Skip to main content
Global

8.3: القوى المحافظة وغير المحافظة

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    200063

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    أهداف التعلم
    • قم بتمييز القوة المحافظة بعدة طرق مختلفة
    • حدد الشروط الرياضية التي يجب أن تستوفيها القوة المحافظة ومكوناتها
    • اربط القوة المحافظة بين جزيئات النظام بالطاقة الكامنة للنظام
    • احسب مكونات القوة المحافظة في الحالات المختلفة

    في الطاقة الكامنة والحفاظ على الطاقة، أدى أي انتقال بين الطاقة الحركية والطاقة الكامنة إلى الحفاظ على الطاقة الكلية للنظام. كان هذا المسار مستقلاً، مما يعني أنه يمكننا البدء والتوقف عند أي نقطتين في المشكلة، والطاقة الإجمالية للنظام - الحركية بالإضافة إلى الإمكانات - عند هذه النقاط تساوي بعضها البعض. هذه سمة من سمات القوة المحافظة. تعاملنا مع القوى المحافظة في القسم السابق، مثل قوة الجاذبية وقوة الزنبرك. عند مقارنة حركة كرة القدم في الشكل 8.2.1، لا تتغير الطاقة الكلية للنظام أبدًا، على الرغم من زيادة طاقة الجاذبية الكامنة في كرة القدم، حيث ترتفع الكرة بالنسبة إلى الأرض وتهبط مرة أخرى إلى طاقة الجاذبية الأولية الكامنة عند كرة القدم لاعب يمسك الكرة. القوى غير المحافظة هي قوى تبدد مثل الاحتكاك أو مقاومة الهواء. تقوم هذه القوى بسحب الطاقة من النظام مع تقدم النظام، وهي طاقة لا يمكنك استعادتها. تعتمد هذه القوى على المسار؛ لذلك من المهم أين يبدأ الكائن ويتوقف.

    تعريف: قوة المحافظين

    العمل الذي تقوم به القوة المحافظة مستقل عن المسار؛ بمعنى آخر، العمل الذي تقوم به قوة محافظة هو نفسه لأي مسار يربط بين نقطتين:

    \[W_{AB,\; path-1} = \int_{AB,\; path-1} \vec{F}_{cons} \cdotp d \vec{r} = W_{AB,\; path-2} = \int_{AB,\; path-2} \vec{F}_{cons} \cdotp d \vec{r} \ldotp \label{8.8}\]

    يعتمد العمل الذي تقوم به قوة غير محافظة على المسار المتخذ. وبالمثل، تكون القوة متحفظة إذا كان العمل الذي تقوم به حول أي مسار مغلق هو صفر:

    \[W_{closed\; path} = \oint \vec{E}_{cons} \cdotp d \vec{r} = 0 \ldotp \label{8.9}\]

    في المعادلة\ ref {8.9}، نستخدم رمز الدائرة في منتصف علامة التكامل لخط متكامل فوق مسار مغلق، وهو رمز موجود في معظم النصوص الفيزيائية والهندسية.] المعادلات\ ref {8.8} و\ ref {8.9} متساويتان لأن أي مسار مغلق هو مجموع مسارين: الأول ينتقل من A إلى B، والثاني ينتقل من B إلى A. العمل المنجز على طول المسار من B إلى A هو سالب العمل المنجز على نفس المسار من A إلى B، حيث A و B هما أي نقطتين على المسار المغلق:

    \[\begin{split} 0 = \int \vec{F}_{cons} \cdotp d \vec{r} & = \int_{AB,\; path-1} \vec{F}_{cons} \cdotp d \vec{r} + \int_{BA,\; path-2} \vec{F}_{cons} \cdotp d \vec{r} \\ & = \int_{AB,\; path-1} \vec{F}_{cons} \cdotp d \vec{r} - \int_{AB,\; path-2} \vec{F}_{cons} \cdotp d \vec{r} = 0 \ldotp \end{split}\]

    قد تتساءل عن كيفية إثبات ما إذا كانت القوة محافظة أم لا، نظرًا لأن التعريفات تتضمن جميع المسارات من A إلى B، أو أي وجميع المسارات المغلقة، ولكن للقيام بالتكامل مع العمل، يجب عليك اختيار مسار معين. إحدى الإجابات هي أن العمل المنجز يكون مستقلاً عن المسار إذا كان العمل\(\vec{F} \cdotp d \vec{r}\) المتناهي الصغر عبارة عن فرق دقيق، وهي الطريقة التي كان بها عمل الشبكة متناهية الصغر مساويًا للتفاضل الدقيق للطاقة الحركية\(dW_{net} = m\vec{v}\; \cdotp d\vec{v}= d \frac{1}{2}mv^{2}\)، عندما اشتقنا نظرية الشغل والطاقة في نظرية الشغل والطاقة . هناك شروط رياضية يمكنك استخدامها لاختبار ما إذا كان العمل المتناهي الصغر الذي تقوم به القوة هو فرق دقيق، والقوة متحفظة. تتضمن هذه الشروط التمايز فقط وبالتالي فهي سهلة التطبيق نسبيًا. في بعدين، الشرط لـ\(\vec{F} \cdotp d \vec{r}\) = F x dx + F y dy ليكون تفاضلًا دقيقًا هو

    \[\frac{dF_{x}}{dy} = \frac{dF_{y}}{dx} \ldotp \label{8.10}\]

    قد تتذكر أن العمل الذي أنجزته القوة في المثال 7.2.4 يعتمد على المسار. من أجل تلك القوة،

    \[F_{x} = (5\; N/m)y\; and\; F_{y} = (10\; N/m)x \ldotp\]

    لذلك،

    \[\left(\dfrac{dF_{x}}{dy}\right) = 5\; N/m \neq \left(\dfrac{dF_{y}}{dx}\right) = 10\; N/m,\]

    مما يشير إلى أنها قوة غير محافظة. هل يمكنك رؤية ما يمكنك تغييره لجعلها قوة محافظة؟

    صورة لعجلة طحن قيد الاستخدام.
    الشكل\(\PageIndex{1}\): تستخدم عجلة الطحن قوة غير محافظة، لأن العمل المنجز يعتمد على عدد الدورات التي تقوم بها العجلة، لذلك فهي تعتمد على المسار.
    مثال\(\PageIndex{1}\): Conservative or Not?

    أي من القوى ثنائية الأبعاد التالية متحفظة وأيها ليست كذلك؟ افترض أن a و b هما ثوابت بوحدات مناسبة:

    1. \(axy^{3} \hat{i} + ayx^{3} \hat{j},\)
    2. \(a \left[ \left(\dfrac{y^{2}}{x}\right) \hat{i} + 2y \ln \left(\dfrac{x}{b}\right) \hat{j} \right],\)
    3. \(\frac{ax \hat{i} + ay \hat{j}}{x^{2} + y^{2}}\)

    إستراتيجية

    قم بتطبيق الشرط المذكور في المعادلة\ ref {8.10}، أي باستخدام مشتقات مكونات كل قوة مبينة. إذا كان مشتق المكون y للقوة فيما يتعلق بـ x يساوي مشتق المكون x للقوة فيما يتعلق بـ y، فإن القوة هي قوة محافظة، مما يعني أن المسار المتخذ للطاقة المحتملة أو حسابات العمل يؤدي دائمًا إلى نفس النتائج.

    الحل

    أ:

    \[\frac{dF_{x}}{dy} = \frac{d(axy^{3})}{dy} = 3axy^{2} \nonumber\]

    و

    \[\frac{dF_{y}}{dx} = \frac{d(ayx^{3})}{dx} = 3ayx^{2}, \nonumber\]

    لذا فإن هذه القوة غير محافظة.

    ب:

    \[\frac{dF_{x}}{dy} = \frac{d \left(\dfrac{ay^{2}}{x}\right)}{dy} = \frac{2ay}{x} \nonumber\]

    و

    \[\frac{dF_{y}}{dx} = \frac{d(2ay \ln \left(\dfrac{x}{b}\right))}{dx} = \frac{2ay}{x}, \nonumber\]

    لذا فإن هذه القوة محافظة.

    ج:

    \[\frac{dF_{x}}{dy} = \frac{d \left(\dfrac{ax}{(x^{2} + y^{2})}\right)}{dy} = - \frac{ax(2y)}{(x^{2} + y^{2})^{2}} = \frac{dF_{y}}{dx} = \frac{d \left(\dfrac{ay}{(x^{2} + y^{2})}\right)}{dx },\]

    مرة أخرى متحفظ.

    الدلالة

    الشروط في المعادلة\ ref {8.10} هي مشتقات كدالات لمتغير واحد؛ في ثلاثة أبعاد، توجد شروط مماثلة تتضمن المزيد من المشتقات.

    التمارين\(\PageIndex{1}\)

    القوة المحافظة ثنائية الأبعاد هي صفر على المحورين x و y، وتفي بالشرط\(\left(\dfrac{dF_{x}}{dy}\right) = \left(\dfrac{dF_{y}}{dy}\right)\) = (4 نيوتن/م 3) xy. ما مقدار القوة عند هذه النقطة\(x = y = 1\, m\)؟

    قبل مغادرة هذا القسم، نلاحظ أن القوى غير المحافظة لا تمتلك طاقة كامنة مرتبطة بها لأن الطاقة تضيع في النظام ولا يمكن تحويلها إلى عمل مفيد لاحقًا. لذلك هناك دائمًا قوة محافظة مرتبطة بكل طاقة محتملة. لقد رأينا أن الطاقة الكامنة يتم تحديدها فيما يتعلق بالعمل الذي تقوم به القوى المحافظة. تضمنت هذه العلاقة، المعادلة 8.2.1، جزءًا لا يتجزأ من العمل؛ بدءًا من القوة والإزاحة، اندمجت للحصول على العمل والتغيير في الطاقة الكامنة. ومع ذلك، فإن التكامل هو العملية العكسية للتمايز؛ كان بإمكانك أيضًا البدء بالطاقة الكامنة وأخذ مشتقاتها، فيما يتعلق بالإزاحة، للحصول على القوة. إن الزيادة المتناهية الصغر للطاقة الكامنة هي المنتج النقطي للقوة والإزاحة متناهية الصغر،

    \[dU = - \vec{F}\; \cdotp d \vec{l} = - F_{l}dl \ldotp\]

    هنا، اخترنا تمثيل الإزاحة في اتجاه تعسفي بواسطة d\(\vec{l}\)، حتى لا نقتصر على أي اتجاه إحداثي معين. لقد عبرنا أيضًا عن منتج النقطة من حيث حجم الإزاحة متناهية الصغر ومكون القوة في اتجاهها. هاتان الكميتان قياسيتان، لذا يمكنك القسمة على dl للحصول على

    \[F_{l} = - \frac{dU}{dl} \ldotp \label{8.11}\]

    تعطي هذه المعادلة العلاقة بين القوة والطاقة الكامنة المرتبطة بها. وبعبارة أخرى، فإن مكون القوة المحافظة، في اتجاه معين، يساوي سالب مشتق الطاقة الكامنة المقابلة، فيما يتعلق بالإزاحة في هذا الاتجاه. للحركة أحادية البعد، قل على طول المحور السيني، المعادلة\ ref {8.11} تعطي القوة المتجهة بأكملها،

    \[\bar{F} = F_{x} \hat{i} = - \frac{\partial U}{\partial x} \hat{i} \ldotp\]

    في بعدين،

    \[ \begin{align} \bar{F} &= F_{x} \hat{i} + F_{y} \hat{j} \\[4pt] &= - \left(\dfrac{\partial U}{\partial x}\right) \hat{i} - \left(\dfrac{\partial U}{\partial y}\right) \hat{j} \ldotp \end{align}\]

    من هذه المعادلة، يمكنك أن ترى لماذا المعادلة\ ref {8.11} هي الشرط الذي يجعل العمل تفاضلاً دقيقًا، من حيث مشتقات مكونات القوة. بشكل عام، يتم استخدام ترميز مشتق جزئي. إذا كانت الدالة تحتوي على العديد من المتغيرات، يتم أخذ المشتق فقط من المتغير الذي يحدده المشتق الجزئي. يتم الاحتفاظ بالمتغيرات الأخرى ثابتة. في ثلاثة أبعاد، يمكنك إضافة مصطلح آخر للمكون z، والنتيجة هي أن القوة هي سالب تدرج الطاقة الكامنة. ومع ذلك، لن ننظر إلى أمثلة ثلاثية الأبعاد حتى الآن.

    مثال\(\PageIndex{2}\): Force due to a Quartic Potential Energy

    الطاقة الكامنة لجسيم يمر بحركة أحادية البعد على طول المحور السيني هي

    \[U(x) = \frac{1}{4} cx^{4}, \nonumber\]

    حيث c = 8 نيوتن/م 3. طاقتها الإجمالية عند x = 0 هي 2 J، ولا تخضع لأي قوى غير محافظة. أوجد (أ) المواضع التي تكون فيها طاقة حركته صفرًا و (ب) القوى في تلك المواضع.

    إستراتيجية

    1. يمكننا إيجاد المواضع حيث K = 0، وبالتالي فإن الطاقة الكامنة تساوي الطاقة الكلية للنظام المعطى.
    2. باستخدام Equation\ ref {8.11}، يمكننا إيجاد القوة التي تم تقييمها في المواضع الموجودة من الجزء السابق، حيث يتم الحفاظ على الطاقة الميكانيكية.
    الحل
    1. الطاقة الإجمالية للنظام البالغ 2 J تساوي الطاقة المرنة الرباعية كما هو موضح في المشكلة $2\; J =\ frac {1} {4} (8\; N/M^ {3}) x_ {f} ^ {4}\ ldotP$حل نتائج x f في x f = ± 1 م.
    2. من المعادلة\ المرجع {8.11}، $F_ {x} = -\ frac {dU} {dX} = -cx^ {3}\ ldotp$$ وبالتالي، عند تقييم القوة عند ± 1 متر، نحصل على $$\ vec {F} = - (8\؛ N/M^ {3}) (\ pm 1\؛ م) ^ {3}\ قبعة {i} =\ pm 8\؛ N\ hat {i}\ lDotP$$في كلا الموقعين، يكون حجم القوى هو 8 نيوتن والاتجاهين نحو نقطة الأصل، نظرًا لأن هذا هو الطاقة المحتملة لقوة استعادة.

    الدلالة

    العثور على القوة من الطاقة الكامنة أسهل رياضيًا من إيجاد الطاقة الكامنة من القوة، لأن تمييز الدالة أسهل عمومًا من دمج واحدة.

    التمارين\(\PageIndex{2}\)

    أوجد القوى المؤثِّرة على الجسم في مثال\(\PageIndex{2}\) عندما تكون طاقة حركته ١٫٠ J عند\(x = 0\).