18.16: الأمواج

$تحقق من فهمك

16.1. يعتمد الطول الموجي للموجات على تردد الموجة وسرعتها. تردد الموجة الصوتية يساوي تردد الموجة على السلسلة. لا تتساوى الأطوال الموجية للموجات الصوتية والموجات الموجودة على السلسلة إلا إذا كانت سرعات الموجات هي نفسها، وهذا ليس هو الحال دائمًا. إذا كانت سرعة الموجة الصوتية مختلفة عن سرعة الموجة على السلسلة، فإن الأطوال الموجية مختلفة. ستتم مناقشة سرعة الموجات الصوتية هذه في Sound.

16.2. في الموجة العرضية، قد تتحرك الموجة بسرعة انتشار ثابتة عبر الوسط، لكن الوسط يتذبذب عموديًا على حركة الموجة. إذا تحركت الموجة في الاتجاه السيني الموجب، فإن الوسط يتذبذب لأعلى ولأسفل في الاتجاه y. وبالتالي فإن سرعة الوسط ليست ثابتة، ولكن سرعة الوسيط وتسارعه متشابهان لسرعة الحركة التوافقية البسيطة لكتلة على زنبرك.

16.3. نعم، دالة جيب التمام تساوي دالة جيبية ذات تحول طوري، ويمكن استخدام أي من الدالتين في دالة الموجة. تعتمد الوظيفة الأكثر ملاءمة للاستخدام على الشروط الأولية. في الشكل 16.11، يبلغ الارتفاع الأولي للموجة y (0.00، 0.00) = 0 ثم يزداد ارتفاع الموجة إلى أقصى ارتفاع عند القمة. إذا كان الارتفاع الأولي في الوقت الأولي يساوي سعة الموجة y (0.00، 0.00) = +A، فقد يكون من الأنسب نمذجة الموجة باستخدام دالة جيب التمام.

16.4. هذه الموجة، بسعة A = 0.5 m، الطول الموجي\(\lambda\) = 10.00 m، الفترة T = 0.50 ثانية، هي حل لمعادلة الموجة بسرعة الموجة v = 20.00 m/s.

16.5. نظرًا لأن سرعة الموجة على سلسلة التهكم تتناسب مع الجذر التربيعي للتوتر مقسومًا على الكثافة الخطية، فإن سرعة الموجة ستزداد بمقدار\(\sqrt{2}\).

16.6. للوهلة الأولى، قد تبدو القدرة المتوسطة الزمنية للموجة الجيبية على السلسلة متناسبة مع الكثافة الخطية للخيط لأن P =\(\frac{1}{2} \mu\) A ²\(\omega^{2}\) v؛ ومع ذلك، تعتمد سرعة الموجة على الكثافة الخطية. \(\sqrt{\frac{F_{T}}{\mu}}\)يُظهر استبدال سرعة الموجة بـ أن القوة تتناسب مع الجذر التربيعي للتوتر وتتناسب مع الجذر التربيعي لكثافة الكتلة الخطية:\[P = \frac{1}{2} \mu A^{2} \omega^{2} v = \frac{1}{2} \mu A^{2} \omega^{2} \sqrt{\frac{F_{T}}{\mu}} = \frac{1}{2} A^{2} \omega^{2} \sqrt{\mu F_{T}} \ldotp\]

16.7. نعم، ستعمل المعادلات بشكل جيد بنفس القدر لظروف الحدود المتماثلة لوسط حر في التذبذب على كل طرف حيث يوجد مضاد في كل طرف. يتم عرض الأوضاع العادية للأوضاع الثلاثة الأولى أدناه. يُظهر الخط المنقط موضع توازن الوسيط.

لاحظ أن الوضع الأول هو ربعي الطول الموجي أو نصفه. النمط الثاني هو ربع الطول الموجي، يليه نصف الطول الموجي، يليه ربع الطول الموجي، أو طول موجة كامل. الوضع الثالث هو واحد ونصف الطول الموجي. هذه هي نفس نتيجة السلسلة ذات العقدة في كل طرف. تعمل معادلات شروط الحدود المتماثلة بشكل جيد بنفس القدر لشروط الحدود الثابتة وشروط الحدود الحرة. ستتم إعادة النظر في هذه النتائج في الفصل التالي عند مناقشة الموجة الصوتية في أنبوب مفتوح.

أسئلة مفاهيمية

1. تعتبر الموجة على سلسلة الجيتار مثالاً على الموجة العرضية. يتحرك اضطراب السلسلة عموديًا على انتشار الموجة. الصوت الناتج عن الخيط هو موجة طولية حيث يتحرك اضطراب الهواء بالتوازي مع انتشار الموجة.

3. سرعة الانتشار هي سرعة انتشار الموجة عبر الوسيط. إذا كانت سرعة الموجة ثابتة، يمكن العثور على السرعة بواسطة v =\(\frac{\lambda}{T}\) =\(\lambda\) f، والتردد هو عدد الموجة التي تمر بنقطة لكل وحدة زمنية. يتناسب الطول الموجي بشكل مباشر مع سرعة الموجة ويتناسب عكسياً مع التردد.

5. لا، المسافة التي تحرك فيها يدك لأعلى ولأسفل ستحدد سعة الموجة. يعتمد الطول الموجي على التردد الذي تحرك فيه يدك لأعلى ولأسفل، وسرعة الموجة خلال الربيع.

7. يصل ضوء الشمس والنجوم إلى الأرض عبر مساحة فارغة حيث لا يوجد وسيط.

9. الطول الموجي يساوي سرعة الموجة مضروبًا في التردد ورقم الموجة يساوي k =\(\frac{2 \pi}{\lambda}\)، لذا نعم، سيعتمد رقم الموجة على التردد ويعتمد أيضًا على سرعة انتشار الموجة خلال الزنبرك.

11. يتحرك الوسيط بحركة توافقية بسيطة بينما تنتشر الموجة عبر الوسط، وتتغير السرعة باستمرار، وبالتالي تتسارع. يرجع تسارع الوسيط إلى قوة استعادة الوسيط الذي يعمل في الاتجاه المعاكس للنزوح.

13. تتناسب سرعة الموجة مع الجذر التربيعي للتوتر، وبالتالي تتضاعف السرعة.

15. نظرًا لأن سرعة الموجة على الخيط تتناسب عكسيًا مع الجذر التربيعي لكثافة الكتلة الخطية، فإن السرعة ستكون أعلى في كثافة الكتلة الخطية المنخفضة للخيط.

17. يرجع التوتر في السلك إلى وزن كابل الطاقة الكهربائية.

19. متوسط القدرة الزمنية هو P\(\frac{E_{\lambda}}{T}\) =\(\frac{1}{2} \mu\) A ²\(\omega^{2} \frac{\lambda}{T} = \frac{1}{2} \mu\) A ²\(\omega^{2}\) v. إذا انخفض التردد أو السعة إلى النصف، تنخفض الطاقة بعامل 4.

21. عندما يتحرك جزء من الوتر رأسيًا، فإنه يمارس قوة على الجزء المجاور من الخيط، ويؤدي العمل على الجزء وينقل الطاقة.

23. شدة الموجة الكروية هي I =\(\frac{P}{4 \pi r^{2}}\)، إذا لم تتبدد أي طاقة، ستنخفض الكثافة بعامل تسعة عند ثلاثة أمتار.

25. في الواجهة، ينتج النبض الساقط نبضة منعكسة ونبضة مرسلة. ستكون النبضة المنعكسة خارج الطور فيما يتعلق بالنبض الساقط، وستتحرك بنفس سرعة الانتشار مثل النبض الساقط، ولكنها ستتحرك في الاتجاه المعاكس. ستتحرك النبضة المرسلة في نفس اتجاه النبض الساقط، ولكن بنصف السرعة. ستكون النبضة المرسلة في طور النبض الساقط. سيكون لكل من النبض المنعكس والنبض المرسل سعة أقل من سعة النبض الساقط.

27.

29. قد يكون الأمر سهلاً مثل تغيير الطول و/أو الكثافة بكمية صغيرة بحيث لا يتردد صدى الأجزاء عند تردد المحرك.

31. يتم توفير الطاقة للزجاج من خلال العمل الذي تقوم به قوة إصبعك على الزجاج. عندما يتم توفيرها بالتردد الصحيح، تتشكل الموجات الدائمة. يتردد صدى الزجاج وتنتج الاهتزازات صوتًا.

33. بالنسبة للمعادلة y (x, t) = 4.00 سم خطيئة (3 م ⁻¹ x) cos (4 ثوانٍ ⁻¹ t)، توجد عقدة لأنه عندما x = 0.00 م، الخطيئة (3 م ⁻¹ (0.00 م)) = 0.00 م، لذلك y (0.00 م، t) = 0.00 م لكل الأوقات. بالنسبة للمعادلة y (x, t) = 4.00 سم sin (3 م ⁻¹ x +\(\frac{\pi}{2}\)) cos (4 s ⁻¹ t)، يوجد مضاد لأنه عندما x = 0.00 م، فإن الخطيئة (3 م ⁻¹ (0.00 م) +) = +\(\frac{\pi}{2}\)) = + 1.00، لذلك تتأرجح y (0.00 م، t) بين +A و −A حيث يتذبذب مصطلح جيب التمام بين +1 و -1.

مشاكل

35. 2d =\(\Rightarrow\) فولت د = 11.25 م

37. v = f\(\lambda\)، بحيث f = 0.125 هرتز، بحيث N = 7.50 مرة

39. v = f\(\lambda \Rightarrow \lambda\) = 0.400 م

41. v = f\(\lambda \Rightarrow\) f = 2.50 × 10 ⁹ هرتز

43. أ- تتجاوز الموجات P موجات S بسرعة v = 3.20 كم/ثانية؛ وبالتالي،\(\Delta\) d = 0.320 كم.

(ب) بما أن عدم اليقين في المسافة يقل عن كيلومتر واحد، فإن ردنا على الجزء (أ) لا يبدو أنه يحد من الكشف عن تفجيرات القنابل النووية. ومع ذلك، إذا كانت السرعات غير مؤكدة، فإن عدم اليقين في المسافة سيزداد وقد يجعل من الصعب تحديد مصدر الموجات الزلزالية.

45. v = 1900 متر/ثانية،\(\Delta\) t = 1.05\(\mu\) ثانية

47. ص (س، ر) = −0.037 سم

49. سوف يتحرك النبض\(\Delta\) x = 6.00 م.

51. أ. A = 0.25 م

ب. ك = 0.30 م ⁻¹

ج.\(\omega\) = 0.90 ثانية ⁻¹

d. v = 3.0 م/ث

e.\(\phi\) =\(\frac{\pi}{3}\) اقرأ

f.\(\lambda\) = 20.93 م

غ. تي = 6.98 ثانية

53. A = 0.30 م،\(\lambda\) = 4.50 م، v = 18.00 متر/ثانية، f = 4.00 هرتز، T = 0.25 ثانية

55. y (x، t) = عمق 0.23 م (3.49 م ⁻¹ × − 0.63 ثانية ⁻¹ طن)

57. لديهم نفس التردد الزاوي والتردد والفترة. وهي تسير في اتجاهين متعاكسين وy ₂ (x، t) لها ضعف الطول الموجي _{لـ y 1} (x، t) وتتحرك بنصف سرعة الموجة.

59. يتحرك كل جسيم في الوسط مسافة 4A في كل فترة. يمكن العثور على الفترة بقسمة السرعة على الطول الموجي: t = 10.42 ثانية

61. أ.\(\mu\) = 0.040 كجم/م

ب. فولت = 15.75 متر/ثانية

63. v = 180 متر/ثانية

65 فولت = 547.723 م/ث،\(\Delta\) t = 5.48 مللي ثانية

67. فولت _ثانية = 347.56 م/ث

69. v ₁ t+ v ₂ t = 2.00 م، t = 1.69 مللي ثانية

71. v = 288.68 متر/ثانية،\(\lambda\) = 0.73 م

73. أ. A = 0.0125 سم

ب. F _T = 0.96 نيوتن

75. v = 74.54 متر/ثانية،\(P_{\lambda}\) = 91.85 واط

77. I = 20.0 واط/م ²

ب. I =\(\frac{P}{A}\)، A = 10.0 متر مربع A = 4\(\pi\) ص ²، r = 0.892 م

79. I = 650 واط/م ²

81. \[P \propto E \propto I \propto X^{2} \Rightarrow \frac{P_{2}}{P_{1}} = \left(\dfrac{X_{2}}{X_{1}}\right)^{2}\]

P ₂ = 2.50 كيلوواط

83. \[I \propto X^{2} \Rightarrow \frac{I_{1}}{I_{2}} = \left(\dfrac{X_{1}}{X_{2}}\right)^{2}\]

I ₂ = 3.38 × 10 ⁻⁵ واط/م ²

85. f = 100.00 هرتز، A = 1.10 سم

87. أ. أنا ₂ = 0.063I ₁

_{ب. I 1 4\(\pi\) أو 1 ² = I 2 4\(\pi\) أو ² 2 = 3.16 م}

89. 2\(\pi\) أو ₁ أ ₁ ² = 2\(\pi\) ص ₂ أ ^₂، أ ₁ =\(\left(\dfrac{r_{2}}{r_{1}}\right)^{1/2}\)، أ ₁ = 0.17 م

91. ص (س، ر) = 0.76 م

93. A _R = 2A تكلفة\(\left(\dfrac{\phi}{2}\right)\)،\(\phi\) = 1.17 راد

95. y _R = 1.90 سم

97. \(\omega\)= 6.28 ثانية ⁻¹، ك = 3.00 م ⁻¹،\(\phi\) =\(\frac{\pi}{8}\) راد، A _R = 2A cos\(\left(\dfrac{\phi}{2}\right)\)، A = 0.37 م

99. أ.

ب.\(\lambda\) = 2.0 م، أ = 4 م

ج.\(\lambda_{R}\) = 2.0 م، A _R = 6.93 م

101. y _R (x، t) = 2A\(\left(\dfrac{\phi}{2}\right)\) cos cos\(\left(kx − \omega t + \dfrac{\phi}{2}\right)\)؛ النتيجة ليست مفاجئة لأن cos (\(\theta\)) = sin (\(\theta + \frac{\pi}{2}\)).

103. \[\begin{split} \lambda_{n} & = \frac{2.00}{n} L, \quad f_{n} = \frac{v}{\lambda_{n}} \\ \lambda_{1} & = 4.00\; m, \quad f_{1} = 12.5\; Hz \\ \lambda_{2} & = 2.00\; m, \quad f_{2} = 25.00\; Hz \\ \lambda_{3} & = 1.33\; m, \quad f_{3} = 37.59\; Hz \end{split}\]

105. v = 158.11 متر/ثانية،\(\lambda\) = 4.44 م، f = 35.61 هرتز،\(\lambda_{s}\) = 9.63 م

107. y (x، t) = [0.60 سم، بوصة (3 م ^{- 1} ×)] التكلفة (4 ثوانٍ ⁻¹ طن)

109. \[\begin{split} \lambda_{100} & = 0.06\; m \\ v & = 56.8\; m/s, \quad f_{n} = n f_{1}, \quad n = 1, 2, 3, 4, 5 \ldots \\ f_{100} & = 947\; Hz \end{split}\]

111. T = 2\(\Delta\) طن، v =\(\frac{\lambda}{T}\)،\(\lambda\) = 2.12 م

113. \(\lambda_{1}\)= 6.00 م،\(\lambda_{2}\) = 3.00 م،\(\lambda_{3}\) = 2.00 م،\(\lambda_{4}\) = 1.50 م؛ v = 258.20 متر/ثانية =\(\lambda\) f؛ f ₌ 43.03 هرتز، f ₂ = 86.07 هرتز، f ₃ = 129.10 هرتز، f ₄ = 172.13 هرتز

115. v = 134.16 مللي ثانية،\(\lambda\) = 1.4 متر، f = 95.83 هرتز، T = 0.0104 ثانية

مشاكل إضافية

117. \(\lambda\)= 0.10 م

119. a. f = 4.74 × 10 ¹⁴ هرتز

ب.\(\lambda\) = 422 نانومتر

121. \(\lambda\)= 16.00 م، f = 0.10 هرتز، T = 10.00 ثانية، v = 1.6 م/ث

123. \(\lambda\)= (v _b + v) t _b، v = 3.75 م/ث،\(\lambda\) = 3.00 م

125. \[\begin{split} \frac{\partial^{2} (y_{1} + y_{2})}{\partial t^{2}} & = -A \omega^{2} \sin (kx - \omega t) - A \omega^{2} \sin (kx - \omega t + \phi) \\ \frac{\partial^{2} (y_{1} + y_{2})}{\partial x^{2}} & = -Ak^{2} \sin (kx - \omega t) - Ak^{2} \sin (kx - \omega t + \phi) \\ \frac{\partial^{2} y(x,t)}{\partial x^{2}} & = \frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} y(x,t)}{\partial t^{2}} \\ -A \omega^{2} \sin (kx - \omega t) - A \omega^{2} \sin (kx - \omega t + \phi) & = \left(\dfrac{1}{v^{2}}\right) (-Ak^{2} \sin (kx - \omega t) - Ak^{2} \sin (kx - \omega t + \phi)) \\ v & = \frac{\omega}{k} \end{split}\]

127. y (x، t) = 0.40 م في الدقيقة (0.015 م ⁻¹ × + 1.5 ثانية ⁻¹ طن)

129. v = 223.61 متر/ثانية، ك = 1.57 م ⁻¹،\(\omega\) = 142.43 ثانية ⁻¹

131. P =\(\frac{1}{2}\) A ² (2\(\pi\) f) ²\(\sqrt{\mu F_{T}}\)،\(\mu\) = 2.00 × 10 ⁻⁴ كجم/م

133. P =\(\frac{1}{2} \mu\) A ²\(\omega^{2} \frac{\lambda}{T}\)،\(\mu\) = 0.0018 كجم/م

135. أ. A _R = 2A cos\(\left(\dfrac{\phi}{2}\right)\)، cos\(\left(\dfrac{\phi}{2}\right)\) = 1،\(\phi\) = 0، 2\(\pi\)، 4\(\pi\)،...

ب. A _R = 2A كوس\(\left(\dfrac{\phi}{2}\right)\)، التكلفة\(\left(\dfrac{\phi}{2}\right)\) = 0،\(\phi\) = 0،\(\pi\)، 3\(\pi\)، 5\ (\ pi)،...

137. y _R (x، t) = 0.6 م في الدقيقة (4 م ⁻¹) التكلفة (3 ثوانٍ ⁻¹ طن)

139. أ.\[\begin{split} &F_{T} - 20.00\; kg(9.80\; m/s^{2}) \cos 45^{o} & = 0 \\ &m(9.80\; m/s^{2}) - F_{T} = 0 \\ &m = 14.14\; kg \end{split}\]

ب. F _T = 138.57 نيوتن، فولت = 74.45 متر/ثانية

141. F _T = 2 نيوتن، v = 6.73 متر/ثانية

143. a. f _n =\(\frac{nv}{2L}\)، v =\(\frac{2L f_{n + 1}}{n + 1}\)\(\frac{n + 1}{n} = \frac{2L f_{n + 1}}{2L f_{n}}\)،، 1 +\(\frac{1}{n}\) = 1.2، n = 5؛\(\lambda_{n}\) =\(\frac{2}{n}\) L،\(\lambda_{5}\) = 1.6 م،\(\lambda_{6}\) = 1.33 م

ب. F _T = 245.76 نيوتن

مشاكل التحدي

145. أ. يتحرك في اتجاه x السالب بسرعة انتشار v = 2.00 m/s.

ب.\(\Delta\) س = −6.00 م

ج.

147. \[\begin{split} \sin(kx - \omega t) & = \sin \left(kx + \dfrac{\phi}{2}\right) \cos \left(\omega t + \dfrac{\phi}{2}\right) - \cos \left(kx + \dfrac{\phi}{2}\right) \sin \left(\omega t + \dfrac{\phi}{2}\right) \\ \sin(kx - \omega t + \phi) & = \sin \left(kx + \dfrac{\phi}{2}\right) \cos \left(\omega t + \dfrac{\phi}{2}\right) + \cos \left(kx + \dfrac{\phi}{2}\right) \sin \left(\omega t + \dfrac{\phi}{2}\right) \\ \sin(kx - \omega t) + \sin(kx - \omega t + \phi) & = 2 \sin \left(kx + \dfrac{\phi}{2}\right) \cos \left(\omega t + \frac{\phi}{2}\right) \\ y_{R} & = 2A \sin \left(kx + \frac{\phi}{2}\right) \cos \left(\omega t + \dfrac{\phi}{2}\right) \end{split}\]

149. الخطيئة\(\left(kx + \dfrac{\phi}{2}\right)\) = 0، kx +\(\frac{\phi}{2}\) = 0،\(\pi\)، 2\(\pi\)، 1.26 م ⁻¹ × +\(\frac{\pi}{20}\) =\(\pi\)، 2\(\pi\)، 3\(\pi\)؛ x = 2.37 م، 4.86 م، 7.35 م

المساهمون والصفات

Template:ContribOpenStaxUni