8.3: عزم ثنائي القطب المغناطيسي المداري للإلكترون
- Page ID
- 196718
في نهاية هذا القسم، ستكون قادرًا على:
- اشرح لماذا تحتوي ذرة الهيدروجين على خصائص مغناطيسية
- اشرح سبب تقسيم مستويات طاقة ذرة الهيدروجين المرتبطة بالزخم الزاوي المداري بواسطة مجال مغناطيسي خارجي
- استخدم الأرقام الكمومية لحساب حجم واتجاه عزم ثنائي القطب المغناطيسي المداري لذرة الهيدروجين
في نموذج بوهر لذرة الهيدروجين، يتحرك الإلكترون في مدار دائري حول البروتون. يمر الإلكترون بنقطة معينة على الحلقة في وقت معين، حتى نتمكن من حساب التيار\(I = Q/t\). وبالتالي فإن الإلكترون الذي يدور حول بروتون في ذرة هيدروجين يماثل التيار المتدفق عبر سلك دائري (الشكل\(\PageIndex{1}\)). في دراسة المغناطيسية، رأينا أن السلك الحامل للتيار ينتج مجالات مغناطيسية. لذلك من المعقول أن نستنتج أن ذرة الهيدروجين تنتج مجالًا مغناطيسيًا وتتفاعل مع المجالات المغناطيسية الأخرى.
عزم ثنائي القطب المغناطيسي المداري هو مقياس لقوة المجال المغناطيسي الناتج عن الزخم الزاوي المداري للإلكترون. من القوة وعزم الدوران في حلقة التيار، يكون مقدار عزم ثنائي القطب المغناطيسي المداري للحلقة الحالية
\[\mu = IA, \nonumber \]
\(I\)أين التيار\(A\) وهي منطقة الحلقة. (للإيجاز، نشير إلى هذا على أنه اللحظة المغناطيسية.) التيار\(I\) المرتبط بإلكترون في مدار حول بروتون في ذرة هيدروجين هو
\[I = \dfrac{e}{T}, \label{eq1} \]
حيث e هي حجم شحنة الإلكترون\(T\) وهي فترتها المدارية. إذا افترضنا أن الإلكترون ينتقل في مدار دائري تمامًا، فإن الفترة المدارية هي
\[T = \dfrac{2\pi r}{v}, \nonumber \]
حيث r هو نصف قطر المدار و v هي سرعة الإلكترون في مداره. بالنظر إلى أن مساحة الدائرة هي\(\pi r^2\)، فإن اللحظة المغناطيسية المطلقة هي
\[\mu = IA = \dfrac{e}{\left(\dfrac{2\pi r}{v}\right)}\pi r^2 = \dfrac{evr}{2}. \nonumber \]
من المفيد التعبير عن الزخم المغناطيسي μμμمن حيث الزخم الزاوي المداري (\(\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}\)). ولأن الإلكترون يدور في دائرة، فإن متجه الموضع\(\vec{r}\) ومتجه الزخم\(\vec{p}\) يشكلان زاوية قائمة. وبالتالي، فإن حجم الزخم الزاوي المداري هو
\[L = |\vec{L}| = |\vec{r} \times \vec{p}| = rp \, \sin \, \theta = rmv. \label{eq2} \]
بدمج هاتين المعادلتين، لدينا
\[\mu = \left(\dfrac{e}{2m_e}\right)L. \label{eq3} \]
في شكل متجه كامل، تتم كتابة هذا التعبير كـ
\[\vec{\mu} = - \left(\dfrac{e}{2m_e}\right)\vec{L}. \label{BIG} \]
تظهر العلامة السالبة لأن الإلكترون له شحنة سالبة. لاحظ أن اتجاه العزم المغناطيسي للإلكترون يتناقض مع الزخم الزاوي المداري، كما هو موضح في الشكل\(\PageIndex{1b}\). في نموذج Bohr للذرة، تكون العلاقة\(\vec{\mu}\) بين\(\vec{L}\) المعادلة\ ref {BIG} مستقلة عن نصف قطر المدار.
\(μ\)يمكن أيضًا التعبير عن اللحظة المغناطيسية من حيث الرقم الكمي الزاوي المداري\(l\). عند الجمع بين المعادلة\ ref {eq2} والمعادلة\ ref {eq1}، يكون حجم اللحظة المغناطيسية هو
\[\mu = \left(\dfrac{e}{2m_e}\right)L = \left(\dfrac{e}{2m_e} \right) \sqrt{l(l + 1)}\hbar = \mu_B \sqrt{l(l + 1)}. \label{eq5} \]
المكون z في اللحظة المغناطيسية هو
\[ \begin{align} \mu_z &= -\left(\dfrac{e}{2m_e}\right) \, L_z \\[4pt] &= - \left(\dfrac{e}{2m_e}\right) \, m \hbar \\[4pt] &= - \mu_B m. \label{eq6} \end{align} \]
الكمية\(\mu_B\) هي وحدة أساسية للمغناطيسية تسمى مغناطيس Bohr، والتي لها القيمة\(9.3 \times 10^{-24} \, Joule/Tesla\) (J/T) أو\(5.8 \times 10^{-5} eV/T\). إن تحديد مقدار اللحظة المغناطيسية هو نتيجة تحديد كمية الزخم الزاوي المداري.
كما سنرى في القسم التالي، فإن عزم ثنائي القطب المغناطيسي الكلي لذرة الهيدروجين يرجع إلى كل من الحركة المدارية للإلكترون ودورانه الجوهري. في الوقت الحالي، نتجاهل تأثير دوران الإلكترون.
ما مقدار اللحظة المغناطيسية المدارية ثنائية القطب μs لإلكترون في ذرة الهيدروجين في الحالة (a) s و (b) p و (c) d؟ (افترض أن دوران الإلكترون هو صفر.)
إستراتيجية
يرتبط الزخم المغناطيسي للإلكترون بزخمه الزاوي المداري L. بالنسبة لذرة الهيدروجين، ترتبط هذه الكمية بالرقم الكمي الزاوي المداري l. يتم إعطاء الحالات في الترميز الطيفي، الذي يربط الحرف (s، p، d، إلخ) برقم كمي.
الحل
يتم إعطاء حجم اللحظة المغناطيسية في المعادلة\ ref {eq5}:
\[ \begin{align} \mu_z &= -\left(\dfrac{e}{2m_e}\right) \, L \nonumber \\[4pt] &= \left(\dfrac{e}{2m_e}\right) \, \sqrt{l(l + 1)} \hbar \nonumber \\[4pt] &= \mu_B\sqrt{l(l + 1)}. \end{align} \nonumber \]
- بالنسبة للدولة،\(l = 0\) لذلك لدينا\(\mu = 0\) و\(\mu_z = 0\).
- بالنسبة للدولة p،\(l = 0\) ولدينا\[\mu = \mu_B\sqrt{1(1 + 1)} = \sqrt{2}\mu_B \nonumber \]\[\mu_z = -\mu_Bm \nonumber \]\(m = (-1, 0, 1)\) أين\[\mu_z = \mu_B, \, 0, \, -\mu_B. \nonumber \]
- بالنسبة للحالة d،\(l = 2\) ونحصل على\(m = (-2, -1, 0, 1, 2)\) ذلك من\[\mu = \mu_B\sqrt{2(2 + 1)} = \sqrt{6}\mu_B \nonumber \]\[\mu_z = -\mu_Bm \nonumber \] أين\[\mu_z = 2\mu_B, \, \mu_B \, 0, \, -\mu_B \, -2\mu_B. \nonumber \]
الدلالة
في حالة s، لا يوجد زخم زاوي مداري وبالتالي لا توجد لحظة مغناطيسية. هذا لا يعني أن الإلكترون في حالة سكون، فقط أن الحركة الكلية للإلكترون لا تنتج مجالًا مغناطيسيًا. في الحالة p، يحتوي الإلكترون على لحظة مغناطيسية بثلاث قيم محتملة للمكون z في هذه اللحظة المغناطيسية؛ وهذا يعني أن اللحظة المغناطيسية يمكن أن تشير في ثلاثة اتجاهات قطبية مختلفة - كل منها يتناقض مع متجه الزخم الزاوي المداري. في الحالة d، يحتوي الإلكترون على لحظة مغناطيسية بخمس قيم محتملة للمكون z في هذه اللحظة المغناطيسية. في هذه الحالة، يمكن أن تشير اللحظة المغناطيسية في خمسة اتجاهات قطبية مختلفة.
تحتوي ذرة الهيدروجين على مجال مغناطيسي، لذلك نتوقع أن تتفاعل ذرة الهيدروجين مع مجال مغناطيسي خارجي - مثل الدفع والسحب بين شريطين مغناطيسيين. من القوة وعزم الدوران في حلقة التيار، نعلم أنه عندما تتفاعل حلقة التيار مع مجال مغناطيسي خارجي\(\vec{B}\)، فإنها تتعرض لعزم دوران ناتج عن
\[\vec{\tau} = I(\vec{A} \times \vec{B}) = \vec{\mu} \times \vec{B}, \nonumber \]
حيث I هي التيار،\(\vec{A}\) هي منطقة الحلقة،\(\vec{\mu}\) هي اللحظة المغناطيسية،\(\vec{B}\) وهي المجال المغناطيسي الخارجي. يعمل عزم الدوران هذا على تدوير متجه العزم المغناطيسي لذرة الهيدروجين ليتماشى مع المجال المغناطيسي الخارجي. نظرًا لأن العمل الميكانيكي يتم بواسطة المجال المغناطيسي الخارجي على ذرة الهيدروجين، يمكننا التحدث عن تحولات الطاقة في الذرة. يتم إعطاء الطاقة الكامنة لذرة الهيدروجين المرتبطة بهذا التفاعل المغناطيسي بواسطة المعادلة\ ref {eq30}:
\[U = -\vec{\mu} \cdot \vec{B}. \label{eq30} \]
إذا كانت اللحظة المغناطيسية موازية للمجال المغناطيسي الخارجي، تكون الطاقة الكامنة كبيرة، ولكن إذا كانت اللحظة المغناطيسية موازية للحقل، تكون الطاقة الكامنة صغيرة. لذلك يرتبط العمل المنجز على ذرة الهيدروجين لتدوير متجه اللحظة المغناطيسية للذرة في اتجاه المجال المغناطيسي الخارجي بانخفاض الطاقة الكامنة. ومع ذلك، يتم الحفاظ على طاقة النظام لأن انخفاض الطاقة الكامنة ينتج إشعاعًا (انبعاث الفوتون). يتم تحديد انتقالات الطاقة هذه لأن اللحظة المغناطيسية يمكن أن تشير في اتجاهات معينة فقط.
إذا كان المجال المغناطيسي الخارجي يشير إلى الاتجاه الإيجابي z، فإن الطاقة الكامنة المرتبطة بعزم ثنائي القطب المغناطيسي المداري هي
\[U(\theta) = -\mu B \, cos \, \theta = - \mu_z B = - (-\mu_B m) = m\mu_BB, \nonumber \]
أين\(\mu_B\) مغنطون Bohr و m هو الرقم الكمي لإسقاط الزخم الزاوي (أو الرقم الكمي المداري المغناطيسي)، الذي يحتوي على القيم
\[m = -l, -l + 1, ..., 0, ..., l - 1, l. \nonumber \]
على سبيل المثال، في حالة\(l = 1\) الإلكترون، تنقسم الطاقة الإجمالية للإلكترون إلى ثلاثة مستويات طاقة متميزة تقابل\(U = -\mu_B B, 0, \mu_B B\).
يُطلق على تقسيم مستويات الطاقة بواسطة مجال مغناطيسي خارجي تأثير زيمان. عند تجاهل تأثيرات الدوران الإلكتروني، ينتج عن الانتقال من\(l = 1\) الحالة إلى حالة الطاقة المنخفضة الشائعة ثلاثة خطوط طيفية متقاربة (الشكل\(\PageIndex{2}\)، العمود الأيسر). وبالمثل، تنتج التحولات من\(l = 2\) الحالة خمسة خطوط طيفية متقاربة (العمود الأيمن). يتناسب فصل هذه الخطوط مع قوة المجال المغناطيسي الخارجي. هذا التأثير له العديد من التطبيقات. على سبيل المثال، يتم استخدام تقسيم الخطوط في طيف الهيدروجين للشمس لتحديد قوة المجال المغناطيسي للشمس. يمكن استخدام العديد من قياسات المجال المغناطيسي هذه لعمل خريطة للنشاط المغناطيسي على سطح الشمس تسمى الرسم المغناطيسي (الشكل\(\PageIndex{3}\)).
