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10.3: तर्कसंगत असमानताएं

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    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    तर्कसंगत असमानताओं को हल करने में अंश और भाजक के शून्य का पता लगाना शामिल है, फिर इन मानों का उपयोग करके नंबर लाइन पर समाधान सेट क्षेत्रों की जांच करना शामिल है।

    उदाहरण Template:index

    असमानताओं को हल करें और अंतराल नोटेशन में समाधान सेट लिखें:

    1. \(\dfrac{x − 1}{x + 1} ≥ 0\)
    2. \(\dfrac{2x − 3}{x + 1} ≤ 0\)
    3. \(\dfrac{x + 2}{x − 2} ≥ 0\)
    समाधान
    1. \(\begin{array} &&\dfrac{x − 1}{x + 1} ≥ 0 &\text{Example problem} \\ &\dfrac{x − 1}{x + 1} ≥ 0 &\text{The quotient must be greater than or equal to \(0\).}\\ &x − 1 = 0,\; x = 1 &\ text {अंश के शून्य ढूंढें}\\ &x + 1 = 0, x =\; −1 &\ टेक्स्ट {भाजक के शून्य ढूंढें}\ end {array}\)
    clipboard_ec11760d50b919ddd83bc64d27535e4b7.png
    शून्य संख्या रेखा को\(3\) क्षेत्रों में विभाजित करते हैं,\(x < −1\),\(−1 < x < 1\),\(x > 1\)

    \(\begin{array} &&\text{For } x < −1, \text{ choose } x = −2. \;\;\dfrac{−2 − 1}{−2 + 1} = \dfrac{−3}{−1} = 3 ≥ 0 \\ &\text{Replacing \(-2\)उत्तर में\(x\) परिणाम के लिए\(3\), जो इससे बड़ा या उसके बराबर है\(0\)। यह क्षेत्र समाधान सेट में शामिल\(x < −1\) है.}\\ [0.25in] &\ text {For} −1 < x < 1,\ text {चुनें} x = 0.\;\ dfrac {0 − 1} {0+ 1} =\ dfrac {1} {1} = −1 < 0\\ &\ text {उत्तर में\(x\) परिणामों के\(0\) लिए बदलना\(-1\), जो कम है\(0\), पूरा नहीं कर रहा है समस्या में दी गई असमानता.}\\ &\ text {इस क्षेत्र को समाधान सेट से बाहर रखा गया\(−1 < x < 1\) है.}\\ [0.25in] और\ text {के लिए} x > 1,\ text {चुनें} x = 2.\;\ dfrac {2 − 1} =\ dfrac {3} ≥ 0\\ &\ टेक्स्ट {उत्तर में\(x\) परिणामों के\(2\) लिए बदलना\(\dfrac{1}{3}\), कौन सा है इससे बड़ा या इसके बराबर\(0\)। यह क्षेत्र समाधान सेट में शामिल\(x > 1\) है.}\\ [0.25in] और (−∞, −1) (1, ∞)\\ &\ text {अंतराल नोटेशन में लिखा गया अंतिम उत्तर (अधिक विवरण के लिए अंतराल नोटेशन पर अनुभाग देखें).} \ end {array}\)

    1. \(\begin{array} &&\dfrac{2x − 3}{x + 1} ≤ 0 &\text{Example problem} \\ &\dfrac{2x − 3}{x + 1} ≤ 0 &\text{The quotient must be less than or equal to \(0\).}\\ &2x − 3 = 0,\; x = 1.5 &\ text {अंश के शून्य ढूंढें}\\ &x + 1 = 0,\; x = −1 &\ टेक्स्ट {भाजक के शून्य ढूंढें}\ end {array}\)
    clipboard_eb1a3fd2706ba7b03d6acdeb3ad51ec07.png
    शून्य संख्या रेखा को\(3\) क्षेत्रों में विभाजित करते हैं,\(x < −1\),\(−1 < x < 1.5\),\(x > 1.5\)

    \(\begin{array} &&\text{For } x < −1, \text{ choose } x = −2. \;\; \dfrac{2(−2) − 3}{−2 − 1} = \dfrac{−7}{−3} = \dfrac{7}{3} ≥ 0 \\ &\text{Replacing \(-2\)उत्तर में दिए गए\(x\) परिणामों के लिए\(\dfrac{7}{3}\), जो समस्या में दी गई असमानता को पूरा नहीं करने से\(0\) बड़ा है.}\\ &\ text {इस क्षेत्र को समाधान सेट से बाहर रखा गया\(x < −1\) है.}\\ [0.25in] &\ text {For} −1 < x < 1.5,\ text {चुनें} x = 0.\;\ dfrac {2 (0) − 3} {0 − 1} =\ dfrac {−3} {−1} = 3 ≥ 0\\ &\ text {उत्तर में\(x\) परिणामों के\(0\) लिए बदलना\(3\), जो कि समस्या से बड़ा या उसके बराबर है\(0\), जो समस्या पूछ रही है वह नहीं है.}\\ &\ text {इस क्षेत्र को समाधान सेट में बाहर रखा गया\(−1 < x < 1.5\) है.}\\ [0.25in] और\ text {के लिए } x > 1,\ text {चुनें} x = 2.\;\;\ dfrac {2 (2) − 3} {2 − 1} =\ dfrac {1} {1} = 1 ≥ 0\\ &\ text {उत्तर में\(x\) परिणामों के\(2\) लिए बदलना\(1\), जो इससे बड़ा या बराबर है\(0\)। इस क्षेत्र को समाधान सेट में शामिल नहीं किया गया\(x > 1\) है.}\\ [0.25in] &\\ &\ text {इस समस्या का कोई हल नहीं है। \(\dfrac{2x − 3}{x + 1}\)कभी भी इससे कम या उसके बराबर नहीं होगा\(0\).} \ end {array}\)

    1. \(\begin{array} &&\dfrac{x + 2}{x − 2} ≥ 0 &\text{Example problem} \\ &\dfrac{x + 2}{x − 2} ≥ 0 &\text{The quotient must be greater than or equal to \(0\).}\\ &x + 2 = 0,\;\; x = −2 &\ text {अंश के शून्य ढूंढें}\\ &x − 2 = 0,\;\; x = 2 &\ टेक्स्ट {भाजक के शून्य ढूंढें}\ end {array}\)
    clipboard_e3374fd2eab55feb8c3dfe2d5ebd8d557.png
    शून्य संख्या रेखा को\(3\) क्षेत्रों में विभाजित करते हैं,\(x < −2\),\(−2 < x < 2\),\(x > 2\)

    \(\begin{array} &&\text{For } x < −2, \text{ choose } x = −3. \dfrac{−3 + 2}{−3 − 2} = \dfrac{−1}{−5} = \dfrac{1}{5} ≥ 0 \\ &\text{Replacing \(-3\)उत्तर में\(x\) परिणाम के लिए\(\dfrac{1}{5}\), जो इससे बड़ा या उसके बराबर है\(0\)। यह क्षेत्र समाधान सेट में शामिल\(x < −2\) है.}\\ [0.25in] &\ text {For} −2 < x < 2,\ text {चुनें} x = 0.\;\ dfrac {0+ 2} {0 − 2} =\ dfrac {2} {−2} = −1 < 0\\ &\ text {उत्तर में\(x\) परिणामों के\(0\) लिए बदलना\(-1\), जो कम है\(0\), पूरा नहीं कर रहा है समस्या में दी गई असमानता.}\\ &\ text {इस क्षेत्र को समाधान सेट में शामिल नहीं किया गया\(−2 < x < 2\) है.}\\ [0.25in] और\ text {के लिए} x > 2,\ text {चुनें} x = 3.\;\\ dfrac {3 + 2} =\ dfrac {5} {1} = 5 ≥ 0\\ और टेक्स्ट {\(x\)परिणामों के\(3\) लिए प्रतिस्थापन उत्तर\(5\), जो इससे बड़ा या उसके बराबर है\(0\)। यह क्षेत्र समाधान सेट में शामिल\(x > 2\) है.}\\ [0.25in] और (−∞, −2) (2, ∞)\\ &\ text {अंतराल नोटेशन में लिखा गया अंतिम उत्तर (अधिक विवरण के लिए अंतराल नोटेशन पर अनुभाग देखें).} \ end {array}\)

    व्यायाम Template:index
    1. \(\dfrac{x + 3}{x − 2} ≥ 0\)
    2. \(\dfrac{x − 2}{x − 1} ≤ 0\)
    3. \(\dfrac{2x − 1}{x + 2} ≤ 0\)
    4. \(\dfrac{2x − 3}{x + 1} ≥ 0\)