18.4: الحركة في بعدين وثلاثة أبعاد

Last updated
Save as PDF

Page ID: 199926

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

تحقق من فهمك

4.1. (أ) بأخذ المشتق فيما يتعلق بوقت دالة الموضع، لدينا$\vec{v}$ (t) = 9.0t ²$\hat{i}$ و$\vec{v}$ (3.0s) = 81.0$\hat{i}$ m/s. (ب) نظرًا لأن دالة السرعة غير خطية، فإننا نشك في أن متوسط السرعة لا يساوي السرعة اللحظية. نتحقق من ذلك ونجد $$\ vec {v} _ {avg} =\ frac {\ vec {r} (t_ {2}) -\ vec {r} (t_ {1})} {t_ {2} - t_ {1}} =\ frac {\ vec {r} (4.0\؛ s) -\ vec {r} (4.0\ r}) -\ vec {r} (4.0\ r}) -\ vec {r} (4.0\ r}) - (2.0\ s)} {- 2.0\; s} =\ frac {(188.0\;\ hat {i} - 20.0\;\ hat {i})\; m} {2.0\; s} = 84.0\;\ قبعة {i}\; م/ث, $$ والذي يختلف عن$\vec{v}$ (3.0 ثانية) = 81.0$\hat{i}$ متر/ثانية.

4.2. متجه التسارع ثابت ولا يتغير بمرور الوقت. إذا لم تكن a و b و c صفرًا، فيجب أن تكون دالة السرعة خطية في الوقت المناسب. لدينا$\vec{v}$ (t) =$\int \vec{a}$ dt =$\int$ (a$\hat{i}$ + b$\hat{j}$ + c$\hat{k}$) dt = (a$\hat{i}$ + b$\hat{j}$ + c$\hat{k}$) t m/s، لأن أخذ مشتق دالة السرعة ينتج$\vec{a}$ (t). إذا كان أي من مكونات التسارع صفرًا، فسيكون مكون السرعة هذا ثابتًا.

4.3. (أ) اختر قمة الجرف حيث يتم إلقاء الصخرة من أصل نظام الإحداثيات. على الرغم من أنه تعسفي، إلا أننا نختار عادةً time t = 0 ليتوافق مع الأصل. (ب) المعادلة التي تصف الحركة الأفقية هي x = x ₀ + v _x t. مع x _{0 = 0}، تصبح هذه المعادلة x = v _x t. (ج) تصف المعادلة 4.27 من خلال المعادلة 4.29 والمعادلة 4.46 الحركة الرأسية، ولكن بما أن y ₀ = 0 و v _0y = 0، تبسط هذه المعادلات إلى حد كبير لتصبح y =$\frac{1}{2}$ (v _0y + v _y) t =$\frac{1}{2}$ v _y t، v _y = −gt، y = −$\frac{1}{2}$ gt ²، v _y ² = −2gy. (د) نستخدم المعادلات الحركية لإيجاد مكوني x و y للسرعة عند نقطة الارتطام. باستخدام v _y ² = −2gy وملاحظة أن نقطة التأثير هي −100.0 m، نجد أن المكون y للسرعة عند الارتطام هو v _y = 44.3 m/s. يُعطى المكون x، v _x = 15.0 m/s، بحيث يمكننا حساب السرعة الكلية عند الارتطام: v = 46.8 m/s و$\theta$ = 71.3 درجة تحت المستوى الأفقي.

4.4. لقطة الجولف عند 30 درجة.

4.5. 134.0 سم/ثانية

4.6. عند وضع العلامات الفرعية لمعادلة المتجهات، لدينا B = القارب، R = النهر، و E = الأرض. تصبح معادلة المتجهات$\vec{v}_{BE}$ =$\vec{v}_{BR}$ +$\vec{v}_{RE}$. لدينا هندسة المثلث الأيمن الموضحة في الشكل أدناه. حل لـ$\vec{v}_{BE}$، لدينا $v_ {BE} =\ sqrt {v_ {BR} ^ {2} + v_ {RE} ^ {2}} =\ SQRT {4.5^ {2} {2}} $$$v_ {BE} = 5.4\؛ م/ث،\ رباعية\ ثيتا =\ تان ^ {-1}\ يسار (\ dfrac {3.0} {4.5}\ يمين) = 3.7^ {o}\ ldotp\]

تشكل المتجهات V الفرعية B W و V الفرعية W E و V الفرعية B E مثلثًا قائمًا. يظهر قارب في قمة الرأس حيث تلتقي ذيول V sub B W و V sub B E. يشير المتجه V الفرعي B W إلى الأعلى. يشير V sub W E إلى اليمين. يشير V sub B E إلى الأعلى وإلى اليمين، بزاوية إلى الوضع الرأسي. V sub B E هو مجموع المتجهات لـ v sub B W و V sub W E.

أسئلة مفاهيمية

1. خط مستقيم

3. يجب أن يكون المنحدر صفرًا لأن متجه السرعة يماس الرسم البياني لدالة الموضع.

5. لا، الحركات في الاتجاهات العمودية مستقلة.

7. (أ) لا؛ (ب) الحد الأدنى عند قمة المسار والحد الأقصى عند الإطلاق والارتطام؛ (ج) لا، السرعة متجه؛ د. نعم، المكان الذي تهبط فيه

9. كلاهما ارتطم بالأرض في نفس الوقت.

11. نعم

13. إذا كان سيمرر الكرة إلى لاعب آخر، فإنه يحتاج إلى إبقاء عينيه على الإطار المرجعي الذي يوجد فيه اللاعبون الآخرون في الفريق.

15.

الشكل أ: مسار القبعة مستقيم لأسفل. الشكل (ب): مسار القبعة مكافئ، وينحني لأسفل وإلى اليسار.

مشاكل

17. $\vec{r}$= 1.0$\hat{i}$ - 4.0$\hat{j}$ + 6.0$\hat{k}$

19. $\Delta \vec{r}_{Total}$= 472.0$\hat{i}$ متر+80.3 متر$\hat{j}$

21. مجموع عمليات النزوح = −6.4 كم$\hat{i}$ + 9.4 كم$\hat{j}$

23. أ.$\vec{v}$ (ر) = 8.0t$\hat{i}$ + 6.0t ²$\hat{k}$،$\vec{v}$ (0) = 0،$\vec{v}$ (1.0) = 8.0$\hat{i}$ + 6.0$\hat{k}$ م/ث

ب.$\vec{v}_{avg}$ = 4.0$\hat{i}$ + 2.0$\hat{k}$ م/ث

25. $\Delta \vec{r}_{1}$= 20.00 م$\hat{j}$،$\Delta \vec{r}_{2}$ = (2.000 × 10 ⁴ م) (التكلفة 30$\hat{i}$ درجة+المسافة 30 درجة$\hat{j}$)،$\Delta \vec{r}$ = 1.700 × 10 ⁴ م$\hat{i}$ + 1.002 × 10 ⁴ م$\hat{j}$

27. أ.$\vec{v}$ (t) = (4.0t$\hat{i}$ + 3.0t$\hat{j}$) م/ث،$\vec{r}$ (t) = (2.0t ^{$\hat{i}$2+}$\frac{3}{2}$ إلى ²$\hat{j}$) م

ب. x (t) = 2.0 طن 2 متر، y (t) =$\frac{3}{2}$ t ² م، t ² =$\frac{x}{2} \Rightarrow$ y =$\frac{3}{4}$ x

الرسم البياني للدالة الخطية y يساوي 3 أرباع x. الرسم البياني عبارة عن خط منحدر مستقيم موجب يمر بنقطة الأصل.

29. أ.$\vec{v}$ (t) = (6.0t$\hat{i}$ − 21.0t ^{$\hat{j}$2+} 10.0t ⁻³$\hat{k}$) م/ث

ب.$\vec{a}$ (t) = (6.0$\hat{i}$ - 42.0t$\hat{j}$ − 30t ⁻⁴$\hat{k}$) م/ث ²

ج.$\vec{v}$ (2.0 ثانية) = (12.0$\hat{i}$ − 84.0$\hat{j}$ + 1.25$\hat{k}$) م/ث

d.$\vec{v}$ (1.0 ثانية) = (6.0$\hat{i}$ − 21.0$\hat{j}$ + 10.0$\hat{k}$) م/ث، |$\vec{v}$ (1.0 ثانية) | = 24.0 م/ث؛$\vec{v}$ (3.0 ثانية) = (18.0$\hat{i}$ − 189.0$\hat{j}$ + 0.37$\hat{k}$) م/ث، |$\vec{v}$ (3.0 ثانية) | = 190.0 م/ث

e.$\vec{r}$ (t) = (3.0t ²$\hat{i}$ − 7.0t ³$\hat{j}$ − 5.0t ⁻²$\hat{k}$) سم،$\vec{v}_{avg}$ = (9.0$\hat{i}$ − 49.0$\hat{j}$ - 6.3$\hat{k}$) م/ث

31. أ.$\vec{v}$ (ر) = −sin (1.0 طن)$\hat{i}$ + التكلفة (1.0 طن)$\hat{j}$ +$\hat{k}$

ب.$\vec{a}$ (ر) = −كوس (1.0 طن)$\hat{i}$ - الخطيئة (1.0 طن)$\hat{j}$

33. أ. تي = 0.55 ثانية

ب. س = 110 م

35. أ. تي = 0.24 ثانية، د = 0.28 م

ب. تهدف إلى تحقيق أهداف عالية.

رسم توضيحي لشخص يرمي سهمًا. يتم تحرير السهام أفقيًا على مسافة 2.4 متر من لوحة السهام، بمستوى عين الثور على لوحة السهام، بسرعة 10 أمتار في الثانية.

37. أ. t = 12.8 ثانية، x = 5619 م

ب. v _y = 125.0 م/ث، v _x = 439.0 م/ث، |$\vec{v}$ | = 456.0 م/ث

39. a. v _y = v _0y − gt، t = 10s، v _y = 0، v _0y = 98.0 م/ث، v ₀ = 196.0 م/ث

ب. ح = 490.0 م

ج. فولت _0x = 169.7 متر/ثانية، x = 3394.0 م

د. س = 2545.5 م، ص = 367.5 م،$\vec{s}$ = 2545.5 م$\hat{i}$ + 367.5 م$\hat{j}$

41. −100 م = (−2.0 م/ث) t - (4.9 م/ث ²) t ²، t = 4.3 ثانية، x = 86.0 م

43. آر _مون = 48 متر

45. a. v _0y = 24 م/ث، v _y ² = v _0y ² − 2gy$\Rightarrow$ h = 23.4 م

ب. t = 3 ثوان، v _0x = 18 م/ث، x = 54 م

ج. y = −100 م، y ₀ = 0، y - y - y ₀ = v _0Y،$\frac{1}{2}$ t - gt ² − 100 = 24t - 4.9t ²$\Rightarrow$ t = 7.58 ثانية

د. س = 136.44 م

على سبيل المثال $$\ ابدأ {تقسيم} t & = 2.0\; s, y = 28.4\; م, x = 36\; م\\ t & = 4.0\; s, y = 17.6\; م, x = 22.4\; م\ t & = 6.0\ s, y = −32.4\; م, x = 108\; م\ نهاية الانقسام {}\]

47. v _0y = 12.9 م/ث، y − y ₀ = v _0y t -$\frac{1}{2}$ gt ² − 20.0 = 12.9t - 4.9t ²

t = 3.7 ثانية، v _0x = 15.3 م/ث$\Rightarrow$ x = 56.7 م

لذا تهبط لقطة لاعب الجولف على بعد 13.3 مترًا من المنطقة الخضراء.

49. أ. R = 60.8 م

ب. R = 137.8 م

51. a. v _y ² = v _0y ² − 2gy$\Rightarrow$ y = 2.9 م/ث

y = 3.3 م/ث

y =$\frac{v_{0y}^{2}}{2g}$ =$\frac{(v_{0} \sin \theta)^{2}}{2g} \Rightarrow \sin \theta$ = 0.91$\Rightarrow$$\theta$ = 65.5 درجة

53. R = 18.5 م

55. y = (تان$\theta_{0}$) x −$\Big[ \frac{g}{2(v_{0} \cos \theta_{0})^{2}} \Big]$ x ²$\Rightarrow$ فولت ₀ = 16.4 م/ث

57. R =$\frac{v_{0}^{2} \sin 2 \theta_{0}}{g} \Rightarrow \theta_{0}$ = 15.0 درجة

59. يستغرق جهاز الاستقبال العريض 1.1 ثانية لتغطية آخر 10 أمتار من مساره.

T _TOF$\frac{2(v_{0} \sin \theta)}{g} \Rightarrow \sin \theta$ = = 0.27$\Rightarrow \theta$ = 15.6 درجة

61. أ _C = 40 م/ث ²

63. أ _C =$\frac{v^{2}}{r} \Rightarrow$ v ² = r، a _C = 78.4، v = 8.85 م/ث

T = 5.68 ثانية، وهو 0.176 لفة/ثانية = 10.6 لفة/دقيقة

65. تقع الزهرة على بعد 108.2 مليون كم من الشمس ولها فترة مدارية تبلغ 0.6152 سنة.

r = 1.082 × 10 ¹¹ م، T = 1.94 × 10 ⁷ ثانية

v = 3.5 × 10 ⁴ م/ث، A _C = 1.135 × 10 ⁻² م/ث ²

67. 360 لفة/دقيقة = 6 لفة/ثانية

v = 3.8 م/ث، A _C = 14.4 م/ث ²

69. أ. O′ (t) = (4.0$\hat{i}$ + 3.0$\hat{j}$ + 5.0$\hat{k}$) إلى م

ب.$\vec{r}_{PS}$ =$\vec{r}_{PS'}$ +$\vec{r}_{S'S}$،$\vec{r}$ (ر) =$\vec{r′}$ (ر) + (4.0$\hat{i}$ + 3.0$\hat{j}$ + 5.0$\hat{k}$) تي م

ج.$\vec{v}$ (t) =$\vec{v′}$ (t) + (4.0$\hat{i}$ + 3.0$\hat{j}$ + 5.0$\hat{k}$) م/ث

د. التسارعات هي نفسها.

71. $\vec{v}_{PC}$= (2.0$\hat{i}$ + 5.0$\hat{j}$ + 4.0$\hat{k}$) م/ث

73. أ. A = الهواء، S = طيور النورس، G = الأرض

$\vec{v}_{SA}$= 9.0 م/ث، سرعة النورس بالنسبة للهواء الساكن

$\vec{v}_{AG}$=؟ ،$\vec{v}_{SG}$ = 5 متر/ثانية،$\vec{v}_{SG} = \vec{v}_{SA} + \vec{v}_{AG} \Rightarrow \vec{v}_{AG} = \vec{v}_{SG} − \vec{v}_{SA}$

$\vec{v}_{AG}$= −4.0 متر/ثانية

ب.$\vec{v}_{SG} = \vec{v}_{SA} + \vec{v}_{AG} \Rightarrow \vec{v}_{SG}$ = −13.0 متر/ثانية

$\frac{−6000\; m}{−13.0\; m/s}$= 7 دقيقة 42 ثانية

75. خذ الاتجاه الإيجابي ليكون في نفس الاتجاه الذي يتدفق فيه النهر، وهو الشرق. S = الشاطئ/الأرض، W = الماء، B = القارب.

أ.$\vec{v}_{BS}$ = 11 كم/ساعة، t = 8.2 دقيقة

b.$\vec{v}_{BS}$ = −5 كم/ساعة، t = 18 دقيقة

c.$\vec{v}_{BS} = \vec{v}_{BW} + \vec{v}_{WS}, \theta$ = 22 درجة غرب الشمال

تشكل المتجهات V الفرعية B W و V الفرعية W S و V الفرعية B S مثلثًا قائمًا، ويكون V الفرعي B W هو الوتر. يشير V sub B S إلى الأعلى. يشير V sub W S إلى اليمين. يشير V sub B W إلى الأعلى واليسار، بزاوية ثيتا إلى الرأسي. V sub B S هو مجموع المتجهات لـ v sub B W و V sub W S.

d. |$\vec{v}_{BS}$ | = 7.4 كم/ساعة، t = 6.5 دقيقة

e.$\vec{v}_{BS}$ = 8.54 كم/ساعة، ولكن يتم استخدام مكون السرعة مباشرة عبر النهر فقط للحصول على الوقت

تشكل المتجهات V الفرعية B W و V الفرعية W S و V الفرعية B S مثلثًا قائمًا، ويكون V الفرعي B S هو الوتر. يشير V sub B W إلى الأعلى. يشير V sub W S إلى اليمين. يشير V sub B S لأعلى ولليمين، بزاوية ثيتا إلى الرأسي. V sub B S هو مجموع المتجهات لـ v sub B W و V sub W S.

تي = 6.0 دقيقة

المصب = 0.3 كم

77. $\vec{v}_{AG} = \vec{v}_{AC} + \vec{v}_{CG}$

|$\vec{v}_{AC}$ | = 25 كم/ساعة، |$\vec{v}_{CG}$ | = 15 كم/ساعة، |$\vec{v}_{AG}$ | = 29.15 كم/ساعة،$\vec{v}_{AG} = \vec{v}_{AC} + \vec{v}_{CG}$

الزاوية بين$\vec{v}_{AC}$ و$\vec{v}_{AG}$ 31 درجة، وبالتالي فإن اتجاه الرياح هو 14 درجة شمال الشرق.

تشكل المتجهات V الفرعية A و C و V الفرعية C و C و G و V الفرعية A G مثلثًا. V sub A C و V subc C G في زوايا قائمة. V sub A G هو مجموع المتجهات لـ v sub A C و V sub C G.

مشاكل إضافية

79. أ _C = 39.6 م/ث ²

81. 90.0 كم/ساعة = 25.0 م/ث، 9.0 كم/ساعة = 2.5 م/ث، 60.0 كم/ساعة = 16.7 م/ث

أ _T = −2.5 م/ث ²، A _C = 1.86 م/ث ²، a = 3.1 م/ث ²

83. نصف قطر دائرة الثورة عند خط العرض$\lambda$ هو R _E cos$\lambda$. سرعة الجسم هي$\frac{2 \pi r}{T}$. a _C =$\frac{4 \pi^{2} R_{E} \cos \lambda}{T^{2}}$ لـ$\lambda$ = 40°، a _C = 0.26% g

85. a _T = 3.00 م/ث ²

v (5 ثوانٍ) = 15.00 م/ث، A _C = 150.00 م/ث ²،$\theta$ = 88.8 درجة فيما يتعلق بظل دائرة الثورة الموجهة إلى الداخل.

|$\vec{a}$ | = 150.03 م/ث ²

87. $\vec{a}$(t) = −A$\omega^{2}$ التكلفة$\omega$ t$\hat{i}$ - A$\omega^{2}$ sin$\omega$ t$\hat{j}$

أ _C = 5.0 م$\omega^{2}$،$\omega$ = 0.89 راد/ثانية

$\vec{v}$(t) = −2.24 م/ث$\hat{i}$ - 3.87 م/ث$\hat{j}$

89. $\vec{r}_{1}$= 1.5$\hat{j}$ + 4.0$\hat{k}$،$\vec{r}_{2} = \Delta \vec{r} + \vec{r}_{1}$ = 2.5$\hat{i}$ + 4.7$\hat{j}$ + 2.8$\hat{k}$

91. v _x (t) = 265.0 م/ث، v _y (t) = 20.0 م/ث،$\vec{v}$ (5.0 ثانية) = (265.0$\hat{i}$ + 20.0$\hat{j}$) م/ث

93. R = 1.07 متر

95. v ₀ = 20.1 م/ث

97. v = 3072.5 متر/ثانية، درجة _مئوية = 0.223 متر/ثانية ²

مشاكل التحدي

99. أ. −400.0 م = v _0y t - 4.9t ²، 359.0 م = v _0x t، t =$\frac{359.0}{v_{0x}}$ − 400.0 = 359.0$\frac{v_{0y}}{v_{0x}}$ - 4.9$\left(\dfrac{359.0}{v_{0x}}\right)^{2}$

−400.0 = 359.0 تان 40 -$\frac{631,516.9}{v_{0x}^{2}} \Rightarrow$ فولت _0x ² = 900.6، V _0x = 30.0 متر/ثانية، v 0 _ص = 0 _x تان 40 = 25.2 م/ث، v = 39.2 م/ث

ب. تي = 12.0 ثانية

101. أ.$\vec{r}_{TC}$ = (−32 + 80 طن)$\hat{i}$ + 50 طن$\hat{j}$، |$\vec{r}_{TC}$ | ² = (−32 + 80 طن) ²⁺ (50 طن) ²

2r$\frac{dr}{dt}$ = 2 (−32 + 80 طن) + 100 طن،$\frac{dr}{dt} = \frac{2(−32 + 80t) + 100t}{2r}$ = 0

260 طن = 64$\Rightarrow$ طن = 15 دقيقة

ب. |$\vec{r}_{TC}$ | = 17 كم