3.3: رياضيات التداخل

أهداف التعلم

في نهاية هذا القسم، ستكون قادرًا على:

• حدد زوايا الأطراف الساطعة والمظلمة لتداخل الشق المزدوج
• احسب مواضع الهوامش الساطعة على الشاشة

$\PageIndex{1a}$يوضح الشكل كيفية تحديد فرق طول المسار$\Delta l$ للموجات المنتقلة من فتحتين إلى نقطة مشتركة على الشاشة. إذا كانت الشاشة تبعد مسافة كبيرة مقارنة بالمسافة بين الشقوق، فإن الزاوية بين المسار والخط من الشقوق إلى الشاشة ($\PageIndex{1b}$) هي نفسها تقريبًا لكل مسار. وبعبارة أخرى،$r_1$$r_2$ وهي متوازية بشكل أساسي. الأطوال$r_1$$r_2$ وتختلف بمقدار$\Delta l$، كما يتضح من الخطين المتقطعين في$\PageIndex{1}$.

الشكل$\PageIndex{1}$: (أ) للوصول إلى P، يجب أن تنتقل موجات الضوء من مسافات مختلفة$S_1$$S_2$ ويجب أن تنتقل منها. (ب) فرق المسار بين الشعاعين هو$\Delta l$.

عروض علم المثلثات البسيطة

$$\Delta l = d \, \sin \, \theta \label{eq1}$$

حيث d هي المسافة بين الشقوق. بدمج هذا مع معادلات التداخل التي تمت مناقشتها سابقًا، نحصل على تداخل بنّاء للشق المزدوج عندما يكون فرق طول المسار مضاعفًا متكاملًا لطول الموجة، أو

$$\underbrace{d \, \sin \, \theta = m \lambda}_{\text{constructive interference}}\label{eq2}$$

و

$$\underbrace{d \, \sin \, \theta = \left(m + \dfrac{1}{2}\right)\lambda }_{\text{destructive interference}} \label{eq3}$$

حيث

• $m = 0, \, ±1, \, ±2, \, ±3…$،
• $λ$هو الطول الموجي للضوء،
• $d$هي المسافة بين الشقوق، و
• $θ$هي الزاوية من الاتجاه الأصلي للشعاع كما هو موضح أعلاه.

نحن$m$ نسمي ترتيب التداخل. على سبيل المثال،$m=4$ هو التداخل من الدرجة الرابعة.

تشير المعادلات\ ref {eq2} و\ ref {eq3} لتداخل الشق المزدوج إلى تكوين سلسلة من الخطوط الساطعة والمظلمة. بالنسبة للشقوق الرأسية، ينتشر الضوء أفقيًا على جانبي الشعاع الساقط في نمط يسمى هامش التداخل (الشكل$\PageIndex{2}$). كلما كانت الشقوق أقرب، كلما انتشرت الأطراف الساطعة. يمكننا رؤية ذلك من خلال فحص المعادلة\ ref {eq2}. بالنسبة$λ$ للطراز الثابت$m$ والأصغر$d$،$θ$ يجب أن يكون الأكبر، لأنه$\sin \, \theta = m\lambda /d$. وهذا يتفق مع ادعائنا بأن تأثيرات الموجة تكون أكثر وضوحًا عندما يكون الكائن الذي تواجهه الموجة (هنا، يقطع مسافة d) صغيرًا. الصغير$d$ يعطي تأثيرًا كبيرًا$θ$، وبالتالي تأثيرًا كبيرًا.

بالرجوع إلى الشكل$\PageIndex{1a}$، عادةً$θ$ ما يكون صغيرًا بما يكفي

$$\sin \, \theta \approx \tan \, \theta \approx y_m /D \nonumber$$

أين$y_m$ هي المسافة من الحد الأقصى المركزي إلى الحافة الساطعة m و D هي المسافة بين الشق والشاشة. يمكن بعد ذلك كتابة المعادلة\ ref {eq1} كـ

$$d\dfrac{y_m}{D} = m\lambda \nonumber$$

أو

$$y_m = \dfrac{m\lambda D}{d}. \nonumber$$

الشكل$\PageIndex{2}$: نمط التداخل للشق المزدوج له كثافة تتساقط بزاوية. تُظهر الصورة العديد من الخطوط الساطعة والمظلمة، أو الهوامش، التي تتكون من ضوء يمر عبر شق مزدوج.

مثال$\PageIndex{1}$: Finding a Wavelength from an Interference Pattern

لنفترض أنك مررت ضوءًا من ليزر He-Ne عبر فتحتين مفصولتين بمقدار 0.0100 مم ووجدت أن الخط الساطع الثالث على الشاشة يتكون بزاوية 10.95 درجة بالنسبة للشعاع الساقط. ما الطول الموجي للضوء؟

إستراتيجية

الظاهرة هي التداخل ثنائي الشق كما هو موضح في الشكل$\PageIndex{2}$ والخط الساطع الثالث يرجع إلى التداخل البناء من الدرجة الثالثة، مما يعني ذلك$m=3$. نحن معطون$d=0.0100\, mm$ و$θ=10.95^o$. وبالتالي يمكن العثور على الطول الموجي باستخدام المعادلة\ ref {eq2} للتداخل البنائي.

الحل

حل المعادلة\ ref {eq2} لطول الموجة$λ$ يعطي

$$\lambda = \dfrac{d \, \sin \, \theta}{m}. \nonumber$$

استبدال عوائد القيم المعروفة

$$\begin{align*} \lambda &= \dfrac{(0.0100 \, mm)(\sin \, 10.95^o)}{3} \\[4pt] &= 6.33 \times 10^{-4} mm \\[4pt] &= 633 \, nm. \end{align*} \nonumber$$

الدلالة

إلى ثلاثة أرقام، هذا هو الطول الموجي للضوء المنبعث من ليزر He-Ne الشائع. ليس من قبيل المصادفة أن هذا اللون الأحمر يشبه اللون المنبعث من أضواء النيون. لكن الأهم من ذلك هو حقيقة أنه يمكن استخدام أنماط التداخل لقياس الطول الموجي. قام يونغ بذلك من أجل أطوال موجية مرئية. لا تزال هذه التقنية التحليلية مستخدمة على نطاق واسع لقياس الأطياف الكهرومغناطيسية. بالنسبة لترتيب معين، تزداد زاوية التداخل البنائي بمعدل$λ$، بحيث يمكن الحصول على الأطياف (قياسات الكثافة مقابل الطول الموجي).

مثال$\PageIndex{2}$: Calculating the Highest Order Possible

لا تحتوي أنماط التداخل على عدد لا نهائي من الخطوط، نظرًا لوجود حد لمدى ضخامة m. ما هو التداخل البناء الأعلى درجة الممكن مع النظام الموصوف في المثال السابق؟

إستراتيجية

المعادلة\ ref {eq2} تصف التداخل البنائي من فتحتين. بالنسبة للقيم الثابتة لـ$d$ و$λ$، كلما$m$ كان الأكبر$\sin θ$ هو الأكبر. ومع ذلك، فإن القيمة القصوى التي$\sin θ$ يمكن الحصول عليها هي 1، لزاوية 90 درجة. (تشير الزوايا الأكبر إلى أن الضوء يعود للخلف ولا يصل إلى الشاشة على الإطلاق.) دعونا نجد القيمة التي$m$ تتوافق مع زاوية الانحراف القصوى هذه.

الحل

حل المعادلة$d \, \sin \, \theta = m\lambda$ لـ m يعطي

$$m = \dfrac{d \, \sin \, \theta}{\lambda}. \nonumber$$

يعطي أخذ$\sin \, \theta = 1$ قيم d و ya واستبدالها من المثال السابق

$$m = \dfrac{(0.0100 \, mm)(1)}{633 \, nm} \approx 15.8. \nonumber$$

لذلك،$m$ يمكن أن يكون أكبر عدد صحيح هو 15، أو$m=15$.

الدلالة

يعتمد عدد الأطراف على الطول الموجي وفصل الشق. عدد الأطراف كبير جدًا بالنسبة لفواصل الشقوق الكبيرة. ومع ذلك، تذكر (انظر انتشار الضوء) أن تداخل الموجة يكون بارزًا فقط عندما تتفاعل الموجة مع كائنات ليست كبيرة مقارنة بالطول الموجي. لذلك، إذا أصبح فصل الشق وأحجام الشقوق أكبر بكثير من الطول الموجي، فإن نمط شدة الضوء على الشاشة يتغير، لذلك هناك ببساطة خطان ساطعان تصلهما الشقوق، كما هو متوقع، عندما يتصرف الضوء مثل الأشعة. نلاحظ أيضًا أن الأطراف تصبح باهتة بعيدًا عن المركز. وبالتالي، قد لا يمكن ملاحظة جميع الهوامش الخمسة عشر.

التمارين$\PageIndex{1}$

في النظام المُستخدَم في الأمثلة السابقة، ما هي الزوايا التي تكوَّن بها الهدفان الساطعان الأول والثاني؟

إجابة

$3.63^o$$7.27^o$وعلى التوالي