8.5: مخططات الطاقة المحتملة والاستقرار

Last updated
Save as PDF

Page ID: 200070

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

أهداف التعلم

إنشاء وتفسير الرسوم البيانية للطاقة الكامنة
شرح العلاقة بين الاستقرار والطاقة الكامنة

في كثير من الأحيان، يمكنك الحصول على قدر كبير من المعلومات المفيدة حول السلوك الديناميكي للنظام الميكانيكي فقط من خلال تفسير رسم بياني لطاقته الكامنة كدالة للموضع، يسمى مخطط الطاقة المحتملة. يتم تحقيق ذلك بسهولة أكبر بالنسبة لنظام أحادي البعد، يمكن رسم طاقته الكامنة في رسم بياني واحد ثنائي الأبعاد - على سبيل المثال، U (x) مقابل x - على قطعة من الورق أو برنامج كمبيوتر. بالنسبة للأنظمة التي تكون حركتها في أكثر من بُعد، يجب دراسة الحركة في الفضاء ثلاثي الأبعاد. سنقوم بتبسيط إجراءاتنا للحركة أحادية البعد فقط.

أولاً، دعونا ننظر إلى جسم، يسقط بحرية عموديًا، بالقرب من سطح الأرض، في غياب مقاومة الهواء. يتم الحفاظ على الطاقة الميكانيكية للكائن، E = K + U، والطاقة الكامنة، فيما يتعلق بالصفر عند مستوى الأرض، هي U (y) = my، وهو خط مستقيم يمر عبر نقطة الأصل مع ميل mg. في الرسم البياني الموضح في الشكل$\PageIndex{1}$، المحور السيني هو الارتفاع فوق الأرض y والمحور y هو طاقة الجسم.

يتم رسم الطاقة، بوحدات الجول، كدالة للارتفاع فوق الأرض بالأمتار. الرسم البياني للطاقة الكامنة U هو خط أحمر مستقيم يمر بنقطة الأصل، حيث y تحت الصفر يساوي صفرًا. تُعطى معادلة الخط المستقيم على النحو U من y يساوي m g y، والرسم البياني لإجمالي الطاقة E الذي يساوي K زائد U هو ثابت يظهر كخط أفقي أسود. الارتفاع فوق الأرض حيث تتقاطع الرسوم البيانية E و U هو y submax. الطاقة بين خط U الأحمر والمحور الأفقي هي U sub A. الطاقة بين خط U of y الأحمر وخط E الأسود هي K sub A. — الشكل$\PageIndex{1}$: الرسم البياني للطاقة المحتملة لجسم ما في حالة السقوط الحر العمودي، مع الإشارة إلى كميات مختلفة.

يمثل الخط عند الطاقة E الطاقة الميكانيكية الثابتة للجسم، بينما يُشار إلى الطاقات الحركية والمحتملة، K _A و U _A، عند ارتفاع معين y _A. يمكنك أن ترى كيف يتم تقسيم الطاقة الكلية بين الطاقة الحركية والطاقة الكامنة مع تغير ارتفاع الكائن. نظرًا لأن الطاقة الحركية لا يمكن أن تكون سالبة أبدًا، فهناك طاقة كامنة قصوى وارتفاع أقصى، لا يمكن لجسم ذي طاقة إجمالية معينة تجاوزهما:

\[K = E - U \geq 0,\]

\[U \leq E \ldotp\]

إذا استخدمنا النقطة المرجعية لطاقة جهد الجاذبية وهي صفر عند y ₀، فيمكننا إعادة كتابة طاقة جهد الجاذبية U في صورة my. حل نتائجي في

\[y \leq \frac{E}{mg} = y_{max} \ldotp\]

نلاحظ في هذا التعبير أن كمية الطاقة الكلية مقسومة على الوزن (mg) تقع عند الحد الأقصى لارتفاع الجسيم، أو y _max. عند الحد الأقصى للارتفاع، تكون الطاقة الحركية والسرعة صفرًا، لذلك إذا كان الجسم يتحرك في البداية لأعلى، فستمر سرعته عبر الصفر هناك، وستكون y _max نقطة تحول في الحركة. عند مستوى الأرض، y ₀ = 0، الطاقة الكامنة هي صفر، والطاقة الحركية والسرعة هي الحد الأقصى:

\[U_{0} = 0 = E - K_{0},\]

\[E = K_{0} = \frac{1}{2} mv_{0}^{2},\]

\[v_{0} = \pm \sqrt{\frac{2E}{m}} \ldotp\]

تعطي السرعة القصوى ± v ₀ السرعة الأولية اللازمة للوصول إلى y _max، الحد الأقصى للارتفاع، وتمثل −v ₀ السرعة النهائية، بعد السقوط من y _max. يمكنك قراءة كل هذه المعلومات والمزيد من مخطط الطاقة المحتملة الذي أظهرناه.

ضع في اعتبارك نظام الزنبرك الشامل على سطح أفقي غير قابل للاحتكاك وثابت، بحيث لا تعمل الجاذبية وقوة الاتصال العادية ويمكن تجاهلهما (الشكل$\PageIndex{2}$). هذا يشبه نظامًا أحادي البعد، تكون طاقته الميكانيكية E ثابتة وطاقته الكامنة، فيما يتعلق بالطاقة الصفرية عند الإزاحة الصفرية من طول الزنبرك غير الممتد، x = 0، هي U (x) =$\frac{1}{2}$ kx ².

الشكل أ عبارة عن رسم توضيحي لطائرة شراعية بين الينابيع على مسار هوائي أفقي. الشكل ب هو رسم بياني للطاقة بالجول كدالة للإزاحة من الطول غير الممدد بالأمتار. يتم رسم الطاقة الكامنة U of x في صورة مكافئ افتتاحي أحمر صعودي. الدالة U of x تساوي نصف k x مربع. تكون نقطة التوازن عند الحد الأدنى من المكافئ، حيث x تحت الصفر يساوي صفرًا. يتم رسم إجمالي الطاقة E التي تساوي K زائد U وهي ثابتة كخط أسود أفقي. يتم تصنيف النقاط التي يلتقي فيها الخط E الكلي بمنحنى U المحتمل كنقاط تحول. تكون إحدى نقاط التحول عند ناقص x sub-max، والأخرى عند زائد x sub max. — الشكل$\PageIndex{2}$: (أ) تعتبر الطائرة الشراعية بين النوابض على مسار هوائي مثالاً على نظام الزنبرك الكتلي الأفقي. (ب) مخطط الطاقة المحتملة لهذا النظام، مع بيان الكميات المختلفة.

يمكنك قراءة نفس النوع من المعلومات من مخطط الطاقة الكامنة في هذه الحالة، كما هو الحال بالنسبة للجسم في السقوط الحر العمودي، ولكن نظرًا لأن طاقة الزنبرك الكامنة تصف قوة متغيرة، يمكنك معرفة المزيد من هذا الرسم البياني. بالنسبة للجسم في حالة السقوط الحر العمودي، يمكنك استنتاج نطاق الحركة المسموح به جسديًا والقيم القصوى للمسافة والسرعة، من حدود الطاقة الحركية، 0 ≤ K ≤ E. لذلك، K = 0 و U = E عند نقطة تحول، منها اثنتان لإمكانات الزنبرك المرن الطاقة،

\[x_{max} = \pm \sqrt{\frac{2E}{k}} \ldotp\]

تقتصر حركة الطائرة الشراعية على المنطقة الواقعة بين نقاط الانعطاف، −x _max ≤ x ≤ x _max. وينطبق هذا على أي قيمة (موجبة) لـ E لأن الطاقة الكامنة غير محدودة فيما يتعلق بـ x. ولهذا السبب، بالإضافة إلى شكل منحنى الطاقة الكامنة، يُطلق على U (x) بئر الجهد اللانهائي. في الجزء السفلي من البئر المحتمل، x = 0، U = 0 والطاقة الحركية هي الحد الأقصى، K = E، لذلك v _max = ±$\sqrt{\frac{2E}{m}}$.

ومع ذلك، من منحدر منحنى الطاقة المحتمل هذا، يمكنك أيضًا استنتاج معلومات حول القوة على الطائرة الشراعية وتسريعها. لقد رأينا سابقًا أن سالب منحدر الطاقة الكامنة هو قوة الزنبرك، والتي في هذه الحالة هي أيضًا القوة الصافية، وبالتالي تتناسب مع التسارع. عندما تكون x = 0، يكون المنحدر والقوة والعجلة كلها صفرًا، لذا فهذه نقطة توازن. يعطي سالب المنحدر، على جانبي نقطة التوازن، قوة تشير إلى نقطة التوازن، F = ± kx، لذلك يُطلق على التوازن اسم مستقر وتسمى القوة بقوة استعادة. هذا يعني أن U (x) لديها حد أدنى نسبي هناك. إذا كانت القوة على جانبي نقطة التوازن لها اتجاه معاكسٍ لاتجاه تغيير الموضع هذا، فإن التوازن يُطلق عليه اسم غير مستقر، وهذا يعني أن U (x) لها حد أقصى نسبي هناك.

مثال 8.10: مخطط طاقة الجهد الرباعي والتربيعي

الطاقة الكامنة لجسيم يمر بحركة أحادية البعد على طول المحور السيني هي U (x) = 2 (x ⁴ − x ²)، حيث U بالجول و x بالأمتار. لا يخضع الجسيم لأي قوى غير محافظة وطاقته الميكانيكية ثابتة عند E = −0.25 J. (a) هل حركة الجسيم محصورة في أي مناطق على المحور السيني، وإذا كان الأمر كذلك، فما هي هذه المناطق؟ (ب) هل توجد نقاط توازن، وإذا كان الأمر كذلك، فأين هي وهل هي مستقرة أم غير مستقرة؟

إستراتيجية

أولاً، نحتاج إلى رسم بياني للطاقة الكامنة كدالة لـ x. الدالة تساوي صفرًا عند نقطة الأصل، وتصبح سالبة كلما زاد x في الاتجاهين الموجب أو السالب (x ² أكبر من x ⁴ لـ x < 1)، ثم تصبح موجبة عند |x| كبيرة بما فيه الكفاية. يجب أن يبدو الرسم البياني الخاص بك كجهد مزدوج جيدًا، مع تحديد الأصفار عن طريق حل المعادلة U (x) = 0، وتحديد النقيضين من خلال فحص المشتقات الأولى والثانية لـ U (x)، كما هو موضح في الشكل$\PageIndex{3}$.

يظهر الرسم البياني للطاقة الكامنة U بوحدات الجول كدالة لـ x بوحدات الأمتار لطاقة جهد أحادية البعد ورباعية وتربيعية، مع تحديد كميات مختلفة. يمتد المقياس الأفقي من —1.2 إلى 1.2، ويتم تصنيفه بفواصل زمنية قدرها 0.5 متر وخطوط شبكية كل 0.1 متر، ويمتد المقياس الرأسي من —0.55 إلى +0.55، ويتم تسميته بفواصل زمنية قدرها 0.1 J مع وجود خطوط شبكية كل 0.05 J. الدالة U of x تساوي ضعفي الكمية x إلى الرابعة ناقص x مربع. تذهب هذه الدالة إلى اللانهاية عند x زائد وناقص اللانهائي x، وتكون صفرًا عند x تساوي صفرًا ولها قيمة دنيا تبلغ -0.5 J عند x تساوي تقريبًا —0.7 م و +0.7 م. الحد الأدنى عند x الموجب يُسمى بالنقطة Q ويُسمى الحد الأدنى عند سالب x بالنقطة ناقص Q. يعبر الرسم البياني U of x U=0، x المحور، في موقعين، في x=-1 و x=+1. إجمالي الطاقة E يساوي -0.25 J ويظهر كخط أفقي عند هذه القيمة. يتقاطع مع الرسم البياني U of x في أربعة مواقع، موصوفة من اليسار إلى اليمين. تقع النقطة الموجودة في أقصى اليسار عند قيمة x بين —0.95 و —0.9 ويتم تصنيفها على أنها نقطة ناقص R. الموقع التالي الذي يكون فيه U=-0.25 عند قيمة x بين —0.4 و —0.35 ويتم تسميته بالنقطة ناقص P. الموقع التالي الذي عنده U=-0.25 يكون عند قيمة x بين 0.35 و 0.4 ويتم تسميته بالنقطة P. الموقع الموجود في أقصى اليمين حيث يكون U=-0.25 عند قيمة x بين 0.9 و 0.95 ويتم تسميته بالنقطة R. — الشكل$\PageIndex{3}$: الرسم البياني للطاقة الكامنة لطاقة الجهد أحادية البعد والرباعية والتربيعية، مع تحديد كميات مختلفة.

يمكنك العثور على قيم (أ) المناطق المسموح بها على طول المحور السيني، للقيمة المعطاة للطاقة الميكانيكية، بشرط ألا تكون الطاقة الحركية سالبة، و (ب) نقاط التوازن وثباتها من خصائص القوة (مستقرة للحد الأدنى النسبي وغير مستقرة لـ a الحد الأقصى النسبي للطاقة المحتملة). يمكنك فقط تحديد الرسم البياني للوصول إلى إجابات نوعية للأسئلة في هذا المثال. هذه، بعد كل شيء، هي قيمة مخططات الطاقة المحتملة.

يمكنك أن ترى أن هناك منطقتين مسموحتين للحركة (E > U) وثلاث نقاط توازن (المنحدر$\frac{dU}{dx}$ = 0)، منها المنطقة المركزية غير مستقرة$\left( \dfrac{d^{2}U}{dx^{2}} < 0 \right)$، والآخران مستقران$\left(\dfrac{d^{2}U}{dx^{2}} > 0 \right)$.

الحل

للعثور على المناطق المسموح بها لـ x، نستخدم الشرط $K = E - U = -\ frac {1} {4} - 2 (x^ {4} - x^ {2})\ geq 0\ ldotP$إذا أكملنا المربع في x 2، يتم تبسيط هذا الشرط إلى$2 \left(x^{2} − \dfrac{1}{2} \right)^{2} \leq \frac{1}{4}$، والذي يمكننا حله للحصول على $$\ frac {1} {1} {2} -\ sqrt {\ frac {1} {8}}\ leq x^ {2}\ leq\ frac {1} {2} +\ sqrt {\ frac {1} {8}}\ ldotp $$يمثل هذا منطقتين مسموح بهما، x _p ≤ x ≤ x _R و −x _R ≤ x ≤ − x _p، حيث x _p = 0.38 و x _R = 0.92 (بالأمتار).
للعثور على نقاط التوازن، نحل المعادلة $$\ frac {dU} {dX} = 8x^ {3} - 4x = 0$ونجد x = 0 و x = ± x _Q، حيث x _Q =$\frac{1}{\sqrt{2}}$ = 0.707 (متر). والمشتق الثاني $$\ frac {d^ {2} U} {dx^ {2}} = 24x^ {2} - 4$يكون سالبًا عند x = 0، لذا فإن هذا الموضع هو الحد الأقصى النسبي والتوازن هناك غير مستقر. يكون المشتق الثاني موجبًا عند x = ± x _Q، لذا فإن هذه المواضع هي الحد الأدنى النسبي وتمثل توازنًا مستقرًا.

الدلالة

يمكن للجسيم في هذا المثال أن يتذبذب في المنطقة المسموح بها حول أي من نقطتي التوازن المستقرتين اللتين وجدناهما، ولكنه لا يمتلك طاقة كافية للهروب من البئر المحتمل الذي يحدث فيه في البداية. يتيح لك الحفاظ على الطاقة الميكانيكية والعلاقات بين الطاقة الحركية والسرعة، والطاقة والقوة الكامنة، استنتاج الكثير من المعلومات حول السلوك النوعي لحركة الجسيم، بالإضافة إلى بعض المعلومات الكمية، من رسم بياني لطاقته الكامنة.

التمرين 8.10

كرر المثال 8.10 عندما تكون الطاقة الميكانيكية للجسيم +0.25 J.

قبل إنهاء هذا القسم، دعونا نتدرب على تطبيق الطريقة القائمة على الطاقة الكامنة للجسيم لإيجاد موضعه كدالة للوقت، لنظام الزنبرك الكتلي أحادي البعد الذي تم تناوله سابقًا في هذا القسم.

مثال 8.11: التذبذبات الجيبية

ابحث عن x (t) لجسيم يتحرك بطاقة ميكانيكية ثابتة E> 0 وطاقة كامنة U (x) =$\frac{1}{2}$ kx ²، عندما يبدأ الجسيم من السكون في الوقت t = 0.

إستراتيجية

نحن نتبع نفس الخطوات كما فعلنا في المثال 8.9. استبدل طاقة الجهد U في المعادلة 8.4.9 وقم بحساب الثوابت، مثل m أو k. قم بدمج الدالة وحل التعبير الناتج عن الموضع، والذي أصبح الآن دالة للوقت.

الحل

استبدل الطاقة الكامنة في المعادلة 8.4.9 وقم بالتكامل باستخدام أداة حل متكاملة موجودة في بحث الويب:

\ [t =\ int_ {x_ {0}} ^ {x}\ frac {x} {x} {\ sqrt {\\ يسار (\ dfrac {k} {م}\ يمين)\ كبير [\ يسار (\ dfrac {2E} {ك}\ يمين) - x^ {2}\ كبير]} = =\ sqrt {\ frac {m} {ك}}\ بيج [\ الخطيئة ^ {-1}\ اليسار (\ dfrac {x} {\ sqrt {\ frac {2E}}}\ اليمين) -\ الخطيئة ^ {-1}\ اليسار (\ frac {x_ {0}} {\ sqrt {\ frac {2E}} {k}}\ اليمين)\ Bigg]\ lDotp $$من الشروط الأولية في t = 0، الطاقة الحركية الأولية هي صفر والطاقة الكامنة الأولية هي$\frac{1}{2}$ kx ₀ ² = E، والتي يمكنك من خلالها رؤية ذلك$\frac{x_{0}}{\sqrt{\left(\dfrac{2E}{k}\right)}}$ = ± 1 وsin ⁻¹ (±) = ± 90 درجة. الآن يمكنك حل x:

\[x(t) = \sqrt{\left(\dfrac{2E}{k}\right)} \sin \Big[\left(\sqrt{\dfrac{k}{m}}\right)t \pm 90^{o} \Big] = \pm \sqrt{\left(\dfrac{2E}{k}\right)} \cos \Big[ \left(\sqrt{\dfrac{k}{m}}\right)t \Big] \ldotp\]

الدلالة

في بضع فقرات سابقة، أشرنا إلى نظام الزنبرك الشامل هذا كمثال على المذبذب التوافقي. نتوقع هنا أن يقوم المذبذب التوافقي بتنفيذ تذبذبات جيبية بإزاحة قصوى تبلغ$\sqrt{\left(\dfrac{2E}{k}\right)}$ (تسمى السعة) ومعدل تذبذب يبلغ$\left(\dfrac{1}{2 \pi}\right) \sqrt{\frac{k}{m}}$ (يسمى التردد). يمكن العثور على مزيد من المناقشات حول التذبذبات في التذبذبات.

التمرين 8.11

ابحث عن x (t) لنظام الزنبرك الشامل في المثال 8.11 إذا بدأ الجسيم من x ₀ = 0 عند t = 0. ما السرعة الأولية للجسيم؟