8.4: الحفاظ على الطاقة

أهداف التعلم

• صياغة مبدأ الحفاظ على الطاقة الميكانيكية، مع أو بدون وجود قوى غير محافظة
• استخدم الحفاظ على الطاقة الميكانيكية لحساب الخصائص المختلفة للأنظمة البسيطة

في هذا القسم، نقوم بتفصيل وتوسيع النتيجة التي استخلصناها في الطاقة الكامنة للنظام، حيث أعدنا كتابة نظرية الشغل والطاقة من حيث التغيير في الطاقات الحركية والمحتملة للجسيم. سيقودنا هذا إلى مناقشة المبدأ المهم للحفاظ على الطاقة الميكانيكية. بينما تستمر في دراسة مواضيع أخرى في الفيزياء، في فصول لاحقة من هذا الكتاب، سترى كيف يتم تعميم قانون الحفظ هذا ليشمل أنواعًا أخرى من الطاقة وعمليات نقل الطاقة. يقدم القسم الأخير من هذا الفصل معاينة.

إن مصطلحي «الكمية المحفوظة» و «قانون الحفظ» لهما معان علمية محددة في الفيزياء، تختلف عن المعاني اليومية المرتبطة باستخدام هذه الكلمات. (ينطبق التعليق نفسه أيضًا على الاستخدامات العلمية واليومية لكلمة «عمل».) في الاستخدام اليومي، يمكنك الحفاظ على المياه من خلال عدم استخدامها، أو باستخدام كميات أقل منها، أو بإعادة استخدامها. يتكون الماء من جزيئات تتكون من ذرتين من الهيدروجين وواحدة من الأكسجين. اجمع هذه الذرات معًا لتكوين جزيء وتنتج الماء؛ افصل الذرات في هذا الجزيء وتدمر الماء. ومع ذلك، في الاستخدام العلمي، تظل الكمية المحفوظة للنظام ثابتة، وتتغير بمقدار محدد يتم نقله إلى أنظمة أخرى، و/أو يتم تحويله إلى أشكال أخرى من تلك الكمية. يمكن تحويل الكمية المحفوظة، بالمعنى العلمي، ولكن لا يمكن إنشاؤها أو تدميرها بشكل صارم. وبالتالي، لا يوجد قانون فيزيائي للحفاظ على المياه.

أنظمة ذات جسيم أو كائن واحد

نفكر أولاً في نظام يحتوي على جسيم أو كائن واحد. بالعودة إلى تطوير المعادلة 8.2.2، تذكر أننا قمنا أولاً بفصل جميع القوى المؤثرة على الجسيم إلى الأنواع المحافظة وغير المحافظة، وكتبنا العمل الذي قام به كل نوع من أنواع القوة كمصطلح منفصل في نظرية الشغل والطاقة. ثم استبدلنا العمل الذي قامت به القوى المحافظة بالتغير في الطاقة الكامنة للجسيم، ودمجناها مع التغيير في الطاقة الحركية للجسيم للحصول على المعادلة 8.2.2. الآن، نكتب هذه المعادلة بدون الخطوة الوسطى ونحدد مجموع الطاقات الحركية والمحتملة، K + U = E؛ لتكون الطاقة الميكانيكية للجسيم.

الحفاظ على الطاقة

تظل الطاقة الميكانيكية E للجسيم ثابتة ما لم تعمل عليها قوى خارج النظام أو قوى غير محافظة، وفي هذه الحالة، يكون التغيير في الطاقة الميكانيكية مساويًا للعمل الذي تقوم به القوى غير المحافظة:

$$W_{nc,\; AB} = \Delta (K + U)_{AB} = \Delta E_{AB} \ldotp \label{8.12}$$

يعبر هذا البيان عن مفهوم الحفاظ على الطاقة للجسيم الكلاسيكي طالما لا يوجد عمل غير محافظ. تذكر أن الجسيم الكلاسيكي هو مجرد كتلة نقطية، وهو غير نسبي، ويخضع لقوانين نيوتن للحركة. في النسبية، سنرى أن الحفاظ على الطاقة لا يزال ينطبق على الجسيمات غير الكلاسيكية، ولكن لكي يحدث ذلك، يتعين علينا إجراء تعديل طفيف لتعريف الطاقة.

من الملائم أحيانًا فصل الحالة التي يكون فيها العمل الذي تقوم به القوى غير المحافظة صفرًا، إما بسبب عدم افتراض وجود مثل هذه القوى، أو، مثل القوة العادية، لا تقوم بأي عمل عندما تكون الحركة موازية للسطح. ثم

$$0 = W_{nc,\; AB} = \Delta (K + U)_{AB} = \Delta E_{AB} \ldotp \label{8.13}$$

في هذه الحالة، يمكن التعبير عن الحفاظ على الطاقة الميكانيكية على النحو التالي: لا تتغير الطاقة الميكانيكية للجسيم إذا لم تنجح جميع القوى غير المحافظة التي قد تعمل عليها. إن فهم مفهوم الحفاظ على الطاقة هو الشيء المهم، وليس المعادلة الخاصة التي تستخدمها للتعبير عنها.

استراتيجية حل المشكلات: الحفاظ على الطاقة

1. التعرف على الجسم أو الهيئات المراد دراستها (النظام). في كثير من الأحيان، في تطبيقات مبدأ الحفاظ على الطاقة الميكانيكية، ندرس أكثر من جسم واحد في نفس الوقت.
2. حدد جميع القوى التي تعمل على الجسم أو الأجسام.
3. حدِّد ما إذا كانت كل قوة تعمل متحفظة. إذا كانت هناك قوة غير محافظة (مثل الاحتكاك) تعمل، فلن يتم حفظ الطاقة الميكانيكية. يجب بعد ذلك تحليل النظام باستخدام العمل غير المحافظ، المعادلة\ ref {8.13}.
4. لكل قوة تعمل، اختر نقطة مرجعية وحدد دالة الطاقة المحتملة للقوة. لا يجب أن تكون النقاط المرجعية لمختلف الطاقات المحتملة في نفس الموقع.
5. قم بتطبيق مبدأ الحفاظ على الطاقة الميكانيكية من خلال تحديد مجموع الطاقات الحركية والطاقات الكامنة بالتساوي في كل نقطة من نقاط الاهتمام.

مثال 8.7: بندول بسيط

جسم كتلته m مُعلَّق من السقف بواسطة خيط عديم الكتلة طوله ١٫٠ م، كما هو موضَّح في الشكل$\PageIndex{1}$. يتم تحرير الجسيم من السكون، عندما تكون الزاوية بين الخيط والاتجاه الرأسي الهابط 30 درجة. ما سرعته عندما يصل إلى أدنى نقطة في قوسه؟

الشكل$\PageIndex{1}$: يشكل الجسيم المعلق من خيط بندولًا بسيطًا. يظهر عند الخروج من السكون، إلى جانب بعض المسافات المستخدمة في تحليل الحركة.

إستراتيجية

باستخدام إستراتيجيتنا لحل المشكلات، فإن الخطوة الأولى هي تحديد أننا مهتمون بنظام الجسيمات الأرضية. ثانيًا، تعمل قوة الجاذبية فقط على الجسيم، وهو أمر متحفظ (الخطوة 3). نحن نهمل مقاومة الهواء في المشكلة، ولا يتم إنجاز أي عمل من خلال توتر الأوتار، الذي يكون عموديًا على قوس الحركة. لذلك، يتم الحفاظ على الطاقة الميكانيكية للنظام، كما هو موضح في المعادلة\ ref {8.13}، 0 =$\Delta$ (K + U). نظرًا لأن الجسيم يبدأ من السكون، فإن الزيادة في الطاقة الحركية هي مجرد طاقة حركية عند أدنى نقطة. هذه الزيادة في الطاقة الحركية تساوي الانخفاض في طاقة الجاذبية الكامنة، والتي يمكننا حسابها من الهندسة. في الخطوة 4، نختار نقطة مرجعية لطاقة جهد الجاذبية الصفرية لتكون عند أدنى نقطة رأسية يحققها الجسيم، وهي منتصف التأرجح. أخيرًا، في الخطوة 5، قمنا بتعيين مجموع الطاقات عند أعلى نقطة (أولية) من التأرجح إلى أدنى نقطة (نهائية) من التأرجح لحل السرعة النهائية في النهاية.

الحل

نحن نهمل القوى غير المحافظة، لذلك نكتب صيغة الحفاظ على الطاقة التي تربط الجسيم عند أعلى نقطة (أولية) وأدنى نقطة في التأرجح (النهائي) كـ

$$K_{i} + U_{i} = K_{f} + U_{f} \ldotp$$

نظرًا لأن الجسيم ينطلق من السكون، تكون الطاقة الحركية الأولية صفرًا. عند أدنى نقطة، نحدد طاقة وضع الجاذبية بأنها صفر. لذلك فإن صيغة الحفاظ على الطاقة لدينا تقلل من

$$\begin{split} 0 + mgh & = \frac{1}{2} mv^{2} + 0 \\ v & = \sqrt{2gh} \ldotp \end{split}$$

لا يتم إعطاء الارتفاع الرأسي للجسيم مباشرة في المشكلة. يمكن حل ذلك باستخدام علم المثلثات ومعطيتين: طول البندول والزاوية التي يتم من خلالها سحب الجسيم عموديًا. بالنظر إلى الرسم التخطيطي، فإن الخط المتقطع العمودي هو طول سلسلة البندول. يسمى الارتفاع الرأسي h. يمكن حساب الطول الجزئي الآخر للخيط العمودي باستخدام علم المثلثات. تم حل هذه القطعة بواسطة

$$\cos \theta = \frac{x}{L} = L \cos \theta \ldotp$$

لذلك، من خلال النظر إلى جزأي السلسلة، يمكننا حل مشكلة الارتفاع h،

$$\begin{split} x + h & = L \\ L \cos \theta + h & = L \\ h & = L - L \cos \theta \\ & = L(1 - \cos \theta) \ldotp \end{split}$$

نستبدل هذا الارتفاع بالتعبير السابق الذي تم حله للسرعة لحساب النتيجة:

$$v = \sqrt{2gL(1 - \cos \theta)} = \sqrt{2(9.8\; m/s^{2})(1\; m)(1 - \cos 30^{o})} = 1.62\; m/s \ldotp$$

الأهمية

لقد وجدنا السرعة مباشرة من خلال الحفاظ على الطاقة الميكانيكية، دون الحاجة إلى حل المعادلة التفاضلية لحركة البندول (انظر التذبذبات). يمكننا التعامل مع هذه المشكلة من حيث الرسوم البيانية الشريطية لإجمالي الطاقة. في البداية، يحتوي الجسيم على كل الطاقة الكامنة، حيث يكون عند أعلى نقطة، ولا توجد طاقة حركية. عندما يعبر الجسيم أدنى نقطة في الجزء السفلي من التأرجح، تنتقل الطاقة من عمود الطاقة الكامنة إلى عمود الطاقة الحركية. لذلك، يمكننا تخيل تقدم هذا النقل عندما يتحرك الجسيم بين أعلى نقطة وأدنى نقطة في التأرجح والعودة إلى أعلى نقطة (الشكل$\PageIndex{2}$). عندما ينتقل الجسيم من أدنى نقطة في التأرجح إلى أعلى نقطة في أقصى الجانب الأيمن من الرسم التخطيطي، تتحرك أشرطة الطاقة بترتيب عكسي من (c) إلى (b) إلى (a).

الشكل$\PageIndex{2}$: تمثل الرسوم البيانية الشريطية إجمالي الطاقة (E) والطاقة الكامنة (U) والطاقة الحركية (K) للجسيم في المواضع المختلفة. (أ) الطاقة الكلية للنظام تساوي الطاقة الكامنة والطاقة الحركية صفر، والتي توجد عند أعلى نقطة يصل إليها الجسيم. (ب) يقع الجسيم في منتصف المسافة بين أعلى نقطة وأدناها، وبالتالي فإن الطاقة الحركية زائد الرسوم البيانية لأشرطة الطاقة الكامنة تساوي الطاقة الكلية. (ج) يكون الجسيم عند أدنى نقطة من التأرجح، وبالتالي فإن الرسم البياني لشريط الطاقة الحركية هو الأعلى ويساوي إجمالي طاقة النظام.

التمرين 8.7

ما ارتفاع الجسيم الموجود في البندول البسيط أعلاه فوق الجزء السفلي من قوسه، عندما تكون سرعته ٠٫٨١ م/ث؟

مثال 8.8: مقاومة الهواء على جسم ساقط

تحوم طائرة هليكوبتر على ارتفاع كيلومتر واحد عندما تتكسر لوحة من جانبها السفلي وتهبط على الأرض (الشكل$\PageIndex{3}$). كتلة اللوحة ١٥ كجم، وهي تصطدم بالأرض بسرعة ٤٥ م/ث، ما مقدار الطاقة الميكانيكية التي تبددتها مقاومة الهواء أثناء هبوط اللوحة؟

الشكل$\PageIndex{3}$: تفقد طائرة هليكوبتر لوحًا يسقط حتى تصل سرعته النهائية إلى ٤٥ م/ث، ما مقدار مساهمة مقاومة الهواء في تبديد الطاقة في هذه المشكلة؟

إستراتيجية

الخطوة 1: هنا يتم التحقيق في جثة واحدة فقط.

الخطوة 2: تعمل قوة الجاذبية على اللوحة، وكذلك مقاومة الهواء، والتي وردت في المشكلة.

الخطوة 3: قوة الجاذبية متحفظة؛ ومع ذلك، فإن القوة غير المحافظة لمقاومة الهواء تقوم بعمل سلبي على اللوحة المتساقطة، لذلك يمكننا استخدام الحفاظ على الطاقة الميكانيكية، بالشكل الذي تعبر عنه المعادلة\ ref {8.12}، للعثور على الطاقة المتبددة. هذه الطاقة هي حجم العمل:

$$\Delta E_{diss} = |W_{nc,if}| = |\Delta (K + U)_{if}| \ldotp$$

الخطوة 4: الطاقة الحركية الأولية، عند yi = 1 كم، هي صفر. لقد وضعنا طاقة الجاذبية الكامنة على الصفر عند مستوى الأرض بدافع الراحة.

الخطوة 5: يتم ضبط العمل غير المحافظ على قدم المساواة مع الطاقات اللازمة لحل العمل الذي تبدده مقاومة الهواء.

الحل

الطاقة الميكانيكية التي تتبددها مقاومة الهواء هي المجموع الجبري للمكاسب في الطاقة الحركية وفقدان الطاقة الكامنة. لذلك فإن حساب هذه الطاقة هو

$$\begin{split} \Delta E_{diss} & = |K_{f} - K_{i} 9 U_{f} - U_{i}| \\ & = \Big| \frac{1}{2} (15\; kg)(45\; m/s)^{2} - 0 + 0 - (15\; kg)(9.8\; m/s^{2})(1000\; m) \Big| \\ & = 130\; kJ \ldotp \end{split}$$

الأهمية

فقدت معظم الطاقة الميكانيكية الأولية للوحة (U _i)، 147 كيلو جول، بسبب مقاومة الهواء. لاحظ أننا تمكنا من حساب الطاقة المتبددة دون معرفة قوة مقاومة الهواء، إلا أنها كانت مبددة.

التمرين 8.8

ربما تتذكر أنه عند إهمال مقاومة الهواء، إذا قمت بإلقاء قذيفة بشكل مستقيم، فإن الوقت المستغرق للوصول إلى أقصى ارتفاع لها يساوي الوقت الذي يستغرقه السقوط من أقصى ارتفاع إلى ارتفاع البداية. لنفترض أنه لا يمكنك إهمال مقاومة الهواء، كما في المثال 8.8. هل الوقت الذي يستغرقه المقذوف للارتفاع (أ) أكبر من أو (ب) أقل من أو (ج) يساوي الوقت الذي يستغرقه الهبوط مرة أخرى؟ اشرح.

في هذه الأمثلة، تمكنا من استخدام الحفاظ على الطاقة لحساب سرعة الجسيم فقط عند نقاط معينة من حركته. لكن طريقة تحليل حركة الجسيمات، بدءًا من الحفاظ على الطاقة، أقوى من ذلك. تسمح لك العلاجات الأكثر تقدمًا لنظرية الميكانيكا بحساب الاعتماد الكامل لحركة الجسيمات، لطاقة محتملة معينة. في الواقع، غالبًا ما يتم توفير نموذج أفضل لحركة الجسيمات من خلال شكل طاقاتها الحركية والمحتملة، بدلاً من معادلة القوة المؤثرة عليها. (هذا ينطبق بشكل خاص على الوصف الميكانيكي الكمي للجسيمات مثل الإلكترونات أو الذرات.)

يمكننا توضيح بعض أبسط ميزات هذا النهج القائم على الطاقة من خلال النظر في الجسيمات في حركة أحادية البعد، مع وجود طاقة محتملة U (x) وعدم وجود تفاعلات غير محافظة. تتطلب المعادلة\ ref {8.12} وتعريف السرعة

$$K = \frac{1}{2} mv^{2} = E - U(x)$$

$$v = \frac{dx}{dt} = \sqrt{\frac{2(E - U(x))}{m}} \ldotp$$

افصل المتغيرين x و t وقم بالدمج، من الوقت الأولي t = 0 إلى وقت تعسفي، للحصول على

$$t = \int_{0}^{t} dt = \int_{x_{0}}^{x} \frac{dx}{\sqrt{\frac{2(E - U(x))}{m}}} \ldotp \label{8.14}$$

إذا كان بإمكانك إجراء التكامل في المعادلة\ ref {8.14}، فيمكنك حل x كدالة لـ t.

مثال 8.9: التسارع المستمر

استخدم طاقة الجهد U (x) = −E$\left(\dfrac{x}{x_{0}}\right)$، لـ E > 0، في المعادلة\ المرجع {8.14} لإيجاد الموضع x للجسيم كدالة للوقت t.

إستراتيجية

نظرًا لأننا نعرف كيف تتغير الطاقة الكامنة كدالة لـ x، يمكننا استبدال U (x) في المعادلة\ ref {8.14}، ودمج، ثم حل x، وينتج عن ذلك تعبير x كدالة للوقت مع ثوابت الطاقة E والكتلة m والموضع الأولي x ₀.

الحل

وفي أعقاب الخطوتين المقترحتين الأوليين في الاستراتيجية المذكورة أعلاه,

$$t = \int_{x_{0}}^{x} \frac{dx}{\sqrt{\left(\dfrac{2E}{mx_{0}}\right)(x_{0} - x)}} = \frac{1}{\sqrt{\left(\dfrac{2E}{mx_{0}}\right)}} \Big| -2\sqrt{(x_{0} - x)} \Big|_{x_{0}}^{x} = \frac{-2\sqrt{(x_{0} - x)}}{\sqrt{\left(\dfrac{2E}{mx_{0}}\right)}} \ldotp$$

نحصل على حل للموقف

$$x(t) = x_{0} - \frac{1}{2} \left(\dfrac{E}{mx_{0}}\right) t^{2} \ldotp$$

الأهمية

يمثل الموضع كدالة للوقت، بالنسبة لهذه الإمكانية، حركة أحادية البعد مع تسارع ثابت، a =$\left(\dfrac{E}{mx_{0}}\right)$، بدءًا من السكون من الموضع x ₀. هذا ليس مفاجئًا جدًا، نظرًا لأن هذه طاقة محتملة لقوة ثابتة، F$− \frac{dU}{dx}$ =$\frac{E}{x_{0}}$، و a =$\frac{F}{m}$.

التمرين 8.9

ما الطاقة الكامنة U (x) التي يمكنك استبدالها في المعادلة\ ref {8.13} التي ستؤدي إلى حركة بسرعة ثابتة مقدارها ٢ م/ث لجسيم كتلته ١ كجم وطاقة ميكانيكية ١ جول؟

سننظر إلى مثال آخر أكثر ملاءمة ماديًا لاستخدام المعادلة\ ref {8.13} بعد أن استكشفنا بعض الآثار الأخرى التي يمكن استخلاصها من الشكل الوظيفي للطاقة الكامنة للجسيم.

الأنظمة ذات الجسيمات أو الأشياء المتعددة

تتكون الأنظمة بشكل عام من أكثر من جسيم أو كائن. ومع ذلك، فإن الحفاظ على الطاقة الميكانيكية، في أحد الأشكال الموجودة في المعادلة\ ref {8.12} أو المعادلة\ ref {8.13}، هو قانون أساسي للفيزياء وينطبق على أي نظام. عليك فقط تضمين الطاقات الحركية والمحتملة لجميع الجسيمات، والعمل الذي تقوم به جميع القوى غير المحافظة التي تعمل عليها. حتى تتعلم المزيد عن ديناميكيات الأنظمة المكونة من العديد من الجسيمات، في الزخم الخطي والاصطدامات، ودوران المحور الثابت، والزخم الزاوي، فمن الأفضل تأجيل مناقشة تطبيق الحفاظ على الطاقة حتى ذلك الوقت.