5.6: एक्सपोनेंट्स के लिए पावर नियम

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Victoria Dominguez, Cristian Martinez, & Sanaa Saykali
Citrus College via ASCCC Open Educational Resources Initiative

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

यह नियम एक शक्ति के लिए उठाई गई घातीय अभिव्यक्ति को सरल बनाने में मदद करता है। यह नियम अक्सर उत्पाद नियम के साथ भ्रमित होता है, इसलिए घातीय अभिव्यक्तियों को सफलतापूर्वक सरल बनाने के लिए इस नियम को समझना महत्वपूर्ण है।

परिभाषा: एक्सपोनेंट्स के लिए पावर नियम

किसी भी वास्तविक संख्या\(a\) और किसी भी संख्या\(m\) के लिए\(n\), प्रतिपादकों के लिए शक्ति नियम निम्नलिखित है:

\((a^m)^n = a^{m\cdot n}\)

आइडिया:

अभिव्यक्ति को देखते हुए

\(\begin{aligned} &(2^2 )^3 && \text{Use the exponent definition to expand the expression inside the parentheses.} \\ &(2 \cdot 2)^3 && \text{Now use the exponent definition to expand according to the exponent outside the parentheses.}\\ &(2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2) = 2^6 && = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^{1+1+1+1+1+1 }= 2^{6} \text{ (Product Rule of Exponents) }\end{aligned}\)

अत,\((2^2 ) ^3 = 2^{2\cdot 3 }= 2^6\)

उदाहरण Template:index

एक्सपोनेंट्स के लिए पावर नियम का उपयोग करके निम्नलिखित अभिव्यक्ति को सरल बनाएं।

\((−3^4 )^3\)

समाधान

\((−3)^{4\cdot 3 }= (−3)^{12}\)

उदाहरण Template:index

\((−3^4 )^3\)

समाधान

\((5y)^{3\cdot 7 }= (5y)^{21}\)

उदाहरण Template:index

\(((−y)^5 )^2\)

समाधान

\((−y)^{5\cdot 2 }= (−y)^{10 }= y^{10}\)

उदाहरण Template:index

\((x^{−2 })^3\)

समाधान

\(x^{−2\cdot 3 }= x^{−6 }= \dfrac{1 }{x^6}\)

संकेत: समस्या में कोष्ठक प्रतिपादकों के लिए शक्ति नियम का उपयोग करने को सरल बनाने का एक मजबूत संकेतक है।

व्यायाम Template:index

एक्सपोनेंट्स के लिए पावर नियम का उपयोग करके अभिव्यक्ति को सरल बनाएं।

\((x^3 )^5\)
\(((−y)^3 )^7\)
\(((−6y)^8 ) ^{−3}\)
\((x^{−2 }) ^{−3}\)
\((r^4 )^5\)
\((−p^7 )^7\)
\(((3k)^{−3 })^5\)