7.2: العمل
- Page ID
- 200023
- تمثل العمل المنجز من قبل أي قوة
- قم بتقييم العمل المنجز لمختلف القوى
في الفيزياء، يمثل العمل نوعًا من الطاقة. يتم العمل عندما تعمل القوة على شيء يخضع للنزوح من موقع إلى آخر. يمكن أن تختلف القوى كدالة للموضع، ويمكن أن تكون عمليات النزوح على طول مسارات مختلفة بين نقطتين. نحدد أولاً زيادة العمل dW الذي تقوم به قوة\(\vec{F}\) تعمل من خلال الإزاحة متناهية الصغر d\(\vec{r}\) كمنتج نقطي لهذين المتجهين:
\[dW = \vec{F} \cdotp d \vec{r} = |\vec{F}||d \vec{r}| \cos \theta \ldotp \label{7.1}\]
بعد ذلك، يمكننا جمع المساهمات في عمليات الترحيل المتناهية الصغر، على طول مسار بين موقعين، للحصول على إجمالي العمل.
العمل الذي تقوم به القوة هو جزء لا يتجزأ من القوة فيما يتعلق بالنزوح على طول مسار النزوح:
\[W_{AB} = \int_{path\; AB} \vec{F} \cdotp d \vec{r} \ldotp \label{7.2}\]
يوضح الشكل المتجهات المشاركة في تعريف العمل الذي تقوم به القوة المؤثرة على الجسيم\(\PageIndex{1}\).
نختار التعبير عن حاصل الضرب النقطي من حيث مقادير المتجهات وجيب التمام للزاوية بينهما، لأن معنى المنتج النقطي للعمل يمكن وضعه في كلمات أكثر مباشرة من حيث المقادير والزوايا. كان بإمكاننا أيضًا التعبير عن منتج النقاط من حيث المكونات المختلفة المقدمة في Vectors. في بعدين، كانت هذه المكونات x- و y في الإحداثيات الديكارتية، أو\(\varphi\) المكونات r- و -في الإحداثيات القطبية؛ في ثلاثة أبعاد، كانت المكونات x- و y- و z فقط. يعتمد الاختيار الأكثر ملاءمة على الموقف. بكلمات، يمكنك التعبير عن المعادلة\ ref {7.1} للعمل الذي أنجزته قوة تؤثر على الإزاحة كمنتج لمكون واحد يعمل بالتوازي مع المكون الآخر. من خصائص المتجهات، لا يهم إذا كنت تأخذ مكون القوة الموازي للإزاحة أو مكون الإزاحة الموازي للقوة - تحصل على نفس النتيجة في كلتا الحالتين.
تذكر أن مقدار القوة مضروبًا في جيب التمام للزاوية التي تصنعها القوة في اتجاه معين هو مكون القوة في الاتجاه المعطى. يمكن أن تكون مكونات المتجه موجبة أو سالبة أو صفرية، اعتمادًا على ما إذا كانت الزاوية بين المتجه واتجاه المكون تتراوح بين 0 درجة و 90 درجة أو 90 درجة و 180 درجة، أو تساوي 90 درجة. ونتيجة لذلك، يمكن أن يكون العمل الذي تقوم به القوة موجبًا أو سلبيًا أو صفرًا، اعتمادًا على ما إذا كانت القوة عمومًا في اتجاه الإزاحة، أو بشكل عام عكس الإزاحة، أو متعامدة مع الإزاحة. يتم تنفيذ الحد الأقصى من العمل بواسطة قوة معينة عندما تكون على طول اتجاه الإزاحة (cos\(\theta\) = ± 1)، ويتم إنجاز العمل الصفري عندما تكون القوة متعامدة مع الإزاحة (cos\(\theta\) = 0).
وحدات العمل هي وحدات القوة مضروبة في وحدات الطول، والتي في نظام SI هي نيوتن في الأمتار، N • m، وتسمى هذه المجموعة بالجول، لأسباب تاريخية سنذكرها لاحقًا، ويتم اختصارها بـ J. في النظام الإنجليزي، الذي لا يزال مستخدمًا في الولايات المتحدة، وحدة القوة هي الجنيه (lb) ووحدة المسافة هي القدم (ft)، وبالتالي فإن وحدة العمل هي رطل القدم (ft • lb).
العمل الذي تقوم به القوى الثابتة وقوى الاتصال
إن أبسط عمل يمكن تقييمه هو العمل الذي تقوم به قوة ثابتة في الحجم والاتجاه. في هذه الحالة، يمكننا حساب القوة؛ التكامل المتبقي هو فقط الإزاحة الكلية، والتي تعتمد فقط على نقطتي النهاية A و B، ولكن ليس على المسار بينهما:
\[W_{AB} = \vec{F} \cdotp \int_{A}^{B} d \vec{r} = \vec{F} \cdotp (\vec{r}_{B} - \vec{r}_{A}) = |\vec{F}||\vec{r}_{B} - \vec{r}_{A}| \cos \theta\; (constant\; force) \ldotp \nonumber\]
يمكننا أيضًا رؤية ذلك عن طريق كتابة المعادلة\ ref {7.2} بالإحداثيات الديكارتية واستخدام حقيقة أن مكونات القوة ثابتة:
\[\begin{split} W_{AB} & = \int_{path\; AB} \vec{F} \cdotp d \vec{r} = \int_{path\; AB} (F_{x} dx + F_{y} dy + F_{z} dz) = F_{x} \int_{A}^{B} dx + F_{y} \int_{A}^{B} dy + F_{z} \int_{A}^{B} dz \\ & = F_{x} (x_{B} - x_{A}) + F_{y} (y_{B} - y_{A}) + F_{z} (z_{B} - z_{A}) = \vec{F} \cdotp (\vec{r}_{B} - \vec{r}_{A}) \ldotp \end{split} \nonumber\]
\(\PageIndex{2a}\)يوضح الشكل شخصًا يمارس قوة ثابتة\(\vec{F}\) على طول مقبض جزازة العشب، مما يجعل الزاوية\(\theta\) أفقية. الإزاحة الأفقية لجزازة العشب، التي تعمل عليها القوة، هي\(\vec{d}\). العمل المنجز على جزازة العشب هو
\[W = \vec{F} \cdotp \vec{d} = Fd \cos \theta,\nonumber \]
وهو ما يوضحه الشكل أيضًا باعتباره المكون الأفقي للقوة مضروبًا في حجم الإزاحة.
\(\PageIndex{2b}\)يوضح الشكل شخصًا يحمل حقيبة. يجب أن يمارس الشخص قوة تصاعدية تساوي في الحجم وزن الحقيبة، لكن هذه القوة لا تعمل، لأن الإزاحة التي تعمل عليها هي صفر. فلماذا تشعر في النهاية بالتعب لمجرد حمل الحقيبة، إذا كنت لا تقوم بأي عمل عليها؟ الإجابة هي أن ألياف العضلات في ذراعك تتقلص وتؤدي دورًا داخل ذراعك، على الرغم من أن القوة التي تمارسها عضلاتك خارجيًا على الحقيبة لا تؤدي أي عمل عليها. (قد يكون جزء من القوة التي تمارسها أيضًا هو التوتر في عظام وأربطة ذراعك، لكن العضلات الأخرى في جسمك ستقوم بعمل للحفاظ على وضع ذراعك.)
في الشكل\(\PageIndex{2c}\)، حيث يسير الشخص الموجود في (ب) أفقيًا بسرعة ثابتة، لا يزال العمل الذي قام به الشخص الموجود على الحقيبة صفرًا، ولكن الآن لأن الزاوية بين القوة المؤثِّرة والإزاحة تساوي 90 درجة (\(\vec{F}\)عموديًا على\(\vec{d}\)) وcos 90° = 0.
ما مقدار الشغل الذي أنجزه الشخص الموضح في الشكل على جزازة العشب\(\PageIndex{2a}\) إذا مارس قوة ثابتة مقدارها ٧٥٫٠ نيوتن بزاوية ٣٥ درجة تحت الأفقي ودفع الجزازة ٢٥٫٠ مترًا على أرض مستوية؟
إستراتيجية
يمكننا حل هذه المشكلة عن طريق استبدال القيم المعطاة في تعريف العمل المنجز على كائن بقوة ثابتة، مذكورة في المعادلة W = Fd cos\(\theta\). يتم إعطاء القوة والزاوية والإزاحة، بحيث يكون العمل W فقط غير معروف.
الحل
معادلة العمل هي
\[W = Fd \cos \theta \ldotp \nonumber \]
يعطي استبدال القيم المعروفة
\[W = (75.0\; N)(25.0\; m) \cos(35.0^{o}) = 1.54 \times 10^{3}\; J \ldotp \nonumber \]
الدلالة
على الرغم من أن الكيلوجول ونصف قد يبدو وكأنه يتطلب الكثير من العمل، إلا أننا سنرى في الطاقة الكامنة والحفاظ على الطاقة أن الأمر يتعلق فقط بنفس القدر من العمل الذي يمكنك القيام به عن طريق حرق سدس غرام من الدهون.
عندما تقص العشب، تعمل قوى أخرى على جزازة العشب إلى جانب القوة التي تمارسها - وهي قوة التلامس للأرض وقوة الجاذبية للأرض. دعونا ننظر في العمل الذي قامت به هذه القوى بشكل عام. بالنسبة لجسم يتحرك على سطح، يكون الإزاحة d\(\vec{r}\) مماسًا للسطح. الجزء من قوة التلامس على الجسم المتعامد مع السطح هو القوة العادية\(\vec{N}\). بما أن جيب التمام للزاوية بين العادي والمماس للسطح يساوي صفرًا، فلدينا
\[dW_{N} = \vec{N} \cdotp d \vec{r} = \vec{0} \ldotp \nonumber \]
لا تعمل القوة العادية أبدًا في ظل هذه الظروف. (لاحظ أنه إذا كان\(\vec{r}\) الإزاحة d يحتوي على مكون نسبي عمودي على السطح، فسيغادر الكائن السطح أو يخترقه، ولن تكون هناك أي قوة اتصال عادية. ومع ذلك، إذا كان الكائن أكثر من مجرد جسيم، وله بنية داخلية، فيمكن لقوة الاتصال العادية العمل عليه، على سبيل المثال، عن طريق إزاحته أو تشويه شكله. سيتم ذكر ذلك في الفصل التالي.)
جزء قوة الاتصال على الجسم الموازي للسطح هو الاحتكاك\(\vec{f}\). بالنسبة لهذا الجسم المنزلق على السطح،\(\vec{f}_{k}\) يكون الاحتكاك الحركي معاكسًا لـ d\(\vec{r}\)، بالنسبة إلى السطح، وبالتالي فإن العمل الذي يتم عن طريق الاحتكاك الحركي يكون سالبًا. إذا كان المقدار\(\vec{f}_{k}\) ثابتًا (كما لو كانت جميع القوى الأخرى على الجسم ثابتة)، فإن العمل الذي يتم عن طريق الاحتكاك هو
\[W_{fr} = \int_{A}^{B} \vec{f}_{k} \cdotp d \vec{r} = - f_{k} \int_{A}^{B} |dr| = - f_{k} |l_{AB}| \ldotp \label{7.3}\]
حيث |l AB | هو طول المسار على السطح. (لاحظ أنه، خاصة إذا كان العمل الذي قامت به القوة سلبيًا، فقد يشير الأشخاص إلى العمل المنجز ضد هذه القوة، حيث dW مقابل = −dW by. يمكن أيضًا النظر إلى العمل المنجز ضد القوة على أنه العمل المطلوب للتغلب على هذه القوة، كما هو الحال في «ما مقدار العمل المطلوب للتغلب على...؟») ومع ذلك، يمكن لقوة الاحتكاك الإستاتيكي القيام بعمل إيجابي أو سلبي. عند المشي، تعمل قوة الاحتكاك الإستاتيكي التي تمارسها الأرض على قدمك الخلفية على تسريعك لجزء من كل خطوة. إذا كنت تتباطأ، فإن قوة الأرض على قدمك الأمامية تبطئ حركتك. إذا كنت تقود سيارتك عند الحد الأقصى للسرعة على امتداد مستقيم ومستوٍ من الطريق السريع، فإن العمل السلبي الناتج عن الاحتكاك الحركي لمقاومة الهواء يتم موازنته بالعمل الإيجابي الذي يقوم به الاحتكاك الساكن للطريق على عجلات القيادة. يمكنك سحب السجادة من تحت جسم ما بطريقة تنزلق للخلف بالنسبة للسجادة، ولكن للأمام بالنسبة للأرضية. في هذه الحالة، يمكن أن يكون الاحتكاك الحركي الذي تمارسه السجادة على الجسم في نفس اتجاه إزاحة الجسم، بالنسبة إلى الأرض، ويؤدي عملًا إيجابيًا. خلاصة القول هي أنك تحتاج إلى تحليل كل حالة معينة لتحديد العمل الذي تقوم به القوى، سواء كانت إيجابية أو سلبية أو صفرية.
قررت نقل الأريكة إلى وضع جديد على أرضية غرفة المعيشة الأفقية. القوة العادية على الأريكة هي 1 كيلو نيوتن ومعامل الاحتكاك هو 0.6. (أ) تقوم أولاً بدفع الأريكة لمسافة 3 أمتار بالتوازي مع الحائط ثم 1 متر عموديًا على الحائط (A إلى B في الشكل\(\PageIndex{3}\)). ما مقدار العمل الذي تقوم به قوة الاحتكاك؟ (ب) لا يعجبك الوضع الجديد، لذلك تقوم بتحريك الأريكة مباشرة إلى موضعها الأصلي (B إلى A في الشكل\(\PageIndex{3}\)). ما إجمالي الجهد المبذول ضد الاحتكاك لتحريك الأريكة بعيدًا عن موضعها الأصلي والعودة مرة أخرى؟
إستراتيجية
مقدار قوة الاحتكاك الحركي على الأريكة ثابت، ويساوي معامل الاحتكاك مضروبًا في القوة العادية، f K =\(\mu_{K}\) N. لذلك، فإن العمل الذي تقوم به هو W fr = −f K d، حيث d هو طول المسار الذي تم اجتيازه. مقاطع المسارات هي جوانب المثلث الأيمن، لذلك يتم حساب أطوال المسارات بسهولة. في الجزء (ب)، يمكنك استخدام حقيقة أن العمل المنجز ضد القوة هو سلبي للعمل الذي تقوم به القوة.
الحل
- العمل المنجز عن طريق الاحتكاك هو $W = − (0.6) (1\; kN) (3\; m + 1\; m) = − 2.4\; kJ\ ldotp\ nonumber $$
- طول المسار على طول الوتر هو\(\sqrt{10}\) m، وبالتالي فإن إجمالي العمل المنجز ضد الاحتكاك هو $W = (0.6) (1\؛ kN) (3\؛ m + 1\؛ m +\ sqrt {10}\؛ م) = 4.3\؛ kJ\ ldotp\ nonumber $$
الدلالة
بدأ المسار الكلي الذي تم تقييم عمل الاحتكاك فيه وانتهى عند نفس النقطة (كان مسارًا مغلقًا)، بحيث كان إجمالي الإزاحة للأريكة صفرًا. ومع ذلك، لم يكن إجمالي العمل صفرًا. والسبب هو أن قوى مثل الاحتكاك تصنف على أنها قوى غير محافظة، أو قوى تبديد، كما نناقش في الفصل التالي.
هل يمكن أن يكون الاحتكاك الحركي قوة ثابتة لجميع المسارات؟
كانت القوة الأخرى على جزازة العشب المذكورة أعلاه هي قوة جاذبية الأرض، أو وزن الجزازة. بالقرب من سطح الأرض، تكون قوة الجاذبية على جسم كتلته m ذات حجم ثابت، وملجم، واتجاه ثابت، رأسيًا لأسفل. لذلك، فإن العمل الذي تقوم به الجاذبية على جسم ما هو المنتج النقطي لوزنه وإزاحته. في كثير من الحالات، يكون من الملائم التعبير عن المنتج النقطي لعمل الجاذبية من حيث المكونات x- و y- و z للمتجهات. يحتوي نظام الإحداثيات النموذجي على المحور السيني الأفقي والمحور y عموديًا لأعلى. ثم قوة الجاذبية هي −mg\(\hat{j}\)، وبالتالي فإن العمل الذي تقوم به الجاذبية، على أي مسار من A إلى B، هو
\[W_{grav,\; AB} = -mg \hat{j} \cdotp (\vec{r}_{B} - \vec{r}_{A}) = -mg (y_{B} - y_{A}) \ldotp \label{7.4}\]
يعتمد العمل الذي تقوم به قوة جاذبية ثابتة على جسم ما فقط على وزن الكائن والفرق في الارتفاع الذي يتم من خلاله إزاحة الكائن. تقوم الجاذبية بعمل سلبي على جسم يتحرك لأعلى (y B> y A)، أو بعبارة أخرى، يجب عليك القيام بعمل إيجابي ضد الجاذبية لرفع جسم لأعلى. بالتناوب، تقوم الجاذبية بعمل إيجابي على جسم يتحرك لأسفل (y B < y A)، أو تقوم بعمل سلبي ضد الجاذبية «لرفع» جسم ما إلى الأسفل، والتحكم في هبوطه حتى لا يسقط على الأرض. (يتم استخدام «الرفع» بدلاً من «الإسقاط».)
يمكنك رفع كتاب مكتبة كبير الحجم، وزنه 20 نيوتن، 1 متر عموديًا لأسفل من الرف، وحمله 3 أمتار أفقيًا إلى طاولة (الشكل\(\PageIndex{4}\)). ما مقدار العمل الذي تقوم به الجاذبية على الكتاب؟ (ب) عند الانتهاء، تقوم بنقل الكتاب في خط مستقيم إلى مكانه الأصلي على الرف. ما إجمالي العمل الذي تم القيام به ضد الجاذبية بنقل الكتاب بعيدًا عن موضعه الأصلي على الرف والعودة إليه مرة أخرى؟
إستراتيجية
لقد رأينا للتو أن العمل الذي تقوم به قوة الجاذبية الثابتة يعتمد فقط على وزن الجسم المتحرك والفرق في الارتفاع للمسار المتخذ، W AB = −mg (Yb − y A). يمكننا تقييم الفرق في الارتفاع للإجابة (أ) و (ب).
الحل
- نظرًا لأن الكتاب يبدأ على الرف ويتم رفعه لأسفل بمقدار B − y A = −1 م، فلدينا $W = − (20\؛ N) (− 1\؛ م) = 20 J\ ldotp\ nonumber$$
- لا يوجد فرق في الارتفاع لأي مسار يبدأ وينتهي في نفس المكان على الرف، لذلك W = 0.
الدلالة
تقوم الجاذبية بعمل إيجابي (20 J) عندما يتحرك الكتاب من الرف. قوة الجاذبية بين جسمين هي قوة جذابة تقوم بعمل إيجابي عندما تقترب الأجسام من بعضها البعض. لا تقوم الجاذبية بأي عمل (0 J) عندما يتحرك الكتاب أفقيًا من الرف إلى الطاولة ويعمل سالبًا (−20 J) عندما ينتقل الكتاب من الطاولة إلى الرف. إجمالي العمل الذي أنجزته الجاذبية هو صفر [20 J + 0 J + (−20 J) = 0].
على عكس الاحتكاك أو القوى التبديدية الأخرى، الموضحة في المثال\(\PageIndex{2}\)، فإن إجمالي العمل المنجز ضد الجاذبية، على أي مسار مغلق، هو صفر. يتم العمل الإيجابي ضد الجاذبية على الأجزاء الصاعدة من المسار المغلق، ولكن يتم إجراء قدر متساوٍ من العمل السلبي ضد الجاذبية في الأجزاء السفلية. وبعبارة أخرى، فإن العمل الذي يتم القيام به ضد الجاذبية، أي رفع الجسم لأعلى، يتم «إرجاعه» عندما يعود الجسم إلى الأسفل. يتم تصنيف قوى مثل الجاذبية (تلك التي لا تعمل مطلقًا على أي مسار مغلق) كقوى محافظة وتلعب دورًا مهمًا في الفيزياء.
هل يمكن أن تكون جاذبية الأرض قوة ثابتة لجميع المسارات؟
العمل الذي تقوم به القوى التي تختلف
بشكل عام، قد تختلف القوى في الحجم والاتجاه عند نقاط في الفضاء، وقد تكون المسارات بين نقطتين منحنية. يمكن التعبير عن العمل المتناهي الصغر الذي تقوم به قوة متغيرة من حيث مكونات القوة والإزاحة على طول المسار،
\[dW = F_{x} dx + F_{y} dy + F_{z} dz \ldotp \nonumber\]
هنا، مكونات القوة هي وظائف الموضع على طول المسار، وتعتمد عمليات الترحيل على معادلات المسار. (على الرغم من أننا اخترنا توضيح dW في الإحداثيات الديكارتية، إلا أن الإحداثيات الأخرى مناسبة بشكل أفضل لبعض المواقف.) تُعرِّف المعادلة\ ref {7.2} إجمالي العمل على أنه تكامل خطي، أو حد مجموع كميات العمل المتناهية الصغر. المفهوم المادي للعمل واضح ومباشر: يمكنك حساب العمل لعمليات النزوح الصغيرة وإضافتها. في بعض الأحيان قد تبدو الرياضيات معقدة، ولكن المثال التالي يوضح كيف يمكن أن تعمل بشكل نظيف.
يتحرك جسم على طول مسار مكافئ y = (0.5 م −1) x 2 من الأصل A = (0، 0) إلى النقطة B = (2 م، 2 م) تحت تأثير قوة\(\vec{F}\) = (5 نيوتن/م) y\(\hat{i}\) + (10 نيوتن/م) x\(\hat{j}\) (الشكل\(\PageIndex{5}\)). احسب العمل المنجز.
إستراتيجية
تُعطى مكونات القوة وظائف x و y. يمكننا استخدام معادلة المسار للتعبير عن y و dy بدلالة x و dx؛ أي
\[y = (0.5\; m^{−1})x^{2}\; and\; dy = 2(0.5\; m^{−1})xdx \ldotp \nonumber\]
ومن ثم، فإن التكامل في العمل هو مجرد جزء لا يتجزأ محدد من دالة x.
الحل
عنصر العمل المتناهي الصغر هو
\[\begin{split} dW & = F_{x} dx + F_{y} dy = (5\; N/m)ydx + (10\; N/m)xdy \\ & = (5\; N/m)(0.5\; m^{−1})x^{2} dx + (10\; N/m)2(0.5\; m^{−1})x^{2} dx = (12.5\; N/m^{2})x^{2} dx \ldotp \end{split} \nonumber\]
جزء لا يتجزأ من x 2 هو\(\frac{x^{3}}{3}\)، لذلك
\[W = \int_{0}^{2\; m} (12.5\; N/m^{2})x^{2} dx = (12.5\; N/m^{2}) \frac{x^{3}}{3} \Bigg|_{0}^{2\; m} = (12.5\; N/m^{2}) \left(\dfrac{8}{3}\right) = 33.3\; J \ldotp \nonumber\]
الدلالة
لم يكن من الصعب القيام بهذا التكامل. يمكنك اتباع نفس الخطوات، كما في هذا المثال، لحساب تكاملات الخطوط التي تمثل العمل للقوى والمسارات الأكثر تعقيدًا. في هذا المثال، تم تقديم كل شيء من حيث مكونات x- و y، وهي أسهل استخدامًا في تقييم العمل في هذه الحالة. في حالات أخرى، قد تكون المقادير والزوايا أسهل.
أوجد الشغل المبذول بنفس القوة في مثال\(\PageIndex{4}\) على مسار مكعب، y = (0.25 م −2) x 3، بين نفس النقطتين A = (0، 0) و B = (2 م، 2 م).
لقد رأيت في المثال\(\PageIndex{4}\) أنه لتقييم تكامل الخط، يمكنك تقليله إلى تكامل عبر متغير أو معلمة واحدة. عادة، هناك عدة طرق للقيام بذلك، والتي قد تكون أكثر أو أقل ملاءمة، اعتمادًا على الحالة الخاصة. على سبيل المثال\(\PageIndex{4}\)، قمنا بتقليل تكامل الخط إلى تكامل عبر x، ولكن كان بإمكاننا أيضًا اختيار تقليل كل شيء إلى دالة y. لم نفعل ذلك لأن الدوال في y تتضمن الجذر التربيعي والأس الكسرية، والتي قد تكون أقل شيوعًا، ولكن لأغراض توضيحية، نقوم بذلك هذا الآن. نحصل على حل لـ x و dx، من حيث y، على طول المسار المكافئ
\[x = \sqrt{\frac{y}{(0.5\; m^{-1})}} = \sqrt{(2\; m)y}\; and\; dx = \sqrt{(2\; m)} \times \frac{1}{2} \frac{dy}{\sqrt{y}} = \frac{dy}{\sqrt{(2\; m^{-1})y} }\ldotp \nonumber\]
مكونات القوة، من حيث y، هي
\[F_{x} = (5\; N/m)y\; and\; F_{y} = (10\; N/m)x = (10\; N/m) \sqrt{(2 m)y}, \nonumber\]
لذلك يصبح عنصر العمل المتناهي الصغر
\[\begin{split} dW & = F_{x} dx + F_{y} dy = \frac{(5\; N/m)y dy}{\sqrt{(2\; m^{-1})y}} + (10\; N/m) \sqrt{(2\; m)y} dy \\ & = (5\; N \cdotp m^{-1/2}) \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}} + 2 \sqrt{2}\right) \sqrt{y} dy = (17.7\; N \cdotp m^{-1/2}) y^{1/2} dy \ldotp \end{split} \nonumber\]
جزء لا يتجزأ من y 1/2 هو\(\frac{2}{3}\) y 3/2، وبالتالي فإن العمل المنجز من A إلى B هو
\[W = \int_{0}^{2\; m} (17.7\; N \cdotp m^{-1/2}) y^{1/2} dy = (17.7\; N \cdotp m^{-1/2}) \frac{2}{3} (2\; m)^{2/3} = 33.3\; J \ldotp \nonumber\]
كما هو متوقع، هذه هي النتيجة نفسها تمامًا كما كانت من قبل.
إحدى القوى المتغيرة المهمة جدًا والقابلة للتطبيق على نطاق واسع هي القوة التي يمارسها زنبرك مرن تمامًا، والذي يفي بقانون هوك\(\vec{F}\) = −k\(\Delta \vec{x}\)، حيث k هو ثابت الزنبرك، و\(\Delta \vec{x}\) =\(\vec{x}\) -\(\vec{x}_{eq}\) هو الإزاحة من وضع الزنبرك غير الممدّد (الاتزان) (قوانين نيوتن للحركة). لاحظ أن الوضع غير الممدد هو نفس موضع التوازن فقط إذا لم تكن هناك قوى أخرى تعمل (أو، إذا كانت كذلك، فإنها تلغي بعضها البعض). القوى بين الجزيئات، أو في أي نظام يخضع لعمليات نزوح صغيرة من توازن مستقر، تتصرف تقريبًا مثل قوة الزنبرك.
لحساب العمل الذي تقوم به قوة زنبركية، يمكننا اختيار المحور السيني على طول الزنبرك، في اتجاه زيادة الطول، كما في الشكل\(\PageIndex{6}\)، مع الأصل عند موضع التوازن x eq = 0. (ثم يتوافق x الموجب مع التمدد و x السالب مع الضغط.) مع هذا الاختيار للإحداثيات، تحتوي قوة الزنبرك على مكون x فقط، F x = −kx، والعمل المنجز عندما تتغير x من x A إلى x B هو
\[W_{spring,\; AB} = \int_{A}^{B} F_{x} dx = - k \int_{A}^{B} xdx = -k \frac{x^{2}}{2} \Big|_{A}^{B} = - \frac{1}{2} k \big( x_{B}^{2} - x_{A}^{2} \big) \ldotp \label{7.5}\]
لاحظ أن W AB يعتمد فقط على نقطتي البداية والنهاية، A و B، وهو مستقل عن المسار الفعلي بينهما، طالما أنه يبدأ عند A وينتهي عند B. أي أن المسار الفعلي يمكن أن يتضمن الانتقال ذهابًا وإيابًا قبل الانتهاء.
شيء آخر مثير للاهتمام يجب ملاحظته حول المعادلة\ ref {7.5} هو أنه في هذه الحالة أحادية البعد، يمكنك بسهولة رؤية التطابق بين العمل الذي تقوم به القوة والمنطقة الواقعة تحت منحنى القوة مقابل إزاحتها. تذكر أن التكامل أحادي البعد، بشكل عام، هو حد مجموع المتناهية الصغر، f (x) dx، التي تمثل مساحة الشرائط، كما هو موضح في الشكل\(\PageIndex{7}\). في المعادلة\ ref {7.5}، بما أن F = −kx هو خط مستقيم ذو ميل −k، فعندما يتم رسمها مقابل x، فإن «المنطقة» تحت الخط هي مجرد مزيج جبري من «المساحات» المثلثية، حيث تكون «المساحات» فوق المحور السيني موجبة وتلك الموجودة أدناه سالبة، كما هو موضح في الشكل\(\PageIndex{8}\). يبلغ حجم إحدى هذه «المناطق» نصف قاعدة المثلث فقط، على طول المحور السيني، مضروبًا في ارتفاع المثلث، على طول محور القوة. (توجد علامات اقتباس حول «المنطقة» لأن هذا المنتج ذو الارتفاع الأساسي يحتوي على وحدات العمل، بدلاً من الأمتار المربعة.)
يتطلب الزنبرك المرن تمامًا 0.54 J من الشغل ليمتد على مسافة 6 سم من موضع الاتزان، كما في الشكل\(\PageIndex{6b}\). (أ) ما هو ثابت زنبركي k؟ (ب) ما مقدار العمل المطلوب لتمديده بمقدار 6 سم إضافي؟
إستراتيجية
العمل «المطلوب» يعني العمل المنجز مقابل قوة الزنبرك، وهو سالب العمل في المعادلة\ ref {7.5}، أي
\[W = \frac{1}{2} k (x_{B}^{2} - x_{A}^{2}) \ldotp \nonumber\]
بالنسبة للجزء (أ)، x A = 0 و x B = 6 سم؛ للجزء (ب)، x B = 6 سم و x B = 12 سم. في الجزء (أ)، يُعطى العمل ويمكنك حله لثابت الزنبرك؛ في الجزء (ب)، يمكنك استخدام قيمة k، من الجزء (أ)، لحل العمل.
الحل
- \ [W = 0.54\؛ J =\ frac {1} {2} ك [(6\؛ سم) ^ {2} - 0]،\؛ هكذا\؛ ك = 3\؛ N/سم\ ldotp\ nonumber$$
- \ [W =\ frac {1} {2} (3\؛ N/سم) [(12\؛ سم) ^ {2} - (6\؛ سم) ^ {2}]،\؛ هكذا\؛ ك = 1.62\؛ J\ ldotp\ nonumber$$
الدلالة
نظرًا لأن العمل الذي تقوم به قوة الزنبرك مستقل عن المسار، فأنت بحاجة فقط إلى حساب الفرق في الكمية\(\frac{1}{2}\) kx 2 عند نقاط النهاية. لاحظ أن الجهد المطلوب لتمديد الزنبرك من 0 إلى 12 سم هو أربعة أضعاف الجهد المطلوب لتمديده من 0 إلى 6 سم، لأن هذا العمل يعتمد على مربع مقدار التمدد الناتج عن الاتزان،\(\frac{1}{2}\) kx 2. في هذه الحالة، فإن العمل على تمديد الزنبرك من 0 إلى 12 سم يساوي أيضًا العمل على مسار مركب من 0 إلى 6 سم متبوعًا بتمديد إضافي من 6 سم إلى 12 سم. لذلك، 4W (0 سم إلى 6 سم) = W (0 سم إلى 6 سم) + W (6 سم إلى 12 سم)، أو W (6 سم إلى 12 سم) = 3W (0 سم إلى 6 سم)، كما وجدنا أعلاه.
\(\PageIndex{5}\)يتم ضغط الزنبرك في المثال بمقدار 6 سم من طول الاتزان. (أ) هل تقوم قوة الزنبرك بعمل إيجابي أو سلبي و (ب) ما هو المقدار؟