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2.3: दूरी का सूत्र

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  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    पिछले अनुभाग में सिखाया गया था कि आयताकार समन्वय विमान में बिंदुओं को कैसे प्लॉट किया जाए। यह खंड सिखाता है कि विमान में किसी भी दो बिंदुओं के बीच की दूरी का पता कैसे लगाया जाए। उदाहरण के लिए, बिंदुओं की दूरी का पता लगाने\((x_1, y_1)\) और निम्नलिखित सूत्र\((x_2, y_2)\) पर विचार करने के लिए:

    परिभाषा: दूरी का सूत्र

    दो बिंदुओं के बीच\(P_1(x_1, y_1)\) और विमान\(P_2(x_2, y_2)\) में दूरी d निम्नलिखित द्वारा दी गई है:

    \(d = \sqrt {(x_2 − x_1) ^2 + (y_2 − y_1)} ^2\)

    उदाहरण Template:index

    बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करें\((−5, 2)\) और\((3, 4)\)

    समाधान

    विमान में दो बिंदु\(P_2(3, 4)\) होने दें और चलो\(x_1 = −5\),\(y_1 = 2\),\(x_2 = 3\), और\(y_2 = 4\)\(P_1(−5, 2)\)

    दिए गए मानों के साथ दूरी सूत्र का उपयोग करना:

    \(\begin{aligned} d &= \sqrt{(x_2 − x_1) ^2 + (y_2 − y_1) ^2 } \\&= \sqrt{ (3 − (−5))^2 + (4 − 2)^2}\\& = \sqrt{ (3 + 5)^2 + (2)^2 } \\ &= \sqrt{ 8 ^2 + 2^2} \\ &= \sqrt{64 + 4 }\\ &= \sqrt{ 68 } \\&= 2\sqrt{17}\end{aligned}\)

    इसलिए, दिए गए दो बिंदुओं के बीच की दूरी\(2\sqrt{17}\) हैः

    उदाहरण Template:index

    बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात\((−3, −1.5)\) करें\((−2.5, −1)\) और।

    समाधान

    चलो\(P_1(−2.5, −1)\) और विमान में बिंदु\(P_2(−3, −1.5)\) बनें और चलो\(x_1 = −2.5\),\(y_1 = −1\),\(x_2 = −3\) और\(y_2 = −1.5\)

    फिर दिए गए मानों के साथ दूरी सूत्र का उपयोग करने से पैदावार होती है,

    \(\begin{aligned} d &= \sqrt{(x_2 − x_1) ^2 + (y_2 − y_1) ^2}\\& = \sqrt{[−3 − (−2.5)]^2 + [−1.5 − (−1)]^2 } \\&= \sqrt{ (−3 + 2.5)^2 + (−1.5 + 1)^2} \\&= \sqrt{ (−0.5)^2 + (−0.5)^2 } \\&= \sqrt{ 0.25 + 0.25 }\\ &= \sqrt{0.5 } \\&\approx 0.71 \end{aligned}\)

    इसलिए, दिए गए दो बिंदुओं के बीच की दूरी लगभग 0.71 है।

    व्यायाम Template:index
    1. और के बीच की दूरी ज्ञात\(P_1(−3, −1.5)\) करें\(P_2(−2.5, − 1)\)। उत्तर की तुलना उदाहरण 2 में उत्तर से करें। क्या निष्कर्ष निकाला जा सकता है?
    2. और के बीच की दूरी ज्ञात\((−3, 6)\) करें\((2, 4)\)
    3. बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करें\(\left( \dfrac{1 }{2} , − \dfrac{10 }{4}\right)\) और\(\left(− \dfrac{14 }{4} , − \dfrac{5 }{2}\right )\)
    4. दूरी सूत्र का उपयोग क्यों किया जाता है?