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3.2:用两个变量绘制线性方程

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    203869
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    学习目标

    在本节结束时,您将能够:

    • 在矩形坐标系中绘制点
    • 通过绘制点来绘制线性方程图
    • 绘制垂直线和水平线
    • 找到\(x\)-和\(y\)-截取
    • 使用截图绘制一条线
    在你开始之前

    在开始之前,请参加这个准备测验。

    1. 评估\(5x−4\)时间\(x=−1\)
      如果你错过了这个问题,请查看 [链接]
    2. 评估\(3x−2y\)时间\(x=4,y=−3\)
      如果你错过了这个问题,请查看 [链接]
    3. 求解\(y: 8−3y=20\)
      如果你错过了这个问题,请查看 [链接]

    在矩形坐标系上绘制点

    就像地图使用网格系统来识别位置一样,代数中使用网格系统来显示矩形坐标系中两个变量之间的关系。 矩形坐标系也称为\(xy\)-plane 或 “坐标平面”。

    矩形坐标系由两条相交的数字线组成,一条是水平的,一条是垂直的。 水平数字线称为\(x\)-axis。 垂直数字线被称为\(y\)-axis。 这些轴将一个平面分成四个区域,称为象限。 象限由罗马数字标识,从右上角开始,逆时针移动。 见图\(\PageIndex{1}\)

    此图显示了一个方形网格。 中间的水平数字线标记为 x。中间的垂直数字线标记为 y。数字线在零处相交,一起将方形网格分成 4 个大小相等的小方块。 右上角的方块标有 I。左上角的方块标有 II。 左下角的方块标有 III。 右下角的正方形标有 IV。
    \(\PageIndex{1}\)

    在矩形坐标系中,每个点都由一对有序表示。 有序对中的第一个数字是点\(x\)的坐标,第二个数字是点\(y\)的坐标。 短语 “有序配对” 表示顺序很重要。

    已订购对

    序对\((x,y)\)给出矩形坐标系中一个点的坐标。 第一个数字是\(x\)-坐标。 第二个数字是\(y\)-坐标。

    此图显示了表达式 (x, y)。 变量 x 被标记为 x 坐标。 变量 y 被标记为 y 坐标。

    轴交叉点的有序对是什么? 此时两个坐标均为零,因此其有序对为\((0,0)\)。该点\((0,0)\)有一个特殊的名称。 它被称为起

    起源

    该点\((0,0)\)被称为点。 这是\(x\)-axis 和\(y\)-axis 相交的点。

    我们使用坐标在\(xy\)-plane 上定位一个点。 让我们把这个点画\((1,3)\)成一个例子。 首先,在\(x\)-axis 上找到 1,然后轻描绘一条穿过的垂直线\(x=1\)。 然后,在\(y\)-axis\(3\) 上定位并绘制一条横线 No\(y=3.\) w,找到这两条线交汇的点,即带有坐标的点\((1,3)\)。 见图\(\PageIndex{2}\)

    此图显示了在 x y 坐标平面上绘制的点。 x 和 y 轴的长度从负 6 到 6。 对点 (1, 3) 进行了标记。 一条垂直虚线穿过该点并在 xplus1 处与 x 轴相交。 一条水平虚线穿过该点并在 yplus3 处与 y 轴相交。
    \(\PageIndex{2}\)

    请注意,垂直线穿过\(x=1\)和水平线\(y=3\)不在图表中。 我们只是用它们来帮助我们找到重点\((1,3)\)

    当其中一个坐标为零时,该点位于其中一个轴上。 在图\(\PageIndex{3},\)\((0,4)\),点在\(y\)-轴上,点\((−2,0)\)\(x\)-轴上。

    此图显示了在 x y 坐标平面上绘制的点。 x 和 y 轴的长度从负 6 到 6。 点(负 2, 0)被标记并位于 x 轴上。 点 (0, 4) 被标记并位于 y 轴上。
    \(\PageIndex{3}\)
    坐标轴上的点
    • \(y\)-坐标等于的点\(0\)位于\(x\)-axis 上,并且有坐标\((a,0)\)
    • \(x\)-坐标等于\(0\)的点位于\(y\)-axis 上,并且有坐标\((0,b)\)
    示例\(\PageIndex{1}\)

    在矩形坐标系中绘制每个点并确定该点所在的象限:

    a.\((−5,4\)) b.\((−3,−4)\) c.\((2,−3)\) d.\((0,−1)\) e\((3,\dfrac{5}{2})\).

    解决方案

    坐标对的第一个数字是\(x\)-坐标,第二个数字是\(y\)-坐标。 要绘制每个点,请绘制一条穿过\(x\)-坐标的垂直线和一条穿过\(y\)-坐标的水平线。 他们的交叉点才是重点。

    1. 因为\(x=−5\),该点在\(y\)-axis 的左边。 另外\(y=4\),因为该点在\(x\)-轴上方。 重点在\((−5,4)\)象限 II 中。
    2. 因为\(x=−3\),该点在\(y\)-axis 的左边。 另外\(y=−4\),因为该点在\(x\)-轴下方。 重点在\((−3,−4)\)象限 III 中。
    3. 因为\(x=2\),该点在\(y\)-轴的右边。 因为\(y=−3\),该点在\(x\)-轴下方。 重点在\((2,−3)\)象限 IV 中。
    4. 因为\(x=0\),坐标\((0,−1)\)为的点位于\(y\)-轴上。
    5. 因为\(x=3\),该点在\(y\)-轴的右边。 因为\(y=\dfrac{5}{2})\),该点在\(x\)-轴上方。 (写\(\dfrac{5}{2})\)成混合数字或十进制可能会有所帮助。) 重点在\((3,\dfrac{5}{2})\)象限 I 中

    此图显示了在 x y 坐标平面上绘制的点。 x 和 y 轴的长度从负 6 到 6。 以下点被标记为:(3,5 除以 2)、(负 2、3)、负 5、4)、(负 3、负 4)和(2,负 3)。

    试试吧! \(\PageIndex{1}\)

    在矩形坐标系中绘制每个点并确定该点所在的象限:

    a.\((−2,1)\) b.\((−3,−1)\) c.\((4,−4)\) d.\((−4,4)\) e.\((−4,\dfrac{3}{2})\)

    回答

    此图显示了在 x y 坐标平面上绘制的点。 x 和 y 轴的长度从负 6 到 6。 标有 a 的点位于原点左侧 2 个单位,距离原点上方 1 个单位,位于象限 II 中。 标有 b 的点位于原点左侧 3 个单位,在原点下方 1 个单位,位于象限 III 中。 标有 c 的点位于原点右侧 4 个单位,位于原点下方 4 个单位,位于象限 IV 中。 标有 d 的点位于象限 II 中,位于原点左侧 4 个单位,位于象限 II 中。 标有 e 的点位于原点左侧 4 个单位,距离原点上方 1 个半单位,位于象限 II 中。

    试试吧! \(\PageIndex{2}\)

    在矩形坐标系中绘制每个点并确定该点所在的象限:

    a.\((−4,1)\) b.\((−2,3)\) c.\((2,−5)\) d.\((−2,5)\) e.\((−3,\dfrac{5}{2})\)

    回答

    此图显示了在 x y 坐标平面上绘制的点。 x 和 y 轴的长度从负 6 到 6。 标有 a 的点位于原点左侧 4 个单位,在原点上方 1 个单位,位于象限 II 中。 标有 b 的点位于原点左侧 2 个单位,在原点上方 3 个单位,位于象限 II 中。 标有 c 的点位于原点右侧 2 个单位,位于原点下方 5 个单位,位于象限 IV 中。 标有 d 的点位于原点左侧 2 个单位,在原点上方 5 个单位,位于象限 II 中。 标有 e 的点位于原点左侧 3 个单位,距离原点上方 2 个半单位,位于象限 II 中。

    \(x\)-坐标和\(y\)-坐标的符号会影响点的位置。 在上一个示例中绘制点图时,您可能已经注意到了一些模式。 我们可以用这种方式总结象限的符号模式:

    象限
    象限 I 象限二 象限三 象限四
    \((x,y)\) \((x,y)\) \((x,y)\) \((x,y)\)
    \((+,+)\) \((−,+)\) \((−,−)\) \((+,−)\)

    此图显示了标有四个象限的 x y 坐标平面。 飞机的右上角是标有 I 的象限(加号、加号)。 飞机的左上角是标有(减号、加号)的象限 II。 飞机的左下角是标有(减号、减号)的象限 III。 飞机的右下角标有象限 IV(加号、减号)。

    到目前为止,你求解的所有方程都是只有一个变量的方程。 在几乎所有情况下,当你求解方程时,你只得到了一个解。 但是方程可以有多个变量。 具有两个变量的方程可以采用以下形式\(Ax+By=C\)。 这种形式的方程称为由两个变量组成的线性方程

    线性方程

    形式为的方程\(Ax+By=C\),其中\(A\)\(B\)均不为零,称为由两个变量组成的线性方程

    以下是两个变量中的线性方程的示例,\(x\)\(y\)

    \ (\ begin {align*} {\ color {brickRed} A} x + {\ color {RoyalBlue} B} y &= {\ color {forestgreen} C}\\\ [5pt]
    x+ {\ color {royalBlue} 8}\ end {align*}\)

    \({\color{BrickRed}A = 1}\),\({\color{RoyalBlue}B = 4}\),\({\color{forestgreen}C=8}\)

    该方程也\(y=−3x+5\)是一个线性方程。 但它似乎不是这种形式\(Ax+By=C\)。 我们可以使用 Equality 的加法属性并将其重写为\(Ax+By=C\)表单。

    \[ \begin{array} {lrll} {} &{y} &= &{-3x+5} \\ {\text{Add to both sides.} } &{y+3x} &= &{3x+5+3x} \\ {\text{Simplify.} } &{y+3x} &= &{5} \\ {\text{Use the Commutative Property to put it in} } &{} &{} &{} \\ {Ax+By=C\text{ form.} } &{3x+y} &= &{5} \end{array} \nonumber\]

    通过重写\(y=−3x+5\)\(3x+y=5\),我们可以很容易地看出它是两个变量的线性方程,因为它的形式是\(Ax+By=C\)。 当方程采用这种形式时\(Ax+By=C\),我们说它是线性方程的标准形式

    线性方程的标准形式 a

    线性方程在书写时采用标准形式\(Ax+By=C\)

    大多数人更喜欢拥有\(A,\)\(B,\)\(C\)成为整数,在以标准形式书写线性方程\(A \geq 0\)时,尽管这并不是绝对必要的。

    线性方程有无限多的解。 对于每个替换的数字,都\(x\)有一个对应的\(y\)-value。 这对值是线性方程的解,由有序对表示\((x,y)\) 当我们将\(x\)和的这些值替换\(y\)到方程中时,结果是真实的陈述,因为左侧的值等于右侧的值。

    两个变量中线性方程的解

    有序对\((x,y)\)是线性方程的\(Ax+By=C\),前提是当有序对的\(x\)-和\(y\)-值被替换为方程时,方程为真陈述。

    线性方程有无限多的解。 我们可以在直角坐标系中绘制这些解。 这些点将完美地排成一条直线。 我们将这些点用一条直线连接起来,得到方程图。 我们在直线的两端放置箭头,以表示该线向两个方向延伸。

    图形是方程所有解的直观表示。 这是一句谚语的例子:“一张图片胜过千言万语。” 这条线显示了该方程的所有解。 直线上的每个点都是方程的解。 而且,这个方程的所有解都在这条线上。 这条线被称为方程图。 上线的积分不是解决办法!

    线性方程图

    线性方程的图形\(Ax+By=C\)是一条直线。

    • 直线上的每个点都是方程的解。
    • 这个方程的每个解都是这条线上的一个点。
    示例\(\PageIndex{2}\)

    显示的\(y=2x−3\)图表。

    此图显示了在 x y 坐标平面上绘制的一条直线。 x 和 y 轴的范围从负 10 到 10。 这条线的两端都有箭头,穿过点(负 3、负 9)、(负 2、负 7)、(负 1、负 5)、(0、负 3)、(1、负 1)、(3、3)、(4、5)、(5、7)和(6、9)。 这条线被标记为 y 加 2 x 减 3。

    对于每对订购的配对,请决定:

    1. 有序对是方程的解吗?
    2. 点在直线上吗?

    A:\((0,−3)\) B:\((3,3)\) C:\((2,−3)\) D:\((−1,−5)\)

    解决方案:

    \(x\)-和\(y\)-值替换到方程中,以检查有序对是否是方程的解。

    一个。

    示例 A 显示了有序对(0,负 3)。 在此之下是等式 y 加 2 x 减 3。 在此方程中,负3等于2乘以0减去3。 负数 3 和 0 的颜色与顶部有序对中的负 3 和 0 的颜色相同。 加号上方有一个问号。 下方是负3加负3等式。 下面是语句(0,负 3)是一个解。 示例 B 显示了有序对 (3, 3)。 在此之下是等式 y 加 2 x 减 3。 在此之下是方程式 3 等于 2 乘以 3 减去 3。 3 和 3 的颜色与顶部订购对中的 3 和 3 的颜色相同。 加号上方有一个问号。 下方是等式 3 加 3。 下面是陈述(3,3)是一个解决方案。 示例 C 显示了有序对(2,负 3)。 在此之下是等式 y 加 2 x 减 3。 在此方程中,负3等于2乘以2减去3。 负数 3 和 2 的颜色与顶部有序对中的负数 3 和 2 的颜色相同。 加号上方有一个问号。 在此之下是不等于负 3 不等于 1。 下面是陈述(2,负 3)不是解决方案。 示例 D 显示了有序对(负 1,负 5)。 在此之下是等式 y 加 2 x 减 3。 在此方程式下,负 5 等于 2 乘以负 1 减去 3。 负数 1 和负 5 的颜色与顶部有序对中的负 1 和负 5 的颜色相同。 加号上方有一个问号。 下方是负5加负5等式。 下面是陈述(负 1,负 5)是一个解。

    b. 绘制点\((0,−3)\)\((3,3)\)\((2,−3)\)、和\((−1,−5)\)

    此图显示了线性方程 y 加 2 x 减 3 的图形以及在 x y 坐标平面上绘制的一些点的图形。 x 和 y 轴的范围从负 10 到 10。 这条线的两端都有箭头,穿过点(负 1、负 5)、(0、负 3)和(3、3)。 点(2,负 3)也已绘制,但不在直线上。

    \((0,3)\)\((3,−3)\)\((−1,−5)\)和在线上\(y=2x−3\),点\((2,−3)\)不在线上。

    作为解的\(y=2x−3\)点在线上,但不是解的点不在线上。

    试试吧! \(\PageIndex{3}\)

    使用图表\(y=3x−1\)。 对于每对订购的配对,请决定:

    a. 有序对是方程的解吗?
    b. 点在直线上吗?

    A\((0,−1)\) B\((2,5)\)

    此图显示了在 x y 坐标平面上绘制的一条直线。 x 和 y 轴的范围从负 10 到 10。 这条线的两端都有箭头,穿过点(负 3、负 10)、(负 2、负 7)、(负 1、负 4)、(0、负 1)、(1、2、5)和(3、8)。 这条线被标记为 y 加 3 x 减 1。

    回答

    a. 是的 b. 是的

    试试吧! \(\PageIndex{4}\)

    使用图表\(y=3x−1\)。 对于每对订购的配对,请决定:

    a. 有序对是方程的解吗?
    b. 点在直线上吗?

    A\((3,−1)\) B\((−1,−4)\)

    此图显示了在 x y 坐标平面上绘制的一条直线。 x 和 y 轴的范围从负 10 到 10。 这条线的两端都有箭头,穿过点(负 3、负 10)、(负 2、负 7)、(负 1、负 4)、(0、负 1)、(1、2、5)和(3、8)。 这条线被标记为 y 加 3 x 减 1。

    回答

    a. 不 b. 是的

    通过绘制点来绘制线性方程图

    有几种方法可用于绘制线性方程。 我们将使用的第一种方法称为绘制点图或点绘法。 我们找到三个坐标是方程解的点,然后在矩形坐标系中绘制它们。 通过将这些点连接成一条线,我们就有了线性方程的图形。

    示例\(\PageIndex{3}\): How to Graph a Linear Equation by Plotting Points

    \(y=2x+1\)通过绘制点来绘制方程图。

    解决方案:

    步骤 1 是找到三个坐标为方程解的点。 可以为 x 或 y 选择任何值。在这种情况下,由于 y 在方程的左侧是孤立的,因此为 x 选择值更容易。选择 x 加 0。 我们将其替换为方程 y 加 2 x 加 1,得到 y 加 2 乘以 0 加 1。 这简化为 y 加 0 加 1。 所以 y plus 1。 选择 x 加 1。 我们将其替换为方程 y 加 2 x 加 1,得到 y 加 2 乘以 1 加 1。 这简化为 y 加 2 加 1。 所以 y plus 3。 选择 x 加负 2。 我们将其替换为方程 y 加 2 x 加 1,得到 y 加 2 乘以负 2 加 1。 这简化为 y 加负 4 加 1。 y 加负数 3。 接下来,我们要在表格中整理解决方案。 对于这个问题,我们将把刚才找到的三个解决方案放在表格中。 该表有 5 行和 3 列。 第一行是标题行,其方程为 y 加 2 x 加 1。 第二行是标题 x、y 和 (x, y) 的标题行。 第三行有数字 0、1 和 (0, 1)。 第四行有数字 1、3 和 (1、3)。 第五行有负数 2、负 3 和(负 2、负 3)。步骤 2 是在矩形坐标系中绘制点。 图:(0, 1), (1, 3), (负 2, 负 3)。 然后,该图显示了在 x y 坐标平面上绘制的一些点的图形。 x 和 y 轴的长度从负 6 到 6。 绘制了点 (0、1)、(1、3) 和(负 2、负 3)。 检查各点是否对齐。 如果他们没有,请仔细检查你的作品! 点对齐了吗? 是的,这个例子中的点对齐。第三步是画一条穿过这三点的线。 延伸线条以填充网格,并在直线的两端放置箭头。 这条线是 y 加 2 x 加 1 的曲线图。 该图显示了 x y 坐标平面上的一条直线的图形。 x 和 y 轴的长度从负 6 到 6。 绘制了点(负 2、负 3)、(0、1)和(1、3)。 直线穿过三个点,两端都有箭头。

    试试吧! \(\PageIndex{5}\)

    通过绘制点来绘制方程图:\(y=2x−3\).

    回答

    此图显示了在 x y 坐标平面上绘制的一条直线。 x 和 y 轴的长度从负 8 到 8。 直线穿过点(负 2、负 7)、(负 1、负 5)、(0、负 3)、(1、负 1)、(2、1)、(3、3)、(4、5)和(5、7)。

    试试吧! \(\PageIndex{6}\)

    通过绘制点来绘制方程图:\(y=−2x+4\).

    回答

    此图显示了在 x y 坐标平面上绘制的一条直线。 x 和 y 轴的长度从负 8 到 8。 这条线穿过点(负 2、8)、(负 1、6)、(0、4)、(1、2)、(2、0)、(3、负 2)、(4、负 4)、(5、负 6)和(6,负 8)。

    此处总结了通过绘制点绘制线性方程时要采取的步骤。

    通过绘制点来绘制线性方程图
    1. 找出坐标为方程解的三个点。 将它们整理在桌子里。
    2. 在矩形坐标系中绘制点。 检查各点是否对齐。 如果没有,请仔细检查你的工作。
    3. 画一条穿过这三个点的直线。 延伸线条以填充网格,并在直线的两端放置箭头。

    的确,确定一条线只需要两个点,但是使用三个点是个好习惯。 如果你只绘制两个点而其中一个点不正确,你仍然可以画一条线,但它不能代表方程的解。 这将是错误的路线。

    如果您使用三个积分,而一个点不正确,则这些点将不会排成一列。 这告诉你出了点问题,你需要检查一下你的工作。 看看这些插图之间的区别。

    该图显示了两幅图像。 在第一张图中,有三个点,其中一条直线穿过所有三个点。 在第二张图中,有三个点并非全部位于一条直线上。

    当方程包含分数作为系数时,\(x,\)我们仍然可以用任何数字代替。\(x.\)但是,如果我们为 “好” 的值做出 “好” 的选择,算术会更容易。\(x.\)这样我们就可以避免分数答案,因为分数答案很难精确绘制。

    示例\(\PageIndex{4}\)

    绘制方程图:\(y=\frac{1}{2}x+3\).

    解决方案:

    找出作为方程解的三个点。 由于该方程的系数\(\dfrac{1}{2}\)为分数,因此\(x,\)我们将\(x\)谨慎选择的值。 我们将使用零作为一个选项,使用倍\(2\)数作为其他选项。 为什么二的倍数是值的好选择\(x\)? 通过选择乘法的倍数,\(\dfrac{1}{2}\)可以简化为整数\(2\)

    第一组方程以 x 加 0 开头。 在此之下是等式 y 加 1 半 x 加 3。 在此之下是等式 y 加 1 半乘以 0 加 3。 下方是等式 y 加 0 加 3。 下方是等式 y 加 3。 第二组方程以 x 加 2 开头。 在此之下是等式 y 加 1 半 x 加 3。 在此之下是等式 y 加 1 半乘以 2 加 3。 下方是等式 y 加 1 加 3。 下方是等式 y 加 4。 第三组方程以 x 加 4 开头。 在此之下是等式 y 加 1 半 x 加 3。 在此之下是等式 y 加 1 半乘以 4 加 3。 下方是等式 y 加 2 加 3。 下方是等式 y 加 5。

    积分如所示。

    \(y=\frac{1}{2}x+3\)
    \(x\) \(y\) \((x,y)\)
    0 3 \((0,3)\)
    2 4 \((2,4)\)
    4 5 \((4,5)\)

    绘制点图,检查它们是否对齐,然后画出直线。

    该图显示了 x y 坐标平面上的一条直线的图形。 x 和 y 轴的长度从负 7 到 7。 绘制了点 (0、3)、(2、4) 和 (4、5)。 直线穿过三个点,两端都有箭头。 这条线被标记为 y 加 1 除以 2 乘以 x 加 3。

    试试吧! \(\PageIndex{7}\)

    绘制方程图:\(y=\frac{1}{3}x−1\).

    回答

    此图显示了在 x y 坐标平面上绘制的一条直线。 x 和 y 轴的长度从负 12 到 12。 直线穿过点(负 12、负 5)、(负 9、负 4)、(负 6、负 3)、(负 3、负 2)、(0、负 1)、(3、0)、(6、1)、(9、2)和(12、3)。

    试试吧! \(\PageIndex{8}\)

    绘制方程图:\(y=\frac{1}{4}x+2\).

    回答

    此图显示了在 x y 坐标平面上绘制的一条直线。 x 和 y 轴的长度从负 12 到 12。 这条线穿过点(负 12、负 1)、(负 8、0)、(负 4、1)、(0、2)、(4、4)和(12、5)。

    绘制垂直线和水平线

    一些线性方程只有一个变量。 他们可能只有\(x\),没有,\(y,\)或者只是\(y\)没有。\(x.\)这改变了我们制作值表以绘制点数的方式。

    让我们考虑一下这个方程式\(x=−3\)。 这个方程只有一个变量,\(x.\)方程表示\(x\)总是等于\(−3\),所以它的值\(y.\)不依赖于不管值\(y,\)的值\(x\)是多少\(−3\)

    因此,要创建一个值表,请为所有\(x\)-\(−3\) values写入内容。 然后选择 Sinc\(y.\) e\(x\) 不依赖的任意值\(y,\)你可以选择任何你喜欢的数字。 但是为了拟合坐标图上的点,我们将使用 1、2 和 3 作为\(y\)坐标。 见表。

    \(x=−3\)
    \(x\) \(y\) \((x,y)\)
    \(−3\) 1 \((−3,1)\)
    \(−3\) 2 \((−3,2)\)
    \((−3,)\) 3 \((−3,3)\)

    绘制表中的点并用直线将它们连接起来。 请注意,我们已经绘制了一条垂直线

    该图显示了 x y 坐标平面上的一条垂直直线的图形。 x 和 y 轴的长度从负 7 到 7。 绘制了点(负 3、1)、(负 3、2)和(负 3、3)。 这条线穿过三个点,两端都有箭头。 这条线被标记为 x 加负数 3。

    如果方程有\(y\)但没有\(x\)呢? 让我们绘制方程图\(y=4\)。 这次 y 值是一个常数,所以在这个方程中,中的所有值都\(y\)不依赖\(4\)于 F\(x.\) ill in,然后选择任何值。\(x.\)我们将使用 0、2 和 4 作为\(x\)坐标。\(y\)

    \(y=4\)
    \(x\) \(y\) \((x,y)\)
    0 4 \((0,4)\)
    2 4 \((2,4)\)
    4 4 \((4,4)\)

    在这张图中,我们绘制了一条穿过\(y\)-axis 的水平线\(4.\)

    该图显示了 x y 坐标平面上的一条水平直线的图形。 x 和 y 轴的长度从负 7 到 7。 绘制了点 (0、4)、(2、4) 和 (4、4)。 这条线穿过三个点,两端都有箭头。 这条线被标记为 y 加 4。

    垂直线和水平线

    垂直线是这种形式的方程的图形\(x=a\)

    该直线穿过\(x\)-axis(位于处)\((a,0)\)

    水平线是这种形式的方程的图形\(y=b\)

    该直线穿过\(y\)-axis(位于处)\((0,b)\)

    示例\(\PageIndex{5}\)

    图:a.\(x=2\) b\(y=−1\).

    解决方案

    a. 方程只有一个变量,\(x,\)并且\(x\)始终等于\(2.\)我们创建一个表,其中 always\(x\) 为 always\(2\) 然后输入任何值。图形是一条穿过\(x\)-axis 的垂直线\(y.\)\(2.\)

    \(x=2\)
    \(x\) \(y\) \((x,y)\)
    \ (x\)” data-valign= “middle” >2 \ (y\)” data-valign= “middle” >1 \ ((x, y)\)” data-valign= “middle” >\((2,1)\)
    \ (x\)” data-valign= “middle” >2 \ (y\)” data-valign= “middle” >2 \ ((x, y)\)” data-valign= “middle” >\((2,2)\)
    \ (x\)” data-valign= “middle” >2 \ (y\)” data-valign= “middle” >3 \ ((x, y)\)” data-valign= “middle” >\((2,3)\)

    该图显示了 x y 坐标平面上的一条垂直直线的图形。 x 和 y 轴的长度从负 7 到 7。 绘制了点 (2、1)、(2、2) 和 (2、3)。 这条线穿过三个点,两端都有箭头。 这条线被标记为 x 加 2。

    b. 同样,该方程\(y=−1\)只有一个变量,即\(y\)。 的值\(y\)是恒定的。 下表中的所有有序对都具有相同的\(y\)-cordence。 图形是一条穿过\(y\)-axis 的水平线\(−1.\)

    \(y=−1\)
    \(\mathbf{x}\) \(\mathbf{ y}\) \(\mathbf{(x,y)}\)
    \ (\ mathbf {x}\)” data-valign= “middle” >0 \ (\ mathbf {y}\)” data-valign= “middle” >\(−1\) \ (\ mathbf {(x, y)}\)” data-valign= “middle” >\((0,−1)\)
    \ (\ mathbf {x}\)” data-valign= “middle” >3 \ (\ mathbf {y}\)” data-valign= “middle” >\(−1\) \ (\ mathbf {(x, y)}\)” data-valign= “middle” >\((3,−1)\)
    \ (\ mathbf {x}\)” data-valign= “middle” >\(−3\) \ (\ mathbf {y}\)” data-valign= “middle” >\(−1\) \ (\ mathbf {(x, y)}\)” data-valign= “middle” >\((−3,−1)\)

    该图显示了 xy 坐标平面上的一条水平直线的图形。 x 和 y 轴的长度从负 7 到 7。 绘制了点 (-3、-1)、(0、-1) 和 (3、-1)。 这条线穿过三个点,两端都有箭头。 这条线被标记为 y 等于负 1..

    试试吧! \(\PageIndex{9}\)

    G raph 方程式:a.\(x=5\) b. \(y=−4\).

    回答

    一个。

    该图显示了 x y 坐标平面上的一条垂直直线的图形。 x 和 y 轴的长度从负 12 到 12。 这条线穿过点(5、负 3)、(5、负 2)、(5、负 1)、(5、0)、(5、1)、(5、2)和(5、3)。

    b。

    该图显示了 x y 坐标平面上的一条水平直线的图形。 x 和 y 轴的长度从负 12 到 12。 直线穿过点(负 3、负 4)、(负 2、负 4)、(负 1、负 4)、(0、负 4)、(1、负 4)、(2、负 4)和(3,负 4)。

    试试吧! \(\PageIndex{10}\)

    G raph 方程式:a.\(x=−2\) b. \(y=3\).

    回答

    一个。

    该图显示了 x y 坐标平面上的一条垂直直线的图形。 x 和 y 轴的长度从负 12 到 12。 直线穿过点(负 2、负 3)、(负 2、负 2)、(负 2、负 1)、(负 2、0)、(负 2、1)、(负 2、2)和(负 2、3)。

    b。

    该图显示了 x y 坐标平面上的一条水平直线的图形。 x 和 y 轴的长度从负 12 到 12。 直线穿过点(负 3、3)、(负 2、3)、(负 1、3)、(0、3)、(1、3)、(2、3)和(3、3)。

    方程和方程有什么区\(y=4x\)\(y=4\)

    方程既\(y=4x\)\(x\)又有。\(y.\)的值\(y\)取决于的值,\(x,\)因此\(y\)-坐标会根据的值而变化。\(x.\)方程\(y=4\)只有一个变量。 的值\(y\)是常量,它不依赖于的值,\(x,\)所以\(y\)-坐标始终为\(4.\)

    此图有两张表。 第一个表有 5 行和 3 列。 第一行是标题行,其方程为 y 加 4 x。第二行是标题行,标题为 x、y 和 (x, y)。 第三行有数字 0、0 和 (0, 0)。 第四行有数字 1、4 和 (1、4)。 第五行有数字 2、8 和 (2、8)。 第二个表有 5 行和 3 列。 第一行是标题行,其方程为 y 加 4。 第二行是标题 x、y 和 (x, y) 的标题行。 第三行有数字 0、4 和 (0, 4)。 第四行有数字 1、4 和 (1、4)。 第五行有数字 2、4 和 (2、4)。该图显示了同一 x y 坐标平面上的一条水平直线和一条直斜线的图形。 x 和 y 轴的长度从负 7 到 7。 水平线穿过点 (0、4)、(1、4) 和 (2,4),标记为 y 加 4。 倾斜线穿过点 (0、0)、(1、4) 和 (2、8),标记为 y 加 4 x。

    注意,在图表中,方程\(y=4x\)给出了一条倾斜的线,而\(y=4\)给出了一条水平线。

    示例\(\PageIndex{6}\)

    图表\(y=−3x\)\(y=−3\)在同一个直角坐标系中。

    解决方案:

    我们注意到第一个方程有变量,\(x,\)而第二个方程没有。 我们为每个方程制作一个点表,然后绘制线条图。 显示了两张图表。

    此图有两张表。 第一个表有 5 行和 3 列。 第一行是标题行,其方程为 y 加负 3 x。第二行是标题行,标题为 x、y 和 (x, y)。 第三行有数字 0、0 和 (0, 0)。 第四行有数字 1、负 3 和 (1, 负 3)。 第五行有数字 2、负 6 和(2,负数 6)。 第二个表有 5 行和 3 列。 第一行是标题行,其方程为 y 加负 3。 第二行是标题 x、y 和 (x, y) 的标题行。 第三行有数字 0、负 3 和 (0、负 3)。 第四行有数字 1、负 3 和 (1, 负 3)。 第五行有数字 2、负 3 和 (2, 负 3)。

    该图显示了同一 x y 坐标平面上的一条水平直线和一条直斜线的图形。 x 和 y 轴的长度从负 7 到 7。 水平线穿过点(0、负 3)、(1、负 3)和(2,负 3),标记为 y 加负 3。 倾斜线穿过点 (0, 0)、(1、负 3) 和 (2, 负 6),标记为 y 加负 3 x。

    试试吧! \(\PageIndex{11}\)

    在同一个直角坐标系中绘制方程的图形:\(y=−4x\)\(y=−4\)

    回答

    该图显示了同一 x y 坐标平面上的一条水平直线和一条直斜线的图形。 x 和 y 轴的长度从负 12 到 12。 水平线穿过点(0、负 4)、(1、负 4)和(2,负 4)。 倾斜线穿过点 (0, 0)、(1、负 4) 和 (2, 负 8)。

    试试吧! \(\PageIndex{12}\)

    在同一个直角坐标系中绘制方程的图形:\(y=3\)\(y=3x\)

    回答

    该图显示了同一 x y 坐标平面上的一条水平直线和一条直斜线的图形。 x 和 y 轴的长度从负 12 到 12。 水平线穿过点 (0、3)、(1、3) 和 (2、3)。 倾斜的线穿过点 (0、0)、(1、3) 和 (2、6)。

    查找\(x\)-和\(y\)-截取

    每个线性方程都可以通过一条显示方程所有解的唯一线来表示。 我们已经看到,通过绘制点来绘制线条时,可以使用任意三种解决方案来绘制图形。 这意味着绘制线条的两个人可能会使用不同的三点集。

    乍一看,它们的两条线可能看起来不一样,因为它们会标有不同的点。 但是,如果所有工作都正确完成,则线条应该完全相同。 识别它们确实是同一条线的一种方法是查看直线与-a\(x\) xis和-axis的\(y\)交叉位置。 这些点被称为直线的截点。

    一条线的截取次数

    直线与\(x\)-axis 和-ax\(y\) is 交叉的点称为直线的截点。

    让我们来看看线条的图表。

    该图显示了不同方程的四张图表。 例如 a 在 x y 坐标平面上绘制了 2 x 加 y 加 6 的图形。 x 和 y 轴的长度从负 8 到 8。 点 (0, 6) 和 (3, 0) 已绘制并标记。 一条直线穿过两点,两端都有箭头。 在示例 b 中,在 x y 坐标平面上绘制了 3 x 减去 4 y 加 12 的图形。 x 和 y 轴的长度从负 8 到 8。 点(0,负 3)和(4,0)已绘制并标记。 一条直线穿过两点,两端都有箭头。 在示例 c 中,x 减去 y 加 5 的图形在 x y 坐标平面上绘制。 x 和 y 轴的长度从负 8 到 8。 点(0,负 5)和(5,0)已绘制并标记。 一条直线穿过两点,两端都有箭头。 在示例 d 中,y 加负 2 x 的图形在 x y 坐标平面上绘制。 x 和 y 轴的长度从负 8 到 8。 点 (0, 0) 已绘制并标记。 一条直线穿过这个点和点(负 1、2)和(1,负 2),两端都有箭头。

    首先,注意每条线与\(x\)-axis交叉的位置。 参见

    现在,让我们看一下这些直线与\(y\)-axis 交叉的点。

    这条线在
    以下位置穿过\(x\)-axis
    此积分已订购一对
    这条线
    在以下位置穿过 y 轴
    此积分已订购一对
    图 (a) \ (x\)-axis 位于:” data-valign= “middle” >\(3\) \((3,0)\) \(6\) \((0,6)\)
    图 (b) \ (x\)-axis 位于:” data-valign= “middle” >\(4\) \((4,0)\) \(−3\) \((0,−3)\)
    图 (c) \ (x\)-axis 位于:” data-valign= “middle” >\(5\) \((5,0)\) \(−5\) \((0,5)\)
    图 (d) \ (x\)-axis 位于:” data-valign= “middle” >\(0\) \((0,0)\) \(0\) \((0,0)\)
    一般人物 \ (x\)-axis 位于:” data-valign= “middle” >\(a\) \((a,0)\) \(b\) \((0,b)\)

    你看到图案了吗?

    对于每条线,直线\(y\)与-a\(x\) xis 交叉点的-坐标为零。 直线与\(x\)-axis 交叉的点的形式为\((a,0)\),称为直线的\(x\) -intercept。 当为零时\(y\),会出现\(x\)-intercept。

    在每条线中,直线与\(y\)-axis 交叉点的\(x\) - 坐标为零。 直线与\(y\)-axis 交叉的点的形式为\((0,b)\),称为直线的\(y\) -intercept。 当为零时\(x\),会出现\(y\)-intercept。

    线路的拦截次数

    \(x\)-截距是直线与\(x\)-axis 交叉的点\((a,0)\)

    \(y\)-截距是直线与\(y\)-axis 交叉的点\((0,b)\)

    该表有 3 行和 2 列。 第一行是标题 x 和 y 的标题行。第二行包含 a 和 0。 第三行包含 0 和 b。

    示例\(\PageIndex{7}\)

    在显示的每张图上找到\(x\)-和\(y\)-截距。

    该图有三张图表。 图 a 显示了在 x y 坐标平面上绘制的一条直线。 x 和 y 轴的长度从负 8 到 8。 这条线穿过点(负 8、6)、(负 4、4)、(0、2)、(4、0)、(8、负 2)。 图 b 显示了在 x y 坐标平面上绘制的一条直线。 x 和 y 轴的长度从负 8 到 8。 直线穿过点(0、负 6)、(2、0)和(4、6)。 图 c 显示了在 x y 坐标平面上绘制的一条直线。 x 和 y 轴的长度从负 8 到 8。 直线穿过点(负 5、0)、(负 3、负 3)、(0、负 5)、(1、负 6)和(2,负 7)。

    解决方案:

    a. 图形在该点处穿过\(x\)-axis\((4,0)\)x- 截距为\((4,0)\)
    图形在该点处穿过\(y\)-axis\((0,2)\)\(y\)-截距为\((0,2)\)

    b. 图形在该点处穿过\(x\)-axis\((2,0)\)\(x\)-截距为\((2,0)\)
    图形在该点处穿过\(y\)-axis\((0,−6)\)\(y\)-截距为\((0,−6)\)

    c. 图形在该点处穿过\(x\)-axis\((−5,0)\)\(x\)-截距为\((−5,0)\)
    图形在该点处穿过\(y\)-axis\((0,−5)\)\(y\)-截距为\((0,−5)\)

    试试吧! \(\PageIndex{13}\)

    在图表上找到\(x\)-和\(y\)-截距。

    此图 a 显示了在 x y 坐标平面上绘制的一条直线。 x 和 y 轴的长度从负 10 到 10。 这条线穿过点(负 6、负 8)、(负 4、负 6)、(负 2、负 4)、(0、负 2)、(4、2)、(6、4)、(8、6)。

    回答

    \(x\)-截距:\((2,0)\),
    \(y\)-截距:\((0,−2)\)

    试试吧! \(\PageIndex{14}\)

    在图表上找到\(x\)-和\(y\)-截距。

    此图 a 显示了在 x y 坐标平面上绘制的一条直线。 x 和 y 轴的长度从负 10 到 10。 这条线穿过点(负 6、6)、(负 3、4)、(0、2)、(3、0)、(6、负 2)和(9,负 4)。

    回答

    \(x\)-截距:\((3,0)\),
    \(y\)-截距:\((0,2)\)

    认识到\(x\) -intercept 在\(y\)为零时发生\(y\)-intercept 发生在\(x\)为零时,这为我们提供了一种从直线的方程中求出直线的截距的方法。 要找到\(x\)-intercept,让 t\(y=0\) and solve for\(x.\) o 找到\(y\)-intercept,让\(x=0\) and solve for\(y.\)

    从直线方程中寻找截距

    使用直线方程。 要查找:

    • 直线的\(x\)截距,let\(y=0\) 和 solve for\(x\)
    • 直线的\(y\)截距,let\(x=0\) 和 solve for\(y\)
    示例\(\PageIndex{8}\)

    找到截取的内容\(2x+y=8\)

    解决方案:

    我们将让我们\(y=0\)找到\(x\)-截距,然后让我们\(x=0\)找到\(y\)-截距。 我们将填写一张表格,提醒我们我们需要找到什么。

    图中有一个包含 4 行 2 列的表。 第一行是标题行,其方程为 2 x 加 y 加 8。 第二行是标题 x 和 y 的标题行。第三行标记为 x-intercept,第一列为空白,第二列为 0。 第四行被标记为 y 截距,第一列为 0,第二列为空白。
    要找到\(x\)-截距,让\(y=0\)  
      \(2x+y=8\)
    \(y=0\) \(2x+{\color{red}0}=8\)
    简化。 \(2x=8\)
      \(x=4\)
    \(x\)-截距为: \((4,0)\)
    要找到\(y\)-截距,让\(x=0\)  
      \(2x+y=8\)
    \(x=0\) \(2 ( {\color{red}0}) + y = 8\)
    简化。 \(0 + y = 8\)
      \(y=8\)
    \(y\)-截距为: \((0,8)\)

    截获量是分数\((4,0)\)\((0,8)\),如表所示。

    \(2x+y=8\)
    \(x\) \(y\)
    4 0
    0 8
    试试吧! \(\PageIndex{15}\)

    找到截获物:\(3x+y=12\).

    回答

    \(x\)-截距:\((4,0)\),
    \(y\)-截距:\((0,12)\)

    试试吧! \(\PageIndex{16}\)

    找到截获物:\(x+4y=8\).

    回答

    \(x\)-截距:\((8,0)\),
    \(y\)-截距:\((0,2)\)

    使用截图画一条线

    要通过绘制点来绘制线性方程图,您需要找到三个坐标为方程解的点。 你可以使用 x 和 y 截距作为你的三个分数中的两个。 找到拦截点,然后找到第三个点以确保准确性。 确保各点对齐,然后画出直线。 这种方法通常是绘制线条的最快方法。

    示例\(\PageIndex{9}\): How to Graph a Line Using the Intercepts

    \(–x+2y=6\)使用截图绘制图表。

    解决方案:

    步骤 1 是找到直线的 x 和 y 截距。 要找出 x 截距,请让 y 加 0 然后求解 x。方程负 x 加 2 y 加 6 变为负 x 加 2 乘以 0 加 6。 这简化为负 x 加 6。 这等于 x 加上负 6。 X 截距为(负 6, 0)。 要找出 y 截距,请让 x 加 0 并求解 y。方程负 x 加 2 y 加 6 变为负 0 加 2 y 加 6。 这简化为负 2 y 加 6。 这等同于 y 加 3。 y 截距为 (0, 3)。步骤 2 是找到方程的另一种解。 我们将使用 x 加 2。 方程负 x 加 2 y 加 6 变为负 2 加 2 y 加 6。 这简化为 2 y 加 8。 这等同于 y 加 4。 第三点是 (2, 4)。步骤 3 是绘制这三个点。 图中显示了一个包含 4 行 3 列的表。 第一行是标题为 x、y 和 (x, y) 的标题行。 第二行包含负数 6、0 和(负 6、0)。 第三行包含 0、3 和 (0, 3)。 第四行包含 2、4 和 (2、4)。 图中还有 x y 坐标平面上三个点的图表。 x 和 y 轴的长度从负 6 到 6。 绘制并标记了三个点(负 6、0)、(0、3)和(2、4)。第 4 步是划清界限。 该图显示了 x y 坐标平面上的一条直线的图形。 x 和 y 轴的长度从负 6 到 6。 直线穿过点(负 6、0)、(0、3)和(2、4)。

    试试吧! \(\PageIndex{17}\)

    使用截图绘制图表:\(x–2y=4\).

    回答

    该图显示了 x y 坐标平面上的一条直线的图形。 x 和 y 轴的长度从负 12 到 12。 直线穿过点(负 4、负 4)、(负 2、负 3)、(0、负 2)、(2、负 1)、(4、0)、(6、1)和(8、2)。

    试试吧! \(\PageIndex{18}\)

    使用截图绘制图表:\(–x+3y=6\).

    回答

    该图显示了 x y 坐标平面上的一条直线的图形。 x 和 y 轴的长度从负 12 到 12。 直线穿过点(负 9、负 1)、(负 6、0)、(负 3、1)、(0、2)、(3、3)、(6、4)和(9、5)。

    此处总结了使用截距绘制线性方程的步骤。

    使用截距绘制线性方程
    1. 找到该行的\(x\)\(y\)-和-截距。
      • 假设 y=0y=0 然后求解\(x\)
      • 让 x=0x=0 求解\(y\)
    2. 找到方程的第三个解。
    3. 绘制这三个点并检查它们是否对齐。
    4. 画出这条线。
    示例\(\PageIndex{10}\)

    \(4x−3y=12\)使用截图绘制图表。

    解决方案:

    找到拦截点和第三个点。

    要找出 x 截距,请让 y 加 0 然后求解 x。方程 4 x 减去 3 y 加 12 变成 4 x 减 3 乘以 0 加 12。 这简化为负 4 x 加 12。 这等同于 x 加 3。 要找出 y 截距,请让 x 加 0 然后求解 y。方程 4 x 减 3 y 加 12 变成 4 倍 0 减去 3 y 加 12。 这简化为负 3 y 加 12。 这等于 y 加上负 4。 要找到第三个点,请让 y 加 4 然后求解 x。方程 4 x 减去 3 y 加 12 变成 4 x 减 3 乘 4 加 12。 这简化为负 4 x 加 24。 这等同于 x 加 6。

    我们在表中列出了点并显示了图表。

    \(4x−3y=12\)
    \(x\) \(y\) \((x,y)\)
    3 0 \((3,0)\)
    0 \(−4\) \((0,−4)\)
    6 4 \((6,4)\)

    该图显示了 x y 坐标平面上方程 4 x 减去 3 y 加 12 的图形。 x 和 y 轴的长度从负 7 到 7。 直线穿过点(0、负 4)、(3、0)和(6、4)。

    试试吧! \(\PageIndex{19}\)

    使用截图绘制图表:\(5x−2y=10\).

    回答

    该图显示了 x y 坐标平面上的一条直线的图形。 x 和 y 轴的长度从负 8 到 8。 直线穿过点(0、负 5)、(2、0)和(4、5)。

    试试吧! \(\PageIndex{20}\)

    使用截图绘制图表:\(3x−4y=12\).

    回答

    该图显示了 x y 坐标平面上的一条直线的图形。 x 和 y 轴的长度从负 8 到 8。 直线穿过点(负 4、负 6)、(0、负 3)、(4、0)和(8、3)。

    当直线穿过原点时,\(x\)-intercept 和\(y\)-intercept 是同一个点。

    示例\(\PageIndex{11}\)

    \(y=5x\)使用截图绘制图表。

    解决方案:

    要找出 x 截距,请让 y 加 0 然后求解 x。方程 y 加 5 x 变成 0 加 5 x。这简化为 0 加 x。x 截距为 (0, 0)。 要找出 y 截距,请让 x 加 0 并求解 y。方程 y 加 5 x 变成 y 加 5 倍 0。 这简化为 y 加 0。 y 截距也是 (0, 0)。

    这条线只有一个截距。 这就是重点\((0,0)\)

    为了确保准确性,我们需要绘制三个点。 由于\(x\)-和\(y\)-截距是同一个点,我们需要另外两个点来绘制直线。

    要找到第二个点,让 x 加 1 然后求解 y。方程 y 加 5 x 变成 y 加 5 倍 1。 这简化为 y 加上 5。 要找到第三个点,让 x 加上负 1 然后求解 y。方程 y 加 5 x 变成 y 加 5 乘以负 1。 这简化为 y 加负数 5

    由此产生的三点汇总在表中。

    \(y=5x\)
    \(x\) \(y\) \((x,y)\)
    0 0 \((0,0)\)
    1 5 \((1,5)\)
    \(−1\) \(−5\) \((−1,−5)\)

    绘制三个点,检查它们是否对齐,然后画出直线。

    图中显示了 x y 坐标平面上方程 y 加 5 x 的图形。 x 和 y 轴的范围从负 10 到 10。 直线穿过点(负 1、负 5)、(0、0)和(1、5)。

    试试吧! \(\PageIndex{21}\)

    使用截图绘制图表:\(y=4x\).

    回答

    该图显示了 x y 坐标平面上的一条直线的图形。 x 和 y 轴的长度从负 12 到 12。 直线穿过点(负 1、负 4)、(0、0)和(1、4)。

    试试吧! \(\PageIndex{22}\)

    绘制拦截图:\(y=−x\).

    回答

    该图显示了 x y 坐标平面上的一条直线的图形。 x 和 y 轴的长度从负 12 到 12。 直线穿过点(负 1、1)、(0、0)和(1,负 1)。

    关键概念

    • 坐标轴上的点
      • \(y\)-坐标等于的点\(0\)位于\(x\)-axis 上,并且有坐标\((a,0)\)
      • \(x\)-坐标等于\(0\)的点位于\(y\)-axis 上,并且有坐标\((0,b)\)
    • 象限
      象限 I 象限二 象限三 象限四
      \((x,y)\) \((x,y)\) \((x,y)\) \((x,y)\)
      \((+,+)\) \((-,+)\) \((-,-)\) \((+,-)\)

      此图显示了标有四个象限的 x y 坐标平面。 飞机的右上角是标有 I 的象限(加号、加号)。 飞机的左上角是标有(减号、加号)的象限 II。 飞机的左下角是标有(减号、减号)的象限 III。 飞机的右下角标有象限 IV(加号、减号)。

    • 线性方程图:线性方程的图形\(Ax+By=C\)是一条直线。
      直线上的每个点都是方程的解。
      这个方程的每个解都是这条线上的一个点。
    • 如何通过绘制点来绘制线性方程。
      1. 找出坐标为方程解的三个点。 将它们整理在桌子里。
      2. 在矩形坐标系中绘制点。 检查各点是否对齐。 如果没有,请仔细检查你的工作。
      3. 画一条穿过这三个点的直线。 延伸线条以填充网格,并在直线的两端放置箭头。
    • \(x\)-截距和\(y\)-截距
      • \(x\)-截距是直线与\(x\)-axis 交叉的点\((a,0)\)
      • \(y\)-截距是直线与\(y\)-axis 交叉的点\((0,b)\)

    该表有 3 行和 2 列。 第一行是标题 x 和 y 的标题行。第二行包含 a 和 0。 x 截距在 y 为零时出现。 第三行包含 0 和 b。当 x 为零时出现 y 截距。

    • 从直线方程中找\(y\)\(x\)-和-截距
      • 使用直线方程。 找到:
        直线的\(x\)-截距,le\(y=0\) t and\(y\) solve 求\(x.\)
        解直线的截距,le\(x=0\) t and solve\(y.\)
    • 如何使用截距绘制线性方程。
      1. 找到该行的\(x\)\(y\)-和-截距。
        Let\(y=0\) and solve\(x.\)
        for Let\(x=0\) 然后求解\(y.\)
      2. 找到方程的第三个解。
      3. 绘制这三个点并检查它们是否对齐。
      4. 画出这条线。

    词汇表

    水平线
    水平线是方程的图形,其形式\(y=b.\)为:直线穿过\(y\)-axis\((0,b).\)
    直线的截取次数
    直线与\(x\)-axis 和-ax\(y\) is 交叉的点称为直线的截点。
    线性方程
    形式\(Ax+By=C,\)\(A\)且不\(B\)均为零的方程称为由两个变量组成的线性方程。
    已订购一对
    有序对\((x,y),\)给出矩形坐标系中一个点的坐标。 第一个数字是\(x\)-坐标。 第二个数字是\(y\)-坐标。
    起源
    该点\((0,0)\)被称为原点。 这是\(x\)-axis 和\(y\)-axis 相交的点。
    两个变量中线性方程的解
    \(Ax+By=C,\)如果将有序对\((x,y)\)\(x\)-和\(y\)-值替换到方程中时,方程为真陈述,则有序对就是线性方程的解。
    线性方程的标准形式
    线性方程在书写时采用标准形式\(Ax+By=C.\)
    垂直线
    垂直线是方程的图形,其形式\(x=a.\)为:直线穿过\(x\)-axis\((a,0).\)