6.7: قوة السحب والسرعة النهائية
- Page ID
- 200066
- عبِّر عن قوة السحب رياضيًا
- وصف تطبيقات قوة السحب
- تعريف السرعة النهائية
- أوجد السرعة النهائية لجسم بمعلومية كتلته
قوة أخرى مثيرة للاهتمام في الحياة اليومية هي قوة السحب على جسم عندما يتحرك في سائل (إما غاز أو سائل). تشعر بقوة السحب عند تحريك يدك عبر الماء. قد تشعر به أيضًا إذا قمت بتحريك يدك أثناء الرياح القوية. كلما قمت بتحريك يدك بشكل أسرع، كلما كان من الصعب تحريكها. تشعر بقوة سحب أصغر عند إمالة يدك بحيث يمر الجانب فقط عبر الهواء - لقد قلصت مساحة يدك التي تواجه اتجاه الحركة.
قوى السحب
مثل الاحتكاك، تعارض قوة السحب دائمًا حركة الجسم. على عكس الاحتكاك البسيط، تتناسب قوة السحب مع بعض وظائف سرعة الجسم في هذا السائل. هذه الوظيفة معقدة وتعتمد على شكل الكائن وحجمه وسرعته والسائل الموجود فيه. بالنسبة لمعظم الأجسام الكبيرة مثل راكبي الدراجات والسيارات وكرات البيسبول التي لا تتحرك ببطء شديد،\(F_D\) فإن حجم قوة السحب يتناسب مع مربع سرعة الكائن. يمكننا كتابة هذه العلاقة رياضيًا كـ\(F_D \propto v^2\). عند مراعاة العوامل الأخرى، تصبح هذه العلاقة
\[F_{D} = \frac{1}{2} C \rho A v^{2}, \label{6.5}\]
أين\(C\) معامل السحب،\(A\) هي مساحة الجسم التي تواجه السائل،\(\rho\) وهي كثافة السائل. (تذكر أن الكثافة هي الكتلة لكل وحدة حجم.) يمكن أيضًا كتابة هذه المعادلة بطريقة أكثر عمومية حيث يكون b مكافئًا ثابتًا لـ\(0.5C \rho A\).\(F_D = bv^2\) لقد حددنا الأس n لهذه المعادلات على أنه 2 لأنه عندما يتحرك جسم بسرعة عالية عبر الهواء، فإن مقدار قوة السحب يتناسب مع مربع السرعة. كما سنرى في ميكانيكا الموائع، بالنسبة للجسيمات الصغيرة التي تتحرك بسرعات منخفضة في مائع، فإن الأس n يساوي 1.
تتناسب\(F_D\) قوة السحب مع مربع سرعة الكائن. رياضياً،
\[F_{D} = \frac{1}{2} C \rho A v^{2},\]
أين\(C\) معامل السحب،\(A\) هي مساحة الجسم التي تواجه السائل،\(\rho\) وهي كثافة السائل.
يسعى الرياضيون ومصممو السيارات إلى تقليل قوة السحب لتقليل أوقات السباق (الشكل\(\PageIndex{1A}\)). يمكن أن يؤدي التشكيل الأيروديناميكي للسيارة إلى تقليل قوة السحب وبالتالي زيادة عدد الأميال التي تقطعها السيارة بالغاز. \(C\)يتم تحديد قيمة معامل السحب بشكل تجريبي، وعادة باستخدام نفق الرياح (الشكل\(\PageIndex{1B}\)).
يمكن أن يعتمد معامل السحب على السرعة، لكننا نفترض أنه ثابت هنا. \(\PageIndex{1}\)يسرد الجدول بعض معاملات السحب النموذجية لمجموعة متنوعة من الكائنات. لاحظ أن معامل السحب هو كمية بلا أبعاد. في سرعات الطرق السريعة، يتم استخدام أكثر من 50٪ من طاقة السيارة للتغلب على السحب الهوائي. تبلغ سرعة الانطلاق الأكثر كفاءة في استهلاك الوقود حوالي 70-80 كم/ساعة (حوالي 45-50 ميل/ساعة). لهذا السبب، خلال أزمة النفط في السبعينيات في الولايات المتحدة، تم تحديد السرعات القصوى على الطرق السريعة بحوالي 90 كم/ساعة (55 ميل/ساعة).
| الكائن | ج |
|---|---|
| إيرفويل | 0.05 |
| تويوتا كامري | 0.28 |
| فورد فوكاس | 0.32 |
| هوندا سيفيك | 0.36 |
| فيراري تيستاروسا | 0.37 |
| دودج رام بيك أب | 0.43 |
| اسفير | 0.45 |
| سيارة هامر H2 SUV | 0.64 |
| القفز بالمظلات (القدمين أولاً) | 0.70 |
| دراجة | 0.90 |
| القفز بالمظلات (أفقي) | 1.0 |
| لوحة مسطحة دائرية | 1.12 |
تجري أبحاث كبيرة في عالم الرياضة لتقليل السحب. يتم إعادة تصميم الغمازات الموجودة على كرات الجولف، وكذلك الملابس التي يرتديها الرياضيون. يرتدي متسابقو الدراجات وبعض السباحين والعدائين ملابس داخلية كاملة. ارتدت الأسترالية كاثي فريمان بدلة لكامل الجسم في أولمبياد سيدني 2000 وفازت بميدالية ذهبية في سباق 400 متر. ارتدى العديد من السباحين في أولمبياد بكين 2008 بدلات الجسم (Speedo)؛ ربما يكون ذلك قد أحدث فرقًا في تحطيم العديد من الأرقام القياسية العالمية (الشكل\(\PageIndex{2}\)). يحلق معظم السباحين المتميزين (وراكبي الدراجات) شعر أجسامهم. يمكن أن يكون لمثل هذه الابتكارات تأثير في تقطيع أجزاء من الثانية في السباق، وأحيانًا تحدث فرقًا بين الميدالية الذهبية والميدالية الفضية. إحدى النتائج هي أنه يجب تطوير إرشادات دقيقة ودقيقة باستمرار للحفاظ على سلامة الرياضة.
السرعة الطرفية
تحدث بعض المواقف المثيرة للاهتمام المرتبطة بقانون نيوتن الثاني عند النظر في تأثيرات قوى السحب على جسم متحرك. على سبيل المثال، ضع في اعتبارك سقوط قافز بالمظلات في الهواء تحت تأثير الجاذبية. القوتان اللتان تؤثران عليه هما قوة الجاذبية وقوة السحب (تجاهل قوة الطفو الصغيرة). تظل قوة الجاذبية الهابطة ثابتة بغض النظر عن السرعة التي يتحرك بها الشخص. ومع ذلك، مع زيادة سرعة الشخص، يزداد حجم قوة السحب حتى يصبح حجم قوة السحب مساويًا لقوة الجاذبية، مما ينتج قوة صافية قدرها صفر. القوة الصافية الصفرية تعني عدم وجود عجلة، كما هو موضح في قانون نيوتن الثاني. في هذه المرحلة، تظل سرعة الشخص ثابتة ونقول أن الشخص قد وصل إلى سرعته النهائية (\(v_T\)). نظرًا\(F_D\) لأنه يتناسب مع مربع السرعة، يجب أن يسير لاعب القفز بالمظلات الأثقل بشكل أسرع حتى يتساوى F D مع وزنه. دعونا نرى كيف يعمل هذا بشكل كمي أكثر.
عند السرعة النهائية،
\[F_{net} = mg - F_{D} = ma = 0 \ldotp\]
وهكذا،
\[mg = F_{D} \ldotp\]
باستخدام معادلة قوة السحب، لدينا
\[mg = \frac{1}{2} C \rho A v_{T}^{2} \ldotp\]
نحصل على حل للسرعة
\[v_{T} = \sqrt{\frac{2mg}{\rho CA}} \ldotp\]
افترض أن كثافة الهواء هي\(\rho\) = 1.21 كجم/م 3. يبلغ طول الرأس الهابط لقافز القفز بالمظلات الذي يبلغ وزنه 75 كجم أولًا مساحة مقطعية تبلغ تقريبًا A = 0.18 م 2 ومعامل سحب يساوي تقريبًا C = 0.70. نجد ذلك
\[v_{T} = \sqrt{\frac{2(75\; kg)(9.80\; m/s^{2})}{(1.21\; kg/m^{3})(0.70)(0.18\; m^{2})}} = 98\; m/s = 350\; km/h \ldotp\]
وهذا يعني أن لاعب القفز بالمظلات الذي يبلغ وزنه 75 كجم يحقق سرعة نهائية تبلغ حوالي 350 كم/ساعة أثناء السفر في وضع البايك (الرأس أولاً)، مما يقلل من المساحة وسحبه. في وضع النسر المنتشر، قد تنخفض هذه السرعة النهائية إلى حوالي 200 كم/ساعة مع زيادة المساحة. تصبح هذه السرعة النهائية أصغر بكثير بعد فتح المظلة.
أوجد السرعة النهائية لقافز بالمظلات وزنه ٨٥ كجم ويسقط في وضع النسر المنتشر.
إستراتيجية
عند السرعة النهائية،\(F_{net} = 0\). وبالتالي، يجب أن تساوي قوة السحب على القفز بالمظلات قوة الجاذبية (وزن الشخص). باستخدام معادلة قوة السحب، نجد\(mg = \frac{1}{2} \rho C A v^{2}\).
الحل
\(v_T\)يمكن كتابة السرعة النهائية على النحو
\[v_{T} = \sqrt{\frac{2mg}{\rho CA}} = \sqrt{\frac{2(85\; kg)(9.80\; m/s^{2})}{(1.21\; kg/m^{3})(1.0)(0.70\; m^{2})}} = 44\; m/s \ldotp\]
الأهمية
تتوافق هذه النتيجة مع قيمة v T المذكورة سابقًا. كانت السرعة النهائية لقافز القفز بالمظلات الذي يبلغ وزنه 75 كجم أولًا هي v T = 98 m/s، وكان وزنه أقل ولكن كانت مساحته الأمامية أصغر وبالتالي كانت قوة السحب أصغر بسبب الهواء.
أوجد السرعة النهائية لقافز بالمظلات وزنه ٥٠ كجم وهو يسقط بطريقة النسر المنتشر.
يمثل حجم الجسم الذي يسقط عبر الهواء تطبيقًا آخر مثيرًا للاهتمام لسحب الهواء. إذا سقطت من فرع شجرة يبلغ ارتفاعه 5 أمتار، فمن المحتمل أن تتأذى - ربما تتعرض لكسر في العظام. ومع ذلك، فإن السنجاب الصغير يفعل ذلك طوال الوقت، دون أن يتأذى. لا تصل إلى السرعة النهائية في مثل هذه المسافة القصيرة، لكن السنجاب يفعل ذلك.
الاقتباس التالي المثير للاهتمام عن حجم الحيوان والسرعة النهائية مأخوذ من مقال عام 1928 لعالم الأحياء البريطاني، جيه بي إس هالدين، بعنوان «حول الحجم الصحيح».
«بالنسبة للماوس وأي حيوان أصغر، لا تمثل [الجاذبية] أي مخاطر عمليًا. يمكنك إسقاط الماوس أسفل عمود منجم يبلغ طوله ألف ياردة؛ وعند وصوله إلى الأسفل، يتعرض لصدمة خفيفة ويمشي بعيدًا، بشرط أن تكون الأرض ناعمة إلى حد ما. يُقتل فأر، ويكسر رجل، ويرش حصان. لأن المقاومة التي يقدمها الهواء للحركة تتناسب مع سطح الجسم المتحرك. اقسم طول الحيوان وعرضه وارتفاعه على عشرة؛ وينخفض وزنه إلى جزء من ألف، بينما يقل سطحه إلى جزء من مائة فقط. لذا فإن مقاومة السقوط في حالة الحيوان الصغير أكبر بعشر مرات نسبيًا من القوة الدافعة».
لا يستمر الاعتماد التربيعي أعلاه لسحب الهواء على السرعة إذا كان الجسم صغيرًا جدًا، أو كان بطيئًا جدًا، أو في وسط أكثر كثافة من الهواء. ثم نجد أن قوة السحب تتناسب فقط مع السرعة. يتم إعطاء هذه العلاقة بموجب قانون ستوكس.
بالنسبة لجسم كروي يسقط في وسط، تكون قوة السحب هي
\[F_{s} = 6 \pi r \eta v, \label{6.6}\]
أين\(r\) نصف قطر الجسم،\(\eta\) هو لزوجة السائل، وسرعة\(v\) الجسم.
يتم توفير أمثلة جيدة لقانون ستوكس من خلال الكائنات الحية الدقيقة وحبوب اللقاح وجزيئات الغبار. نظرًا لأن كل من هذه الأجسام صغير جدًا، نجد أن العديد من هذه الأجسام تنتقل دون مساعدة فقط بسرعة ثابتة (طرفية). يمكن أن تكون السرعات النهائية للبكتيريا (الحجم حوالي\ (1\,\ mu m) حوالي\ (2\,\ mu m/s). للتحرك بسرعة أكبر، تسبح العديد من البكتيريا باستخدام السوط (عضيات على شكل ذيول صغيرة) تعمل بمحركات صغيرة مدمجة في الخلية.
يمكن أن تتحرك الرواسب في البحيرة بسرعة طرفية أكبر (حوالي 5\(\mu\) م/ث)، لذلك قد يستغرق الأمر أيامًا حتى تصل إلى قاع البحيرة بعد ترسبها على السطح.
إذا قارنا الحيوانات التي تعيش على الأرض بتلك الموجودة في الماء، يمكنك أن ترى كيف أثر السحب على التطور. يتم تبسيط شكل الأسماك والدلافين وحتى الحيتان الضخمة لتقليل قوى السحب. الطيور هي أنواع مبسطة وغالبًا ما تتمتع الأنواع المهاجرة التي تطير لمسافات كبيرة بسمات خاصة مثل الرقاب الطويلة. تطير قطعان الطيور على شكل رأس حربة حيث يشكل القطيع نمطًا مبسطًا (الشكل\(\PageIndex{3}\)). في البشر، أحد الأمثلة المهمة على التبسيط هو شكل الحيوانات المنوية، التي تحتاج إلى أن تكون فعالة في استخدامها للطاقة.
في عروض المحاضرات، نقوم بقياسات قوة السحب على أشياء مختلفة. يتم وضع الكائنات في تيار هوائي موحد تم إنشاؤه بواسطة مروحة. احسب رقم رينولدز ومعامل السحب.
فيديو\(\PageIndex{1}\): ميكانيكا الموائع - قوة السحب - محاكاة التدفق
حساب التفاضل والتكامل لقوى الاحتكاك المعتمدة على السرعة
عندما ينزلق جسم على سطح ما، تكون قوة الاحتكاك عليه ثابتة تقريبًا وتُعطى\(\mu_{k}N\). لسوء الحظ، لا تتصرف قوة الاحتكاك على الجسم الذي يتحرك عبر سائل أو غاز بهذه البساطة. تعد قوة السحب هذه عمومًا دالة معقدة لسرعة الجسم. ومع ذلك، بالنسبة لجسم يتحرك في خط مستقيم بسرعات معتدلة عبر سائل مثل الماء، يمكن غالبًا تقريب قوة الاحتكاك بواسطة
\[f_{R} = -bv,\]
حيث b هو ثابت تعتمد قيمته على أبعاد وشكل الجسم وخصائص السائل،\(v\) وهو سرعة الجسم. هناك حالتان يمكن فيهما تمثيل قوة الاحتكاك في هذه المعادلة وهما زورق آلي يتحرك عبر الماء وجسم صغير يسقط ببطء عبر سائل.
دعونا نفكر في سقوط الجسم من خلال سائل. يوضح الشكل مخطط الجسم الحر لهذا الكائن مع الاتجاه الإيجابي لأسفل\(\PageIndex{4}\). يعطي قانون نيوتن الثاني في الاتجاه الرأسي المعادلة التفاضلية
\[mg - bv = m \frac{dv}{dt},\]
حيث كتبنا التسارع كـ\(\frac{dv}{dt}\). مع زيادة v،\(–bv\) تزداد قوة الاحتكاك حتى تتطابق مع mg. عند هذه النقطة، لا يوجد تسارع وتبقى السرعة ثابتة عند السرعة النهائية v T. من المعادلة السابقة،
\[mg - bv_{T} = 0,\]
وبالتالي
\[v_{T} = \frac{mg}{b} \ldotp\]
يمكننا إيجاد سرعة الجسم من خلال دمج المعادلة التفاضلية لـ\(v\). أولاً، نعيد ترتيب المصطلحات في هذه المعادلة للحصول عليها
\[\frac{dv}{g- \left(\dfrac{b}{m}\right)v} = dt \ldotp \label{eq20}\]
بافتراض أنه\(v = 0\) عند\ 9t = 0\)، ينتج تكامل المعادلة\ ref {eq20}
\[\int_{0}^{v} \frac{dv'}{g- \left(\dfrac{b}{m}\right)v'} = \int_{0}^{t} dt',\]
أو
\[- \frac{m}{b} \ln \left(g - \dfrac{b}{m} v' \right) \Bigg|_{0}^{v} = t' \big|_{0}^{t} ,\]
أين\(v'\)\(t'\) هي المتغيرات الوهمية للتكامل. مع الحدود المعطاة، نجد
\[- \frac{m}{b} [ \ln \left(g - \dfrac{b}{m} v \right) - \ln g] = t \ldotp\]
\(\ln A − \ln B = \ln (\left(\frac{A}{B}\right)\)بما أننا\(e^x = \dfrac{A}{B}\) نحصل على\(\ln (\left(\frac{A}{B}\right) = x\)
\[\frac{g - \left(\dfrac{bv}{m}\right)}{g} = e^{- \frac{bt}{m}},\]
و
\[v = \frac{mg}{b} \big( 1 - e^{- \frac{bt}{m}} \big) \ldotp\]
لاحظ أنه عند t →\(\infty\)، v →\(\frac{mg}{b}\) = v T، وهي السرعة النهائية.
يمكن العثور على الموضع في أي وقت من خلال دمج معادلة v. مع v =\(\frac{dy}{dt}\)،
\[dy = \frac{mg}{b} \big( 1 - e^{- \frac{bt}{m}} \big)dt \ldotp\]
بافتراض y = 0 عندما t = 0،
\[\int_{0}^{y} dy' = \frac{mg}{b} \int_{0}^{t} \big( 1 - e^{- \frac{bt}{m}} \big)dt',\]
الذي يتكامل مع
\[y = \frac{mg}{b} t + \frac{m^{2}g}{b^{2}} \big( e^{- \frac{bt}{m}} - 1 \big) \ldotp\]
يتحرك زورق آلي عبر بحيرة بسرعة v 0 عندما يتجمد محركه فجأة ويتوقف. ثم يتباطأ القارب تحت قوة الاحتكاك\(f_R = −bv\).
- ما سرعة القارب وموضعه كدالة للوقت؟
- إذا تباطأ القارب من 4.0 إلى 1.0 متر/ثانية خلال 10 ثوانٍ، فما المسافة التي يقطعها قبل توقفه؟
الحل
- مع توقف المحرك، تكون القوة الأفقية الوحيدة على القارب هي f R = −bv، لذلك من قانون نيوتن الثاني، $$m\ frac {dv} {dt} = -bv، $$والذي يمكننا كتابته كـ $$\ frac {dv} {v} = -\ frac {b} {m} dt\ lDotP$$دمج هذه المعادلة بين الوقت صفر عندما تكون السرعة v 0 والوقت t عندما السرعة هي v، لدينا $$\ int_ {0} ^ {v}\ frac {dv '} {v'} {v '} = -\ frac {b} {m}\ int_ {0} ^ {t} dt'\ ldotp$$ وهكذا، $$\ ln\ frac {v} {v_ {0}} = -\ frac {b} {b} {b} {b} {m} {t} t}، منذ LNA = x يعني e x = A، يمكننا كتابة هذا كـ $v = v_ {0} e^ {-\ frac {bt} {m}}\ lDotP$$الآن من تعريف السرعة، $$\ frac {dx} {dt} = v_ {0} e^ {-\ frac {bt} {m}}، $$لذلك لدينا $$dx = v_ {0} e^ {-\ frac {bt} {m} {m} dt\ ldotP$$مع المركز الأولي صفر، لدينا $$\ int_ {0} ^ {x} dx = v_ {0} = v_ {0}\ int_ {\ frac {0} = v_ {0}\ int_ {\ frac {bt'} {m} dt'، $$و $$x = -\ frac {mv_ {0}} {ب} e^ {-\ frac {bt} {م}}\ كبير |_ {0} ^ {t} =\ frac {mv_ {0} {b}\ كبير (1 - e^ {-\ frac {m}} {m}}\ كبير) $$AS يزداد الوقت،\(e^{- \frac{bt}{m}}\) ← 0، ويقترب موضع القارب من القيمة المقيدة $x_ {max} =\ frac {mv_ {0}} {b}\ ldotP$على الرغم من أن هذا يخبرنا أن القارب يستغرق قدرًا لا نهائيًا من الوقت للوصول إلى x max، إلا أن القارب يتوقف فعليًا بعد وقت معقول. على سبيل المثال، في t =\(\frac{10m}{b}\)، لدينا $$v = v_ {0} e^ {-10}\ simeq 4.5\ مرات 10^ {-5} v_ {0}، $$بينما لدينا أيضًا $$x = x_ {ماكس}\ كبير (1 - e^ {-10}\ كبير)\ simeq 0.99995x_ {max}\ ldotP$$لذلك، وصلت سرعة القارب وموقعه بشكل أساسي إلى نهائيتهما القيم.
- مع v 0 = 4.0 م/ث و v = 1.0 م/ث، لدينا 1.0 متر/ثانية = (4.0 م/ث)\(e^{(- \frac{bt}{m})(10\; s)}\)، وبالتالي $\ ln 0.25 = -\ ln 4.0 = -\ frac {b} {م} (10\; s), $$و $$\ frac {b} {م} =\ فراك {1} {10}\ ln 4.0\ s^ {-1} = 0.14\; s^ {1}\ LdotP$$الآن الوضع المحدد للقارب هو $x_ {max} =\ frac {mv_ {0}} {b} =\ frac {4.0\; m/s} {0.14\; s^ {-1}} = 29\;\ ldotp $$
الأهمية
في كلا المثالين السابقين، وجدنا قيمًا «محدودة». السرعة النهائية هي نفس السرعة المحددة، وهي سرعة الجسم الساقط بعد مرور وقت طويل (نسبيًا). وبالمثل، فإن المسافة المحددة للقارب هي المسافة التي سيقطعها القارب بعد مرور فترة طويلة من الوقت. نظرًا لخصائص الانحلال الأسي، فإن الوقت المستغرق للوصول إلى أي من هذه القيم ليس في الواقع طويلًا جدًا (بالتأكيد ليس مقدارًا غير محدود من الوقت!) ولكن يتم العثور عليها بسرعة من خلال اتخاذ الحد إلى ما لا نهاية.
لنفترض أن القوة المقاومة للهواء على القفز بالمظلات يمكن تقريبها\(f = −bv^2\). إذا كانت السرعة النهائية لقافز قفز جوي وزنه ١٠٠ كجم تساوي ٦٠ م/ث، فما قيمة b؟