多项式 —由加法或减法组合的单项式或两个或多个代数项是多项式。
    • 单项式 —只有一个项的多项式称为单项式。
    • 二项式 —正好有两个项的多项式称为二项式。
    • 三项式 —正好有三个项的多项式称为三项式。

    以下是多项式的一些示例。

    多项式 \(y+1\) \(4a^2−7ab+2b^2\) \(4x^4+x^3+8x^2−9x+1\)  
    单项式 \(14\) \(8y^2\) \(−9x^3y^5\) \(−13a^3b^2c\)
    二项式 \(a+7ba+7b\) \(4x^2−y^2\) \(y^2−16\) \(3p^3q−9p^2q\)
    三项式 \(x^2−7x+12\) \(9m^2+2mn−8n^2\) \(6k^4−k^3+8k\) \(z^4+3z^2−1\)

    请注意,每个单项式、二项式和三项式也是多项式。 它们只是多项式 “家族” 中的特殊成员,因此它们有特殊的名字。 我们在提及这些特殊多项式时使用单项式、二项式和三项式这两个词,然后将其余所有多项式称为即可。

    多项式的次数及其项的次数由变量的指数决定。 没有变量,只有常量的单项式是一种特例。 常数的度数为 0。

    定义:多项式的次数
    • 的度数是其变量的指数之和。
    • 常数的度数为 0。
    • 多项式的次数是其所有项的最高度。

    让我们通过看几个多项式来看看它是如何工作的。 我们将逐步进行,从单项式开始,然后发展到具有更多项的多项式。 让我们从单项式开始。 单项式\(8ab^2\)有两个变量\(a\)\(b\)。 要找到度数,我们需要找到指数的总和。 变量 a 没有写入指数,但请记住,这意味着指数为 1。 的指数\(b\)为 2。 指数之和 1+2,1+2 为 3,因此度数为 3。

    CNX_IntAlg_Figure_05_01_001_img_new.jpg

    以下是一些其他示例。

    CNX_IntAlg_Figure_05_01_002_img_new.jpg

    当您按度数降序列出项时,处理多项式会更容易。 当以这种方式书写多项式时,据说它是多项式的标准形式。 养成先写最高学位的学期的习惯。

    示例\(\PageIndex{1}\)

    确定每个多项式是单项式、二项式、三项式还是其他多项式。 然后,找到每个多项式的次数。

    1. \(7y2−5y+3\)
    2. \(−2a^4b^2\)
    3. \(3x5−4x3−6x2+x−8\)
    4. \(2y−8xy^3\)
    5. \(15\)
    回答
    多项式 术语数量 键入 学位学位 多项式度
    \(7y^2−5y+3\) 3 三项式 2、1、0 2
    \(−2a^4b^2−2a^4b^2\) 1 单项式 4、2 6
    \(3x5−4x3−6x2+x−8\) 5 多项式 5、3、2、1、0 5
    \(2y−8xy^3\) 2 二项式 1、4 4
    \(15\) 1 单项式 0 0
    示例\(\PageIndex{2}\)

    确定每个多项式是单项式、二项式、三项式还是其他多项式。 然后,找到每个多项式的次数。

    1. \(−5\)
    2. \(8y^3−7y^2−y−3\)
    3. \(−3x^2y−5xy+9xy^3\)
    4. \(81m^2−4n^2\)
    5. \(−3x^6y^3z\)
    回答 a

    单项式,0

    答案 b

    多项式,3

    答案 c

    三项式,3

    回答 d

    二项式,2

    答案 b

    单项式,10

    示例\(\PageIndex{3}\)

    确定每个多项式是单项式、二项式、三项式还是其他多项式。 然后,找到每个多项式的次数。

    1. \(64k^3−8\)
    2. \(9m^3+4m^2−2\)
    3. \(56\)
    4. \(8a^4−7a^3b−6a^2b^2−4ab^3+7b^4\)
    5. \(-p^4q^3\)
    回答

    ⓐ 二项式,3 ⓑ 三项式,3 ⓒ 单项式,0 ⓓ 多项式,4 ⓔ 单项式,7

    加减多项式

    我们已经学会了如何通过组合相似的术语来简化表达式。 请记住,类似项必须具有相同的变量和相同的指数。 由于单项式是术语,因此加减单项式与合并相似项相同。 如果单项式与项类似,我们只需将它们相加或减去系数即可。

    示例\(\PageIndex{4}\)

    加上或减去:

    1. \(25y^2+15y^2\)
    2. \(16pq^3−(−7pq^3)\)
    回答 a

    \( \begin{array} {ll} {} &{25y^2+15y^2} \\ {\text{Combine like terms.}} &{40y^2} \\ \end{array} \nonumber \)

    答案 b

    \( \begin{array} {ll} {} &{16pq^3−(−7pq^3)} \\ {\text{Combine like terms.}} &{23pq^3} \\ \end{array} \nonumber \)

    示例\(\PageIndex{5}\)

    加上或减去:

    1. \(12q^2+9q^2\)
    2. \(8mn^3−(−5mn^3)\)
    回答

    \(21q^2\)\(13mn^3\)

    示例\(\PageIndex{6}\)

    加上或减去:

    1. \(−15c^2+8c^2\)
    2. \(−15y^2z^3−(−5y^2z^3)\)
    回答

    \(−7c^2\)\(−10y^2z^3\)

    请记住,相似项必须具有相同的变量和相同的指数。

    示例\(\PageIndex{7}\)

    简化:

    1. \(a^2+7b^2−6a^2\)
    2. \(u^2v+5u^2−3v^2\)
    回答

    ⓐ 将相似的术语组合在一起。

    \(a^2+7b^2−6a^2 \;=\; −5a^2+7b^2\)

    ⓑ 没有相似的术语可以合并。 在这种情况下,多项式保持不变。

    \(u^2v+5u^2−3v^2\)

    示例\(\PageIndex{8}\)

    添加:

    1. \(8y^2+3z^2−3y^2\)
    2. \(m^2n^2−8m^2+4n^2\)
    回答

    \(5y^2+3z^2\)
    \(m^2n^2−8m^2+4n^2\)

    示例\(\PageIndex{9}\)

    添加:

    1. \(3m^2+n^2−7m^2\)
    2. \(pq^2−6p−5q^2\)
    回答

    \(−4m^2+n^2\)
    \(pq^2−6p−5q^2\)

    我们可以将加减多项式看作是将一系列单项式相加和减去。 寻找相似的术语——那些具有相同变量和相同指数的术语。 Commutative Property 允许我们重新排列条款,将相似的术语组合在一起。

    示例\(\PageIndex{10}\)

    找到总和:\((7y^2−2y+9)\;+\;(4y^2−8y−7)\).

    回答

    \ (\ begin {align*} &\ text {识别相似的术语。} & & (\ 下划线 {\ 下划线 {7y^2}} −\ 下划线 {2y} +9) + (\ 下划线 {\ 下划线 {4y^2}} −\ 下划线 {8y} −7)\\ [6pt]
    &\ text {不用括号重写,}\\
    &\ text {重新排列以将相似的术语组合在一起。} & &\ 下划线 {\ 下划线 {7y^2+4y^2}} −\ 下划线 {2y−8y} +9−7\\ [6pt]
    &\ text {像术语一样合并。} & & 11y^2−10y+2\ end {align*}\)

    示例\(\PageIndex{11}\)

    找到总和:\( (7x^2−4x+5)\;+\;(x^2−7x+3)\)

    回答

    \(8x^2−11x+8\)

    示例\(\PageIndex{12}\)

    找到总和:\((14y^2+6y−4)\;+\;(3y^2+8y+5)\)

    回答

    \(17y^2+14y+1\)

    在下一个示例中减去多项式时,在分布时要小心使用符号。

    示例\(\PageIndex{13}\)

    找出区别:\((9w^2−7w+5)\;−\;(2w^2−4)\)

    回答

    \ (\ begin {align*} & & (9w^2−7w+5)\; −\; (2w^2−4)\\ [6pt]
    &\ text {分发和识别相似的术语。} & &\ 下划线 {\ 下划线 {9w^2}} −\ 下划线 {7w} +5-\ 下划线 {\ 下划线 {2w^2}} +4\\ [6pt]
    &\ text {重新排列条款。} & &\ 下划线 {\ 下划线 {9w^2-2w^2}} −\ 下划线 {7w} +5+4\\ [6pt]
    &\ text {合并相似的术语。} & & 7w^2−7w+9\ end {align*}\)

    示例\(\PageIndex{14}\)

    找出区别:\((8x^2+3x−19)\;−\;(7x^2−14)\)

    回答

    \(x^2+3x−5\)

    示例\(\PageIndex{15}\)

    找出区别:\((9b^2−5b−4)\;−\;(3b^2−5b−7)\)

    回答

    \(6b^2+3\)

    示例\(\PageIndex{16}\)

    \((p^2+10pq−2q^2)\)从... 中减去\((p^2+q^2)\)

    回答

    \ (\ begin {align*} & & & (p^2+q^2)\; −\; (p^2+10pq−2q^2)\\ [6pt]
    &\ text {分发和识别类似的术语。} & &\ 下划线 {\ 下划线 {p^2}} +\ 下划线 {q^2}-\ 下划线 {\ 下划线 {p^2}} -10pq +\ 下划线 {2q^2}\\ [6pt]
    &\ text {重新排列术语,将相似的术语放在一起。} & &\ 下划线 {\ 下划线 {p^2-p^2}} −10pq +\ 下划线 {q^2 + 2q^2}\\ [6pt]
    &\ text {像术语一样合并。} & & −10pq+3q^2\ end {align*}\)

    示例\(\PageIndex{17}\)

    \((a^2+5ab−6b^2)\)从中减去\((a^2+b^2)\)

    回答

    \(−5ab+7b^2\)

    示例\(\PageIndex{18}\)

    \((m^2−7mn−3n^2)\)从... 中减去\((m^2+n^2)\)

    回答

    7mn+4n^2

    示例\(\PageIndex{19}\)

    找到总和:\((u^2−6uv+5v^2)\;+\;(3u^2+2uv)\)

    回答

    \ (\ begin {align*} & & & (u^2−6uv+5v^2)\; +\; (3u^2+2uv)\\ [6pt]
    &\ text {分发和识别相似的术语。} & &\ 下划线 {\ 下划线 {u^2}}-\ 下划线 {6uv} +5v^2+\ 下划线 {\ 下划线 {3u^2}} +\ 下划线 {2uv}\\ [6pt]
    &\ text {重新排列术语以将相似的术语组合在一起。} & &\ 下划线 {\ 下划线 {u^2}} +\ 下划线 {\ 下划线 {3u^2}}-\ 下划线 {6uv} +\ 下划线 {2uv} +5v^2\\ [6pt]
    &\ text {像术语一样合并。} & & 4u^2−4uv+5v^2\ end {align*}\)

    示例\(\PageIndex{20}\)

    找到总和:\((3x^2−4xy+5y^2)\;+\;(2x^2−xy)\)

    回答

    \(5x^2−5xy+5y^2\)

    示例\(\PageIndex{21}\)

    找到总和:\((2x^2−3xy−2y^2)\;+\;(5x^2−3xy)\)

    回答

    \(7x^2−6xy−2y^2\)

    当我们加上和减去两个以上的多项式时,过程是相同的。

    示例\(\PageIndex{22}\)

    简化:\((a^3−a^2b)\;−\;(ab^2+b^3)\;+\;(a^2b+ab^2)\)

    回答

    \ (\ begin {align*} & & (a^3−a^2b)\; −\; (ab^2+b^3)\; +\; (a^2b+ab^2)\\ [6pt]
    &\ text {分发} & a^3−a^2-b^3 + a^2b+ab^2\\ [6pt]
    &\ text {重新排列术语以将相似的术语组合在一起。} & & a^3−a^2b + a^2b− ab^2 + ab^2-b^3\\ [6pt]
    &\ text {像术语一样合并。} & & a^3−b^3\ end {align*}\)

    示例\(\PageIndex{23}\)

    简化:\((x^3−x^2y)\;−\;(xy^2+y^3)\;+\;(x^2y+xy^2)\)

    回答

    \(x^3+y^3\)

    示例\(\PageIndex{24}\)

    简化:\((p^3−p^2q)\;+\;(pq^2+q^3)\;−\;(p^2q+pq^2)\)

    回答

    \(p^3−3p^2q+q^3\)

    计算给定值的多项式函数

    多项式函数是由多项式定义的函数。 例如,\(f(x)=x^2+5x+6\)\(g(x)=3x−4\)是多项式函数,因为\(x^2+5x+6\)\(3x−4\)是多项式。

    定义:多项式函数

    多项式函数是指其范围值由多项式定义的函数。

    在 G raphs and Functions 中,我们首先引入了函数,我们了解到对一个函数\(f(x)\)进行求值意味着找出给定值的值\(x\)。 为了计算多项式函数,我们将用给定值代替变量,然后使用运算顺序进行简化。

    示例\(\PageIndex{25}\)

    对于该函数,请\(f(x)=5x^2−8x+4\)查找:

    1. \(f(4)\)
    2. \(f(−2)\)
    3. \(f(0)\)
    回答

      。
    。 。
    简化指数。 。
    乘。 。
    简化。 。

      。
    。 。
    简化指数。 。
    乘。 。
    简化。 。

      。
    。 。
    简化指数。 。
    乘。 。
    示例\(\PageIndex{26}\)

    对于该函数\(f(x)=3x^2+2x−15\),请找到

    1. \(f(3)\)
    2. \(f(−5)\)
    3. \(f(0)\)
    回答

    ⓐ 18 ⓑ 50 ⓒ\(−15\)

    示例\(\PageIndex{27}\)

    对于该函数\(g(x)=5x^2−x−4\),请找到

    1. \(g(−2)\)
    2. \(g(−1)\)
    3. \(g(0)\)
    回答

    ⓐ 20 ⓑ 2 ⓒ\(−4\)

    与下一个示例中的多项式函数相似的多项式函数用于许多领域,用于确定物体投影到空中后某个时候的高度。 下一个函数中的多项式专门用于从 250 英尺处掉落某物。

    示例\(\PageIndex{28}\)

    多项式函数\(h(t)=−16t^2+250\)给出了球从 250 英尺高的建筑物掉落后 t 秒的高度。 在\(t=2\)几秒钟后找到高度。

    回答

    \( \begin{array} {ll} {} &{h(t)=−16t^2+250} \\ {} &{} \\ {\text{To find }h(2)\text{, substitute }t=2.} &{h(2)=−16(2)^2+250} \\ {\text{Simplify.}} &{h(2)=−16·4+250} \\ {} &{}\\ {\text{Simplify.}} &{h(2)=−64+250} \\ {} &{} \\ {\text{Simplify.}} &{h(2)=186} \\ {} &{\text{After 2 seconds the height of the ball is 186 feet.}} \\ \end{array} \nonumber \)

    示例\(\PageIndex{29}\)

    多项式函数\(h(t)=−16t^2+150\)给出石头从 150 英尺高的悬崖上掉落后 t 秒的高度。 在\(t=0\)秒后找到高度(物体的初始高度)。

    回答

    高度是\(150\)英尺。

    示例\(\PageIndex{30}\)

    多项式函数\(h(t)=−16t^2+175\)给出了球从 175 英尺高的桥上掉落后 t 秒的高度。 在\(t=3\)几秒钟后找到高度。

    回答

    高度是\(31\)英尺。

    加减多项式函数

    就像可以加减多项式一样,也可以加减多项式函数。

    定义:多项式函数的加减法

    对于函数\(f(x)\)\(g(x)\)

    \[(f+g)(x)=f(x)+g(x)\]

    \[(f−g)(x)=f(x)−g(x)\]

    示例\(\PageIndex{31}\)

    对于函数\(f(x)=3x^2−5x+7\)\(g(x)=x^2−4x−3\),请查找:

    1. \((f+g)(x)\)
    2. \((f+g)(3)\)
    3. \((f−g)(x)\)
    4. \((f−g)(−2)\)
    回答

      。
    。 。
    重写时不带括号。 。
    将相似的术语放在一起。 。
    将相似的术语组合在一起。 。

    ⓑ 在 (a) 部分中,我们找到了\((f+g)(x)\),现在被要求找到\((f+g)(3)\)

    \( \begin{array} {ll} {} &{(f+g)(x)=4x^2−9x+4} \\ {} &{} \\ {\text{To find }(f+g)\space(3),\text{ substitute }x=3.} &{(f+g)(3)=4(3)^2−9·3+4} \\ {} &{} \\ {} &{(f+g)(3)=4·9−9·3+4} \\ {} &{} \\ {} &{(f+g)(3)=36−27+4} \\ \end{array} \nonumber \)

    请注意,我们可以\((f+g)(3)\)通过先\(g(3)\)分别找到\(f(3)\)和的值,然后将结果相加来找到。

    查找\(f(3)\) 。
      。
      。
    查找\(g(3)\) 。
      。
      。
    查找\((f+g)(3)\) 。
      。
    。 。
      。

      。
    。 。
    重写时不带括号。 。
    将相似的术语放在一起。 。
    将相似的术语组合在一起。 。

    。
    示例\(\PageIndex{32}\)

    对于函数\(f(x)=2x^2−4x+3\)\(g(x)=x^2−2x−6\),请查找:ⓐ\((f+g)(x)\)\((f+g)(3)\)\((f−g)(x)\)\((f−g)(−2)\)

    回答

    \((f+g)(x)=3x^2−6x−3\)

    \((f+g)(3)=6\)

    \((f−g)(x)=x^2−2x+9\)

    \((f−g)(−2)=17\)

    示例\(\PageIndex{33}\)

    对于函数\(f(x)=5x^2−4x−1\)\(g(x)=x^2+3x+8\),请查找 ⓐ\((f+g)(x)\)\((f+g)(3)\)\((f−g)(x)\)\((f−g)(−2)\)

    回答

    \((f+g)(x)=6x^2−x+7\)

    \((f+g)(3)=58\)

    \((f−g)(x)=4x^2−7x−9\)

    \((f−g)(−2)=21\)

    访问此在线资源,获取有关加减多项式的更多指导和练习。

    • 加减多项式

    关键概念

    • 单项式
      • 单项式是具有一个项的代数表达式。
      • 一个变量中的单项式是 axm axm 形式的项,其中 a 是常数,m 是整数。
    • 多项式
      • 多项式 —由加法或减法组合的单项式或两个或多个代数项是多项式。
      • 单项式 —只有一个项的多项式称为单项式。
      • 二项式 — 正好有两个项的多项式称为二项式。
      • 三项式 —正好有三个项的多项式称为三项式。
    • 多项式的次数
      • 的度数是其变量的指数之和。
      • 常数的度数为 0。
      • 多项式的次数是其所有项的最高度。

    词汇表

    二项式
    二项式是正好有两个项的多项式。
    常数的度
    任何常数的度数均为 0。
    多项式的次数
    多项式的次数是其所有项的最高度。
    一个术语的学位
    项的度数是其变量的指数之和。
    单项式
    单项式是具有一个项的代数表达式。 一个变量中的单项式是 axm axm 形式的项,其中 a 是常数,m 是整数。
    多项式
    通过加法或减法组合的单项式或两个或多个单项式是多项式。
    多项式的标准形式
    当多项式的项按度降序书写时,多项式为标准形式。
    三项式
    三项式是正好有三个项的多项式。
    多项式函数
    多项式函数是指其范围值由多项式定义的函数。