Skip to main content
Global

9.6: نظرية النطاق للمواد الصلبة

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    196449

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    أهداف التعلم

    في نهاية هذا القسم، ستكون قادرًا على:

    • وصف طريقتين رئيسيتين لتحديد مستويات طاقة الإلكترون في البلورة
    • اشرح وجود نطاقات الطاقة والفجوات في بنية الطاقة في البلورة
    • اشرح لماذا تعتبر بعض المواد موصلات جيدة والبعض الآخر عوازل جيدة
    • فرّق بين العازل وأشباه الموصلات

    يشرح نموذج الإلكترون الحر العديد من الخصائص المهمة للموصلات ولكنه ضعيف في منطقتين على الأقل. أولاً، يفترض وجود طاقة كامنة ثابتة داخل المادة الصلبة. (تذكر أن الطاقة الكامنة الثابتة مرتبطة بعدم وجود قوى.) \(\PageIndex{1}\)يقارن الشكل افتراض الطاقة الكامنة الثابتة (الخط المنقط) مع جهد كولوم الدوري، الذي ينخفض كما هو الحال\(-1/r\) في كل نقطة شبكية، حيث r هي المسافة من قلب الأيونات (الخط الصلب). ثانيًا، يفترض نموذج الإلكترون الحر حاجزًا لا يمكن اختراقه على السطح. هذا الافتراض غير صالح، لأنه في ظل ظروف معينة، يمكن للإلكترونات الهروب من السطح - كما هو الحال في التأثير الكهروضوئي. بالإضافة إلى هذه الافتراضات، لا يفسر نموذج الإلكترون الحر الاختلافات الكبيرة في الخصائص الإلكترونية للموصلات وأشباه الموصلات والعوازل. لذلك، هناك حاجة إلى نموذج أكثر اكتمالاً.

    يوضح الشكل ثلاثة هياكل مقلوبة على شكل حرف U على التوالي واثنين غير كاملين على جانبي الصف. توجد نقاط حمراء في الأسفل بين رقمين متتاليين، مع علامات الجمع أسفلها. المسافة بين نقطتين متتاليتين هي a. يتم تسمية الأشكال بـ ناقص 1 بواسطة r. توجد نقطة فوق الأشكال مباشرةً. يُطلق على هذا اسم الطاقة الكامنة الثابتة التقريبية.
    الشكل\(\PageIndex{1}\): الجهد الدوري المستخدم لنمذجة الإلكترونات في الموصل. كل أيون في المادة الصلبة هو مصدر جهد كولوم. لاحظ أن نموذج الإلكترون الحر منتج لأن متوسط هذا الحقل ثابت تقريبًا.

    يمكننا إنتاج نموذج محسّن من خلال حل معادلة شرودنغر للجهد الدوري الموضح في الشكل\(\PageIndex{1}\). ومع ذلك، يتطلب الحل رياضيات تقنية تتجاوز نطاقنا. نسعى مرة أخرى إلى حجة نوعية تعتمد على ميكانيكا الكم لإيجاد طريقة للمضي قدمًا.

    نراجع أولاً الحجة المستخدمة لشرح بنية الطاقة للرابطة التساهمية. ضع في اعتبارك ذرتي هيدروجين متطابقتين متباعدتين جدًا بحيث لا يوجد أي تفاعل بينهما على الإطلاق. لنفترض أيضًا أن الإلكترون في كل ذرة في نفس الحالة الأرضية: إلكترون 1 ثانية بطاقة\(-13.6 \, eV\) (تجاهل الدوران). عندما يتم تقريب ذرات الهيدروجين من بعضها البعض، تتداخل وظائف الموجة الفردية للإلكترونات، ووفقًا لمبدأ الاستبعاد، لا يمكن أن تكون في نفس الحالة الكمومية، مما يقسم مستويات الطاقة المكافئة الأصلية إلى مستويين مختلفين للطاقة. تعتمد طاقات هذه المستويات على المسافة بين الذرات،\(a\) (الشكل\(\PageIndex{2a}\)).

    إذا تم تجميع أربع ذرات هيدروجين معًا، يتم تكوين أربعة مستويات من التماثلات الأربعة الممكنة - وهي «سنام» موجة جيبية واحدة في كل بئر، بالتناوب لأعلى ولأسفل، وهكذا. في حدود عدد كبير جدًا من الذرات N، نتوقع انتشار نطاقات مستمرة تقريبًا من مستويات الطاقة الإلكترونية في مادة صلبة (الشكل\(\PageIndex{2c}\)). يُعرف كل من هذه النطاقات باسم نطاق الطاقة. (لا تزال حالات الطاقة وعدد الموجات المسموح بها محددة من الناحية الفنية، ولكن بالنسبة لأعداد كبيرة من الذرات، تكون هذه الحالات قريبة جدًا من بعضها البعض بحيث تعتبر مستمرة أو «في السلسلة المستمرة».)

    يتم عرض ثلاثة رسوم بيانية لـ E مقابل R. يحتوي الشكل أ على منحنى يتكون من خطين رأسيين تقريبًا ينزلان ويتجهان إلى اليمين ويصبحان أفقيًا تقريبًا. تتقارب لتشكل سطرًا واحدًا. يحتوي الشكل b على منحنى مماثل، ولكن هناك سطرين إضافيين بين السطور الموجودة في الشكل أ. الشكل ج يشبه الشكل أ حيث تكون المساحة بين السطور مظللة.
    الشكل\(\PageIndex{2}\): اعتماد تقسيم مستوى الطاقة على متوسط المسافة بين (أ) ذرتين، (ب) أربع ذرات، (ج) عدد كبير من الذرات. بالنسبة لعدد كبير من الإلكترونات، يتم إنتاج مجموعة مستمرة من الطاقات

    تختلف نطاقات الطاقة في عدد الإلكترونات التي تحملها. في نطاقي الطاقة 1 ثانية و 2 ثانية، يحمل كل مستوى طاقة ما يصل إلى إلكترونين (يدور لأعلى ويدور لأسفل)، لذلك يبلغ الحد الأقصى للإشغال لهذا النطاق 2 نيوتن إلكترون. في نطاق الطاقة بقوة 2 p، يحمل كل مستوى طاقة ما يصل إلى ستة إلكترونات، لذلك يبلغ الحد الأقصى للإشغال في هذا النطاق 6 نيوتن (الشكل\(\PageIndex{3}\)).

    يوضِّح الشكل ثلاثة مستطيلات مظللة، واحدة فوق الأخرى، مفصولة بفجوات. يتم تصنيف الأقل بـ 1 ثانية، والوسط هو 2 ثانية والأعلى هو 2p. 1 و 2 ثانية بنفس الارتفاع، و 2p أطول. جميعها لها نفس العرض. على يسار المستطيلات يوجد سهم يسمى الطاقة يشير لأعلى.
    الشكل\(\PageIndex{3}\): تمثيل بسيط لبنية الطاقة في مادة صلبة. تنتمي الإلكترونات إلى نطاقات طاقة مفصولة بفجوات الطاقة.

    يتم فصل كل نطاق طاقة عن الآخر بفجوة طاقة. يمكن فهم الخصائص الكهربائية للموصلات والعوازل من حيث نطاقات الطاقة والفجوات. يُعرف أعلى نطاق طاقة يتم ملؤه باسم نطاق التكافؤ. يُعرف النطاق التالي المتاح في بنية الطاقة باسم نطاق التوصيل. في الموصل، يتم ملء أعلى نطاق طاقة يحتوي على إلكترونات جزئيًا، بينما في العازل، يتم ملء أعلى نطاق طاقة يحتوي على إلكترونات بالكامل. يوضح الشكل الفرق بين الموصل والعازل\(\PageIndex{4}\).

    يختلف الموصل عن العازل في كيفية استجابة إلكتروناته للمجال الكهربائي المطبق. في حالة تحريك عدد كبير من الإلكترونات بواسطة الحقل، تكون المادة موصِّلًا. فيما يتعلق بنموذج النطاق، تكتسب الإلكترونات في نطاق التوصيل المملوء جزئيًا طاقة حركية من المجال الكهربائي عن طريق ملء حالات الطاقة الأعلى في نطاق التوصيل. على النقيض من ذلك، في العازل، تنتمي الإلكترونات إلى نطاقات ممتلئة تمامًا. عند تطبيق المجال، لا يمكن للإلكترونات إجراء مثل هذه التحولات (الحصول على الطاقة الحركية من المجال الكهربائي) بسبب مبدأ الاستبعاد. ونتيجة لذلك، لا تقوم المادة بتوصيل الكهرباء.

    يحتوي الشكلان على مستطيل في الأسفل يسمى نطاق التكافؤ، وفضاء في المنتصف يسمى فجوة الطاقة، ومستطيل في الجزء العلوي المسمى نطاق التوصيل. في الشكل أ، المسمى بالموصل: شريط الستارة مملوء، ونطاق التوصيل غير مملوء، والمستطيل السفلي مظلل والجزء العلوي مظلل فقط في النصف السفلي. في الشكل b، المسمى بالعزل: يتم ملء شريط الستارة، وامتلاء نطاق التوصيل، وكلا المستطيلين مظللان بالكامل.
    الشكل\(\PageIndex{4}\): مقارنة بين الموصل والعازل. يتم ملء أعلى نطاق للطاقة جزئيًا بموصل ولكنه مملوء بالكامل بعازل.
    محاكاة

    قم بزيارة هذه المحاكاة للتعرف على أصل نطاقات الطاقة في بلورات الذرات وكيف يحدد هيكل النطاقات كيفية توصيل المادة للكهرباء. اكتشف كيف تنشئ بنية النطاق شبكة من العديد من الآبار.

    يحتوي أشباه الموصلات على بنية طاقة مماثلة للعازل باستثناء وجود فجوة طاقة صغيرة نسبيًا بين النطاق الأدنى المملوء بالكامل والنطاق غير المملوء التالي المتاح. يشكل هذا النوع من المواد أساس الإلكترونيات الحديثة. في\(T = 0 \, K\) ذلك، يحتوي كل من أشباه الموصلات والعازل على نطاقات ممتلئة تمامًا. والفرق الوحيد هو حجم فجوة الطاقة (أو فجوة النطاق) E g بين أعلى نطاق طاقة مملوء (نطاق التكافؤ) والنطاق الفارغ الأعلى التالي (نطاق التوصيل). في أشباه الموصلات، تكون هذه الفجوة صغيرة بما يكفي لتحفيز عدد كبير من الإلكترونات من نطاق التكافؤ حراريًا في نطاق التوصيل في درجة حرارة الغرفة. تكون هذه الإلكترونات بعد ذلك في نطاق فارغ تقريبًا ويمكن أن تستجيب للحقل التطبيقي. كقاعدة عامة، تبلغ فجوة النطاق لأشباه الموصلات حوالي 1 eV. (جدول\(\PageIndex{1}\) للسيليكون.) تعتبر فجوة النطاق التي تزيد عن 1 eV تقريبًا بمثابة عازل. وعلى سبيل المقارنة، فإن فجوة الطاقة في الماس (العازل) هي عدة فولتات إلكترونية.

    الجدول\(\PageIndex{1}\): فجوة الطاقة للمواد المختلفة عند 300 كيلو واط: باستثناء الماس، فإن المواد المدرجة كلها أشباه موصلات.
    مادة فجوة الطاقة\(E_g(eV)\)
    سي \ (e_G (eV)\)» النمط = «محاذاة النص: المركز؛» class= «lt-phys-4545">1.14
    جنرال إلكتريك \ (e_G (eV)\)» النمط = «محاذاة النص: المركز؛» class= «lt-phys-4545">0.67
    GAAs \ (e_G (eV)\)» النمط = «محاذاة النص: المركز؛» class= «lt-phys-4545">1.43
    الفجوة \ (e_G (eV)\)» النمط = «محاذاة النص: المركز؛» class= «lt-phys-4545">2.26
    GasB \ (e_G (eV)\)» النمط = «محاذاة النص: المركز؛» class= «lt-phys-4545">0.69
    إيناس \ (e_G (eV)\)» النمط = «محاذاة النص: المركز؛» class= «lt-phys-4545">0.35
    لا توجد \ (e_G (eV)\)» النمط = «محاذاة النص: المركز؛» class= «lt-phys-4545">1.35
    في بنك التنمية المستدامة \ (e_G (eV)\)» النمط = «محاذاة النص: المركز؛» class= «lt-phys-4545">0.16
    سي (دايموند) \ (e_G (eV)\)» النمط = «محاذاة النص: المركز؛» class= «lt-phys-4545">5.48