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5.2: 加减多项式

学习目标

在本节结束时,您将能够:

  • 确定多项式的次数
  • 加减多项式
  • 计算给定值的多项式函数
  • 加减多项式函数
注意

在开始之前,请参加这个准备测验。

  1. 简化:3x2+3x+1+8x2+5x+5.
    如果你错过了这个问题,请查看 [链接]
  2. 减去:(5n+8)(2n1).
    如果你错过了这个问题,请查看 [链接]
  3. 评估:4xy2何时x=2xy=5.
    如果你错过了这个问题,请查看 [链接]

确定多项式的次数

我们已经了解到,一个是一个常量或一个常数与一个或多个变量的乘积。 单项式是具有一个项的代数表达式。 当它的形式为axm,其中a是常量并且m是整数时,它被称为一个变量中的单项式。 一个变量中单项式的一些例子是。 单项式也可以有多个变量,例如和4a2b3c2.

定义:单项式

单项式是具有一个项的代数表达式。 一个变量中的单项式是这种形式的项axm,其中a是常数,m是整数。

单项式或通过加法或减法组合的两个或多个单项式是多项式。 有些多项式根据项数有特殊的名称。 单项式是只有一个项的多项式。 二项式正好有两个项,而一个三项式正好有三个项。 超过三个项的多项式没有特殊名称。

定义:多项式
  • 多项式 —由加法或减法组合的单项式或两个或多个代数项是多项式。
  • 单项式 —只有一个项的多项式称为单项式。
  • 二项式 —正好有两个项的多项式称为二项式。
  • 三项式 —正好有三个项的多项式称为三项式。

以下是多项式的一些示例。

多项式 y+1 4a27ab+2b2 4x4+x3+8x29x+1  
单项式 14 8y2 9x3y5 13a3b2c
二项式 a+7ba+7b 4x2y2 y216 3p3q9p2q
三项式 x27x+12 9m2+2mn8n2 6k4k3+8k z4+3z21

请注意,每个单项式、二项式和三项式也是多项式。 它们只是多项式 “家族” 中的特殊成员,因此它们有特殊的名字。 我们在提及这些特殊多项式时使用单项式、二项式和三项式这两个词,然后将其余所有多项式称为即可。

多项式的次数及其项的次数由变量的指数决定。 没有变量,只有常量的单项式是一种特例。 常数的度数为 0。

定义:多项式的次数
  • 的度数是其变量的指数之和。
  • 常数的度数为 0。
  • 多项式的次数是其所有项的最高度。

让我们通过看几个多项式来看看它是如何工作的。 我们将逐步进行,从单项式开始,然后发展到具有更多项的多项式。 让我们从单项式开始。 单项式8ab2有两个变量ab。 要找到度数,我们需要找到指数的总和。 变量 a 没有写入指数,但请记住,这意味着指数为 1。 的指数b为 2。 指数之和 1+2,1+2 为 3,因此度数为 3。

CNX_IntAlg_Figure_05_01_001_img_new.jpg

以下是一些其他示例。

CNX_IntAlg_Figure_05_01_002_img_new.jpg

当您按度数降序列出项时,处理多项式会更容易。 当以这种方式书写多项式时,据说它是多项式的标准形式。 养成先写最高学位的学期的习惯。

示例5.2.1

确定每个多项式是单项式、二项式、三项式还是其他多项式。 然后,找到每个多项式的次数。

  1. 7y25y+3
  2. 2a4b2
  3. 3x54x36x2+x8
  4. 2y8xy3
  5. 15
回答
多项式 术语数量 键入 学位学位 多项式度
7y25y+3 3 三项式 2、1、0 2
2a4b22a4b2 1 单项式 4、2 6
3x54x36x2+x8 5 多项式 5、3、2、1、0 5
2y8xy3 2 二项式 1、4 4
15 1 单项式 0 0
示例5.2.2

确定每个多项式是单项式、二项式、三项式还是其他多项式。 然后,找到每个多项式的次数。

  1. 5
  2. 8y37y2y3
  3. 3x2y5xy+9xy3
  4. 81m24n2
  5. 3x6y3z
回答 a

单项式,0

答案 b

多项式,3

答案 c

三项式,3

回答 d

二项式,2

答案 b

单项式,10

示例5.2.3

确定每个多项式是单项式、二项式、三项式还是其他多项式。 然后,找到每个多项式的次数。

  1. 64k38
  2. 9m3+4m22
  3. 56
  4. 8a47a3b6a2b24ab3+7b4
  5. p4q3
回答

ⓐ 二项式,3 ⓑ 三项式,3 ⓒ 单项式,0 ⓓ 多项式,4 ⓔ 单项式,7

加减多项式

我们已经学会了如何通过组合相似的术语来简化表达式。 请记住,类似项必须具有相同的变量和相同的指数。 由于单项式是术语,因此加减单项式与合并相似项相同。 如果单项式与项类似,我们只需将它们相加或减去系数即可。

示例5.2.4

加上或减去:

  1. 25y2+15y2
  2. 16pq3(7pq3)
回答 a

25y2+15y2Combine like terms.40y2

答案 b

16pq3(7pq3)Combine like terms.23pq3

示例5.2.5

加上或减去:

  1. 12q2+9q2
  2. 8mn3(5mn3)
回答

21q213mn3

示例5.2.6

加上或减去:

  1. 15c2+8c2
  2. 15y2z3(5y2z3)
回答

7c210y2z3

请记住,相似项必须具有相同的变量和相同的指数。

示例5.2.7

简化:

  1. a2+7b26a2
  2. u2v+5u23v2
回答

ⓐ 将相似的术语组合在一起。

a2+7b26a2=5a2+7b2

ⓑ 没有相似的术语可以合并。 在这种情况下,多项式保持不变。

u2v+5u23v2

示例5.2.8

添加:

  1. 8y2+3z23y2
  2. m2n28m2+4n2
回答

5y2+3z2
m2n28m2+4n2

示例5.2.9

添加:

  1. 3m2+n27m2
  2. pq26p5q2
回答

4m2+n2
pq26p5q2

我们可以将加减多项式看作是将一系列单项式相加和减去。 寻找相似的术语——那些具有相同变量和相同指数的术语。 Commutative Property 允许我们重新排列条款,将相似的术语组合在一起。

示例5.2.10

找到总和:(7y22y+9)+(4y28y7).

回答

\ (\ begin {align*} &\ text {识别相似的术语。} & & (\ 下划线 {\ 下划线 {7y^2}} −\ 下划线 {2y} +9) + (\ 下划线 {\ 下划线 {4y^2}} −\ 下划线 {8y} −7)\\ [6pt]
&\ text {不用括号重写,}\\
&\ text {重新排列以将相似的术语组合在一起。} & &\ 下划线 {\ 下划线 {7y^2+4y^2}} −\ 下划线 {2y−8y} +9−7\\ [6pt]
&\ text {像术语一样合并。} & & 11y^2−10y+2\ end {align*}\)

示例5.2.11

找到总和:(7x24x+5)+(x27x+3)

回答

8x211x+8

示例5.2.12

找到总和:(14y2+6y4)+(3y2+8y+5)

回答

17y2+14y+1

在下一个示例中减去多项式时,在分布时要小心使用符号。

示例5.2.13

找出区别:(9w27w+5)(2w24)

回答

\ (\ begin {align*} & & (9w^2−7w+5)\; −\; (2w^2−4)\\ [6pt]
&\ text {分发和识别相似的术语。} & &\ 下划线 {\ 下划线 {9w^2}} −\ 下划线 {7w} +5-\ 下划线 {\ 下划线 {2w^2}} +4\\ [6pt]
&\ text {重新排列条款。} & &\ 下划线 {\ 下划线 {9w^2-2w^2}} −\ 下划线 {7w} +5+4\\ [6pt]
&\ text {合并相似的术语。} & & 7w^2−7w+9\ end {align*}\)

示例5.2.14

找出区别:(8x2+3x19)(7x214)

回答

x2+3x5

示例5.2.15

找出区别:(9b25b4)(3b25b7)

回答

6b2+3

示例5.2.16

(p2+10pq2q2)从... 中减去(p2+q2)

回答

\ (\ begin {align*} & & & (p^2+q^2)\; −\; (p^2+10pq−2q^2)\\ [6pt]
&\ text {分发和识别类似的术语。} & &\ 下划线 {\ 下划线 {p^2}} +\ 下划线 {q^2}-\ 下划线 {\ 下划线 {p^2}} -10pq +\ 下划线 {2q^2}\\ [6pt]
&\ text {重新排列术语,将相似的术语放在一起。} & &\ 下划线 {\ 下划线 {p^2-p^2}} −10pq +\ 下划线 {q^2 + 2q^2}\\ [6pt]
&\ text {像术语一样合并。} & & −10pq+3q^2\ end {align*}\)

示例5.2.17

(a2+5ab6b2)从中减去(a2+b2)

回答

5ab+7b2

示例5.2.18

(m27mn3n2)从... 中减去(m2+n2)

回答

7mn+4n^2

示例5.2.19

找到总和:(u26uv+5v2)+(3u2+2uv)

回答

\ (\ begin {align*} & & & (u^2−6uv+5v^2)\; +\; (3u^2+2uv)\\ [6pt]
&\ text {分发和识别相似的术语。} & &\ 下划线 {\ 下划线 {u^2}}-\ 下划线 {6uv} +5v^2+\ 下划线 {\ 下划线 {3u^2}} +\ 下划线 {2uv}\\ [6pt]
&\ text {重新排列术语以将相似的术语组合在一起。} & &\ 下划线 {\ 下划线 {u^2}} +\ 下划线 {\ 下划线 {3u^2}}-\ 下划线 {6uv} +\ 下划线 {2uv} +5v^2\\ [6pt]
&\ text {像术语一样合并。} & & 4u^2−4uv+5v^2\ end {align*}\)

示例5.2.20

找到总和:(3x24xy+5y2)+(2x2xy)

回答

5x25xy+5y2

示例5.2.21

找到总和:(2x23xy2y2)+(5x23xy)

回答

7x26xy2y2

当我们加上和减去两个以上的多项式时,过程是相同的。

示例5.2.22

简化:(a3a2b)(ab2+b3)+(a2b+ab2)

回答

\ (\ begin {align*} & & (a^3−a^2b)\; −\; (ab^2+b^3)\; +\; (a^2b+ab^2)\\ [6pt]
&\ text {分发} & a^3−a^2-b^3 + a^2b+ab^2\\ [6pt]
&\ text {重新排列术语以将相似的术语组合在一起。} & & a^3−a^2b + a^2b− ab^2 + ab^2-b^3\\ [6pt]
&\ text {像术语一样合并。} & & a^3−b^3\ end {align*}\)

示例5.2.23

简化:(x3x2y)(xy2+y3)+(x2y+xy2)

回答

x3+y3

示例5.2.24

简化:(p3p2q)+(pq2+q3)(p2q+pq2)

回答

p33p2q+q3

计算给定值的多项式函数

多项式函数是由多项式定义的函数。 例如,f(x)=x2+5x+6g(x)=3x4是多项式函数,因为x2+5x+63x4是多项式。

定义:多项式函数

多项式函数是指其范围值由多项式定义的函数。

在 G raphs and Functions 中,我们首先引入了函数,我们了解到对一个函数f(x)进行求值意味着找出给定值的值x。 为了计算多项式函数,我们将用给定值代替变量,然后使用运算顺序进行简化。

示例5.2.25

对于该函数,请f(x)=5x28x+4查找:

  1. f(4)
  2. f(2)
  3. f(0)
回答

  。
。 。
简化指数。 。
乘。 。
简化。 。

  。
。 。
简化指数。 。
乘。 。
简化。 。

  。
。 。
简化指数。 。
乘。 。
示例5.2.26

对于该函数f(x)=3x2+2x15,请找到

  1. f(3)
  2. f(5)
  3. f(0)
回答

ⓐ 18 ⓑ 50 ⓒ15

示例5.2.27

对于该函数g(x)=5x2x4,请找到

  1. g(2)
  2. g(1)
  3. g(0)
回答

ⓐ 20 ⓑ 2 ⓒ4

与下一个示例中的多项式函数相似的多项式函数用于许多领域,用于确定物体投影到空中后某个时候的高度。 下一个函数中的多项式专门用于从 250 英尺处掉落某物。

示例5.2.28

多项式函数h(t)=16t2+250给出了球从 250 英尺高的建筑物掉落后 t 秒的高度。 在t=2几秒钟后找到高度。

回答

h(t)=16t2+250To find h(2), substitute t=2.h(2)=16(2)2+250Simplify.h(2)=16·4+250Simplify.h(2)=64+250Simplify.h(2)=186After 2 seconds the height of the ball is 186 feet.

示例5.2.29

多项式函数h(t)=16t2+150给出石头从 150 英尺高的悬崖上掉落后 t 秒的高度。 在t=0秒后找到高度(物体的初始高度)。

回答

高度是150英尺。

示例5.2.30

多项式函数h(t)=16t2+175给出了球从 175 英尺高的桥上掉落后 t 秒的高度。 在t=3几秒钟后找到高度。

回答

高度是31英尺。

加减多项式函数

就像可以加减多项式一样,也可以加减多项式函数。

定义:多项式函数的加减法

对于函数f(x)g(x)

(f+g)(x)=f(x)+g(x)

(fg)(x)=f(x)g(x)

示例5.2.31

对于函数f(x)=3x25x+7g(x)=x24x3,请查找:

  1. (f+g)(x)
  2. (f+g)(3)
  3. (fg)(x)
  4. (fg)(2)
回答

  。
。 。
重写时不带括号。 。
将相似的术语放在一起。 。
将相似的术语组合在一起。 。

ⓑ 在 (a) 部分中,我们找到了(f+g)(x),现在被要求找到(f+g)(3)

(f+g)(x)=4x29x+4To find (f+g) (3), substitute x=3.(f+g)(3)=4(3)29·3+4(f+g)(3)=4·99·3+4(f+g)(3)=3627+4

请注意,我们可以(f+g)(3)通过先g(3)分别找到f(3)和的值,然后将结果相加来找到。

查找f(3) 。
  。
  。
查找g(3) 。
  。
  。
查找(f+g)(3) 。
  。
。 。
  。

  。
。 。
重写时不带括号。 。
将相似的术语放在一起。 。
将相似的术语组合在一起。 。

。
示例5.2.32

对于函数f(x)=2x24x+3g(x)=x22x6,请查找:ⓐ(f+g)(x)(f+g)(3)(fg)(x)(fg)(2)

回答

(f+g)(x)=3x26x3

(f+g)(3)=6

(fg)(x)=x22x+9

(fg)(2)=17

示例5.2.33

对于函数f(x)=5x24x1g(x)=x2+3x+8,请查找 ⓐ(f+g)(x)(f+g)(3)(fg)(x)(fg)(2)

回答

(f+g)(x)=6x2x+7

(f+g)(3)=58

(fg)(x)=4x27x9

(fg)(2)=21

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  • 加减多项式

关键概念

  • 单项式
    • 单项式是具有一个项的代数表达式。
    • 一个变量中的单项式是 axm axm 形式的项,其中 a 是常数,m 是整数。
  • 多项式
    • 多项式 —由加法或减法组合的单项式或两个或多个代数项是多项式。
    • 单项式 —只有一个项的多项式称为单项式。
    • 二项式 — 正好有两个项的多项式称为二项式。
    • 三项式 —正好有三个项的多项式称为三项式。
  • 多项式的次数
    • 的度数是其变量的指数之和。
    • 常数的度数为 0。
    • 多项式的次数是其所有项的最高度。

词汇表

二项式
二项式是正好有两个项的多项式。
常数的度
任何常数的度数均为 0。
多项式的次数
多项式的次数是其所有项的最高度。
一个术语的学位
项的度数是其变量的指数之和。
单项式
单项式是具有一个项的代数表达式。 一个变量中的单项式是 axm axm 形式的项,其中 a 是常数,m 是整数。
多项式
通过加法或减法组合的单项式或两个或多个单项式是多项式。
多项式的标准形式
当多项式的项按度降序书写时,多项式为标准形式。
三项式
三项式是正好有三个项的多项式。
多项式函数
多项式函数是指其范围值由多项式定义的函数。