18.3: الحركة على طول خط مستقيم

تحقق من فهمك

3.1. (أ) إزاحة الراكب هي\(\Delta\) x = x _f − x ₀ = −1 كم. (النزوح سلبي لأننا نأخذ الشرق ليكون إيجابيًا والغرب سلبيًا). (ب) المسافة المقطوعة هي 3 كم + 2 كم = 5 كم. (ج) حجم النزوح هو كيلومتر واحد.

3.2. (أ) أخذ مشتق x (t) يعطي v (t) = −6t m/s. (ب) لا، لأن الوقت لا يمكن أن يكون سالبًا أبدًا. (ج) السرعة هي v (1.0 ثانية) = −6 م/ث والسرعة هي |v (1.0 ثانية) | = 6 م/ث.

3.3. لدينا إدخال الأشياء المعروفة\(\bar{a} = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{2.0 \times 10^{7}\; m/s − 0}{10^{−4}\; s − 0} = 2.0 \times 10^{11}\; m/s^{2}\).

3.4. إذا أخذنا شرقًا لنكون إيجابيين، فسيكون تسارع الطائرة سلبيًا لأنها تتسارع باتجاه الغرب. كما أنها تتباطأ؛ وتسارعها عكس اتجاه سرعتها.

3.5. للإجابة على ذلك، اختر معادلة تسمح لنا بحل الوقت t، مع إعطاء فقط a و v ₀ و v$v = v_ {0} + عند\ ldotp$$ إعادة الترتيب لحل المشكلة لـ t: $$t =\ frac {v − v_ {0}} {a} =\ frac {400\؛ م/ث − 0\؛ م/ثانية} {20\؛ م/ثانية} = 20\ ldotp\]

3.6. أ =\(\frac{2}{3}\) م/ث ².

3.7. يستغرق الوصول إلى الماء 2.47 ثانية. تزداد مسافة الكمية المقطوعة بشكل أسرع.

3.8. أ- دالة السرعة هي جزء لا يتجزأ من دالة التسارع بالإضافة إلى ثابت التكامل. بواسطة المعادلة 3.91، $v (t) =\ int a (t) dt+ C_ {1} =\ int (5 − 10t) dt+ C_ {1} = 5t − 5t^ {2} + C_ {1}\ ldotp$$ منذ v (0) = 0، لدينا C ₁ = 0؛ لذلك، $v (t) = 5t − 5t ^ {2}\ ldotp$$ ب. بواسطة المعادلة 3.93، $x (t) =\ int v (t) dt+ C_ {2} =\ int (5t − 5t^ {2}) dt+ C_ {2} =\ frac {5} {2} t^ {2} −\ frac {5} {3} + C_ {2}\ ldotp$$ بما أن x (0) = 0، لدينا C ₂ = 0، و$$x (t) =\ frac {5} {2} −\ frac {5} {3} t^ {3}\ ldotp$$ c. يمكن كتابة السرعة كـ v (t) = 5t (1 - t)، وهو ما يساوي صفرًا عند t = 0، و t 1 = ثانية.

أسئلة مفاهيمية

1. تقود سيارتك إلى المدينة وتعود للقيادة عبر منزلك إلى منزل أحد الأصدقاء.

3. إذا كانت البكتيريا تتحرك ذهابًا وإيابًا، فإن عمليات النزوح تلغي بعضها البعض وتكون الإزاحة النهائية صغيرة.

5. المسافة المقطوعة

7. متوسط السرعة هو إجمالي المسافة المقطوعة مقسومًا على الوقت المنقضي. إذا ذهبت في نزهة على الأقدام وغادرت منزلك وعدت إليه، فإن متوسط سرعتك هو رقم موجب. نظرًا لأن متوسط السرعة = الإزاحة/الوقت المنقضي، فإن متوسط السرعة لديك هو صفر.

9. متوسط السرعة. إنها نفسها إذا لم تقم السيارة بعكس الاتجاه.

11. لا، في بُعد واحد، لا تتطلب السرعة الثابتة أي تسارع.

13. تُلقى كرة في الهواء وتكون سرعتها صفرًا عند قمة الرمي، لكن التسارع ليس صفرًا.

15. زائد، ناقص

17. إذا كانت التسارع والوقت والإزاحة معروفة، والسرعات الأولية والنهائية هي المجهولة، فيجب حل معادلتين حركيتين في وقت واحد. أيضًا إذا كانت السرعة النهائية والوقت والإزاحة معروفة، فيجب حل معادلتين حركيتين للسرعة الأولية والتسارع.

19. أ. في الجزء العلوي من مسارها؛ ب. نعم، في الجزء العلوي من مسارها؛ ج. نعم

21. الأرض $$V = v_ {0} − gt = −gt; $$ القمر $$V′ =\ frac {g} {6} t$$$$$$v = v′ −\ frac {g} {6} t′$$$$t′ = 6t; $$الأرض $$Y = −\ frac {1} {2} $$القمر $Y= −\ frac {1} {2} $$القمر $$Y= −\ frac {1} {2} $$القمر $$Y= c {1} {2}\ frac {g} {6} (6t) ^ {2} = −\ فراك {1} {2} g6t^ {2} = −6\ يسار (\ dfrac {1} {2} gt^ {2}\ يمين) = −6y\]

مشاكل

25. أ.\(\vec{x}_{1}\) = (−2.0 م)\(\hat{i}\)،\(\vec{x}_{2}\) = (5.0 م)\(\hat{i}\)

ب. 7.0 متر على الأقل

27. أ. تي = 2.0 ثانية

ب. x (6.0) - x (3.0) = −8.0 - (−2.0) = −6.0 م

29. أ. 150.0 ثانية،\(\vec{v}\) = 156.7 متر/ثانية

ب. 45.7% سرعة الصوت عند مستوى سطح البحر

31.

33.

35. a. v (t) = (10 − 4t) م/ث؛ v (2 ثانية) = 2 م/ث، v (3 ثوان) = −2 م/ث

ب. |v (2 ثانية) | = 2 م/ث، |v (3 ثوان) | = 2 م/ث

ج.\(\bar{v}\) = 0 م/ث

37. أ = 4.29 م/ث ²

39.

41. أ = 11.1 جرام

43. 150 مترًا مربعًا

45. مساحة 525 م

ب. v = 180 م/ث

47. أ.

ب- تكون للعجلة أكبر قيمة موجبة عند t _a c. ويكون التسارع صفرًا عند t _e و t _h d. ويكون التسارع سالبًا عند t _i، t _j، t _k، t _l

49. أ. أ = −1.3 م/ث ²

ب. فولت ₀ = 18 م/ث

ج. تي = 13.8 ثانية

51. v = 502.20 متر/ثانية

53. أ.

ب- المعروف: أ = 2.40 م/ث ²، t = 12.0 ثانية، v _{0 = 0} م/ث، و x _{0 = 0} م؛ c. x = x ₀ + v ₀ t +\(\frac{1}{2}\) عند ² =\(\frac{1}{2}\) عند ^{2 = عند 2} = 2.40 م/ث ² (12.0 ثانية) ² = 172.80 م، تبدو الإجابة معقولة عند حوالي 172.8 م؛ فولت = 28.8 متر/ثانية

55. أ.

ب. المعروف: v = 30.0 سم/ثانية، x = 1.80 سم

ج. أ = 250 سم/ثانية ²، t = 0.12 ثانية

د. نعم

57. أ. 6.87 م/ث ²

ب. س = 52.26 م

59. أ. أ = 8450 م/ث ²

ب. تي = 0.0077 ثانية

61. أ. أ = 9.18 جرام

ب. t = 6.67 × 10 ⁻³ ثانية

ج. أ = −40.0 م/ث ²، أ = 4.08 جم

63. المعروف: x = 3 م، v = 0 م/ث، v0 = 54 م/ث، نريد a، لذلك يمكننا استخدام هذه المعادلة: a = −486 m/s ².

65. a. a = 32.58 م/ث ²

ب. v = 161.85 م/ث

c. v > v _max، لأن افتراض التسارع المستمر غير صالح للدراغستر. يقوم الجراغستر بتغيير السرعات وسيكون له تسارع أكبر في الترس الأول مقارنة بالعتاد الثاني مقارنة بالعتاد الثالث، وهكذا. سيكون التسارع الأكبر في البداية، لذلك لن يتسارع بسرعة 32.6 م/ث ² خلال الأمتار القليلة الماضية، ولكن أقل بكثير، وستكون السرعة النهائية أقل من 162 متر/ثانية.

67. a. y = −8.23 م، v ₁ = −18.9 م/ث

b. y = −18.9 م، v ₂ = 23.8 م/ث

ج. y = −32.0 م، v ₃ = −28.7 م/ث

d. y = −47.6 م، v ₄ = −33.6 م/ث

e. y = −65.6 م، v ₅ = −38.5 م/ث

69. أ. معروف: a = −9.8 م/ث ²، v ₀ = −1.4 م/ث، t = 1.8 ثانية، Y ₀ = 0 م

b. y = y ₀ + v ₀ t −\(\frac{1}{2}\) gt ²، y = v ₀ t -\(\frac{1}{2}\) gt = −1.4 م/ث (1.8 ثانية) -\(\frac{1}{2}\) (9.8) (1.8 ثانية) (1.8 ثانية) ² = −18.4 م والأصل عند رجال الإنقاذ، الذين هم على ارتفاع 18.4 مترًا فوق الماء.

71. a. v ² = v ₀ ² − 2g (y − y ₀)، y ₀ = 0، v = 0، y\(\frac{v_{0}^{2}}{2g}\) =\(\frac{(4.0 m/s)^{2}}{2(9.80)}\) = 0.82 م

ب- إلى القمة v = 0.41 ثانية في 2 إلى اللوح = 0.82 ثانية من اللوح إلى الماء y = y _{0 + v 0} t −\(\frac{1}{2}\) gt ²، y = −1.80 م، y = ₀، v ₀ = 4.0 م/ث −1.8 = 4.0t − 4.9t ²، 4.9t 2 − 4.0t − 1.80 = 0، حل المعادلة التربيعية يعطي 1.13 ثانية

ج. v ² = v ₀ ² − 2g (y − y ₀) Y ₀ = 0، v ₀ = 4.0 م/ث، y = −1.80 م، v = 7.16 م/ث

73. الوقت المستغرق للوصول إلى القمة: t = 1.12 ثانية في 2 يساوي 2.24 ثانية إلى ارتفاع 2.20 متر. إلى 1.80 متر في الارتفاع يوجد 0.40 m.$$y = y_ {0} + v_ {0} t −\ frac {1} {2} gt^ {2} $$$$$y = −0.40\; m$$$y_ {0} = 0$$$$v_ {0} = −11.00 0\; م/s$$$−0,40 = −11.0t − 4.9t^ {2}\; أو\; 4.9t^ {2} + 11.0t − 0.40 = 0\ ldotp$$ خذ الجذر الموجب، وبالتالي فإن الوقت اللازم للذهاب إلى 0.4 متر إضافي هو 0.04 ثانية، والوقت الإجمالي هو 2.24 ثانية + 0.04 ثانية = 2.28 ثانية.

75. a. v ² = v ₀ ² − 2g (y − y ₀)، y ₀ = 0، v = 0، y = 2.50 م، $v_ {0} ^ {2} = 2gy\ السهم الأيمن v_ {0} =\ sqrt {2} =\ SQRT {2) (9.80) (2.50)} = 7.0\؛ م/ث؛\]

b. t = 0.72 ثانية في 2 يعطي 1.44 ثانية في الهواء

77. a. v = 70.0 م/ث

ب. الوقت الذي يُسمع بعد بدء سقوط الصخور: 0.75 ثانية، وقت الوصول إلى الأرض: 6.09 ثانية

79. أ. A = م/ث ²، B = م/ث ^5/2

ب. v (t) =\(\int\) a (t) dt + C ₁ =\(\int\) (A − Bt ^1/2) dt+ C ₁ = At -\(\frac{2}{3}\) Bt ^3/2 + C ₁\[v(0) = 0 = C_{1}\; so\; v(t_{0}) = At_{0} − \frac{2}{3} Bt_{0}^{3/2};\]

ج. x (t) =\(\int\) v (t) dt+ C ₂ =\(\int\) (At −\ frac {2} {3}\) Bt ^3/2) dt+ C ₂ =\(\frac{1}{2}\) عند ² −\(\frac{4}{15}\) Bt ^5/2 + C ₂\[x(0) = 0 = C_{2}\; so\; x(t_{0}) = \frac{1}{2} At_{0}^{2} − \frac{4}{15} Bt_{0}^{5/2}\]

81. أ. $$\ ابدأ {تقسيم} (t) & = 3.2 م/ث^ {2}\ رباعية t\ leq 5.0\; s\\ a (t) & = 1.5\؛ م/s^ {2}\ رباعية 5.0\؛ s\ leq t\ leq\ leq 11.0\؛ s\\ a (t) & = 0\ /s^ {2}\ رباعية إلى > 11.0\ ثانية؛\ إنهاء {الانقسام}\]

ب. $$\ ابدأ {الانقسام} x (t) & =\ int v (t) dt+ C_ {2} =\ int 3.2tdt + C_ {2} = 1.6t^ {2} + C_ {2} + C_ {2}\ رباعي\ leq 5.0\ s\\ x (0) و = 0\\ السهم الأيمن C_ {2} = 0\؛ لذلك،\؛ x (2.0\؛ s) = 6.4\؛ m\\ x (t) & =\ int v (t) dt+ C_ {2} =\ int [16.0 − 1.5 (t − 5.0)] dt+ C_ {2} = 16t − 1.5\ يسار (\ dfrac {t^ {2}} {2} {2} {2}} {2}} {2} − 5.0t\ يمين) + C_ {2}\ رباعية 5.0\; s\ leq t\ leq 11.0\; s\\ x (5\; s) & = 1.6 (5.0) ^ {2} = 40\; م = 16 (5.0\; ق) − 1.5\ يسار (\ dfrac {5^ {2}} {2} − 5.0 (5.0)\ يمين) + C_ {2}\ نهاية الانقسام}} $$$\ ابدأ {الانقسام} 40 & = 98.75 + C_ {2}\ السهم الأيمن C_ {2} = −58.75\\ x (7.0 ثانية) و = 16 (7.0) − 1.5\ يسار (\ dfrac {7^ {2}} {2} {2} {2} {2}} {2} − 5.0 (7)\ يمين) − 58. 75 = 69\; م\\ x (t) & =\ int 7.0dt+ C_ {2} = 7t + C_ {2}\ رباعي t\ geq 11.0\; s\\ x (11.0\; ق) و = 16 (11) − 1.5\ يسار (\ dfrac {11^ {2}} {2} {2} {2} {2} {2} {2} {2} {2} {2} {2} {2} {2} {2} {2} {2} {2} {2} (11.0\; s) + C_ {2}\ السهم الأيمن C_ {2} = 32\; m\\ x (t) & = 7t + 32\; m\ رباعي x\ geq 11.0\; s\ السهم الأيمن x (12.0\; s) = 7 (12) + 32 = 116\; m\ end {الانقسام}\]

مشاكل إضافية

83. خذ الغرب ليكون الاتجاه الإيجابي. الطائرة الأولى:\(\bar{v}\) = 600 كم/ساعة؛ الطائرة الثانية:\(\bar{v}\) = 667.0 كم/ساعة

85. a =\(\frac{v − v_{0}}{t − t_{0}}\)، t = 0، a\(\frac{−3.4\; cm/s − v_{0}}{4\; s}\) = 1.2 سم/ثانية ²\(\Rightarrow\) فولت ₀ = − 8.2 سم/ثانية، v = v ₀ + عند = − 8.2 + t؛ v = −7.0 سم/ثانية، v = −1.0 سم/ثانية

87. أ = −3 م/ث ²

89. a. v = 8.7 × 10 ⁵ م/ث

ب. t = 7.8 × 10 ⁻⁸ ثانية

91. 1 كم = فولت ₀ (80.0 ثانية) +\(\frac{1}{2}\) أ (80.0) ²؛ 2 كم = فولت ₀ (200.0) +\(\frac{1}{2}\) أ (200.0) ² حل في وقت واحد للحصول على a =\(− \frac{0.1}{2400.0}\) كم/ثانية ² و v ₀ = 0.014167 كم/ثانية، أي 51.0 كم/ساعة، والسرعة في نهاية الرحلة هي v = 21.0 كم/ساعة.

93. a = −0.9 م/ث ²

95. معادلة السيارة المسرعة: هذه السيارة لها سرعة ثابتة، وهي السرعة المتوسطة، ولا تتسارع، لذلك استخدم معادلة الإزاحة بـ x ₀ = 0: x = x ₀ +\(\bar{v}\) t =\(\bar{v}\) t؛ المعادلة لسيارة الشرطة: هذه السيارة تتسارع، لذا استخدم معادلة الإزاحة بـ x ₀ = 0 و v ₀ = 0، نظرًا لأن سيارة الشرطة تبدأ من الراحة: x = x _{0 + v 0} t +\(\frac{1}{2}\)\(\frac{1}{2}\) عند ^{2 = عند 2}؛ الآن لدينا معادلة الحركة لكل سيارة بمعامل مشترك، والذي يمكن أن يكون تم التخلص منه للعثور على الحل. في هذه الحالة، نقوم بحل الخطوة 1 الخاصة بـ t، بإلغاء x: x =\(\bar{v}\) t =\(\frac{1}{2}\) at ²؛ الخطوة 2، حل t: t =\(\frac{2 \bar{v}}{a}\). تبلغ السرعة الثابتة للسيارة المسرعة 40 م/ث، وهو متوسط سرعتها. يبلغ تسارع سيارة الشرطة 4 م/ث ². عند تقييم t، الوقت الذي تصل فيه سيارة الشرطة إلى السيارة المسرعة، لدينا t =\(\frac{2 \bar{v}}{a}\) =\(\frac{2(40)}{4}\) = 20 ثانية.

97. عند هذا التسارع، تتوقف تمامًا في t = =\(\frac{−v_{0}}{a}\)\(\frac{8}{0.5}\) = 16 ثانية، لكن المسافة المقطوعة هي x = 8 م/ث (16 ثانية) -\(\frac{1}{2}\) (0.5) (16 ثانية) ² = 64 مترًا، وهي أقل من المسافة التي تفصلها عن خط النهاية، لذا فهي لا تنهي السباق أبدًا.

99. س ₁ =\(\frac{3}{2}\) فولت ₀ تي؛ × ₂ =\(\frac{5}{3}\) × ₁

101. v ₀ = سرعة 7.9 م/ث في أسفل النافذة. v = 7.9 م/ث؛ v ₀ = 14.1 م/ث

103. a. v = 5.42 م/ث

ب. v = 4.64 م/ث

ج. أ = 2874.28 م/ث ²

د. (س − س ₀) = 5.11 × 10 ⁻³ م

105. ضع في اعتبارك سقوط اللاعبين من الراحة عند ارتفاع 1.0 متر و 0.3 متر. 0.9 ثانية؛ 0.5 ثانية

107. a. t = 6.37 ثانية يأخذ الجذر الإيجابي

ب. v = 59.5 م/ث

109. أ. ص = 4.9 م

ب. v = 38.3 م/ث؛ c. −33.3 م

111. h =\(\frac{1}{2}\) gt ²، h = إجمالي الارتفاع ووقت الهبوط إلى الأرض\(\frac{2}{3}\) h =\(\frac{1}{2}\) g (t − 1) ² في t - 1 ثانية ينخفض\(\frac{2}{3}\) h$$\ frac {2} {3}\ لليسار (\ dfrac {1} {2} gt^ {2}\ اليمين) =\ frac {1} {1} {2} g (t − 1) ^ {2}\؛ أو\ frac {t^ {2}} {3} =\ frac {1} {2} (t − 1) ^ {2} $$$0 = t^ {2} − 6t + 3،\؛ t =\ frac {6\ pm\ sqrt {62 − 4\ cdotp 3}} {2} = 3\ pm\ frac {\ sqrt {24}} {2} $$ t = 5.45 ثانية و h = 145.5 م. تحقق من t = 4.45 ثانية، h =\(\frac{1}{2}\) gt ² = 97.0 م =\(\frac{2}{3}\) 145.5 م

مشاكل التحدي

113. a. v (t) = 10t − 12t ² م/ث، a (t) = 10 − 24t m/s ²

ب. v (2 ثانية) = −28 م/ث، a (2 ثانية) = −38 م/ث ²

ج- ميل دالة الموضع هو صفر أو السرعة صفر. هناك حلان ممكنان: t = 0، الذي يعطي x = 0، أو t\(\frac{10.0}{12.0}\) = = 0.83 ثانية، مما يعطي x = 1.16 m، والإجابة الثانية هي الاختيار الصحيح

د. 0.83 ثانية

أي 1.16 م

115. 96 كم/ساعة = 26.67 م/ث، أ\(\frac{26.67\; m/s}{4.0\; s}\) = 6.67 م/ث ²، 295.38 كم/ساعة = 82.05 م/ث، t = 12.3 ثانية وقت التسارع إلى أقصى سرعة؛ x = 504.55 م = المسافة المقطوعة أثناء التسارع؛ 7495.44 م بسرعة ثابتة؛\(\frac{7495.44\; m}{82.05\; m/s}\) = 91.35 ثانية، لذا فإن الوقت الإجمالي هو 91.35 ثانية + 12.3 ثانية = 103.65 ثانية.