3.8: إيجاد السرعة والإزاحة من التسارع

Last updated
Save as PDF

Page ID: 199813

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

أهداف التعلم

اشتقاق المعادلات الحركية للعجلة الثابتة باستخدام حساب التفاضل والتكامل.
استخدم الصيغة المتكاملة للمعادلات الحركية في تحليل الحركة.
أوجد الشكل الوظيفي للسرعة مقابل الزمن بمعلومية دالة التسارع.
أوجد الشكل الوظيفي للموضع مقابل الوقت بمعلومية دالة السرعة.

يفترض هذا القسم أن لديك خلفية كافية في حساب التفاضل والتكامل لتكون على دراية بالتكامل. في السرعة اللحظية والسرعة والتسارع المتوسط والفوري، قدمنا الوظائف الحركية للسرعة والتسارع باستخدام المشتق. من خلال أخذ مشتق دالة الموضع وجدنا دالة السرعة، وبالمثل من خلال أخذ مشتق دالة السرعة وجدنا دالة التسارع. باستخدام حساب التفاضل والتكامل، يمكننا العمل للخلف وحساب دالة السرعة من دالة التسارع، ودالة الموضع من دالة السرعة.

المعادلات الحركية من حساب التفاضل والتكامل

لنبدأ بجسيم ذي تسارع a (t) هو دالة معروفة للوقت. بما أن المشتق الزمني لدالة السرعة هو التسارع،

\[\frac{d}{dt} v(t) = a(t),\]

يمكننا أن نأخذ التكامل غير المحدود لكلا الجانبين، حيث نجد

\[\int \frac{d}{dt} v(t) dt = \int a(t) dt + C_{1},\]

حيث C ₁ هو ثابت التكامل. نظرًا لأن$\int \frac{d}{dt} v(t) dt = v(t)$ السرعة تُعطى بواسطة

\[v(t) = \int a(t) dt + C_{1} \ldotp \label{3.18}\]

وبالمثل، فإن المشتق الزمني لدالة الموضع هو دالة السرعة،

\[\frac{d}{dt} x(t) = v(t) \ldotp\]

وبالتالي، يمكننا استخدام نفس التلاعب الرياضي الذي استخدمناه للتو ووجدناه

\[x(t) = \int v(t) dt + C_{2}, \label{3.19}\]

حيث C ₂ هو الثابت الثاني للتكامل.

يمكننا استخلاص المعادلات الحركية لعجلة ثابتة باستخدام هذه التكاملات. باستخدام a (t) = a، وهو ثابت، والقيام بالتكامل في المعادلة\ ref {3.18}، نجد

\[v(t) = \int a dt + C_{1} = at + C_{1} \ldotp\]

إذا كانت السرعة الأولية هي v (0) = v ₀، إذن

\[v_{0} = 0 + C_{1} \ldotp\]

ثم C ₁ = v ₀ و

\[v(t) = v_{0} + at,\]

وهي المعادلة 3.5.12. استبدال هذا التعبير في المعادلة\ ref {3.19} يعطي

\[x(t) = \int (v_{0} + at) dt + C_{2} \ldotp\]

عند القيام بالتكامل، نجد

\[x(t) = v_{0} t + \frac{1}{2} at^{2} + C_{2} \ldotp\]

إذا كان x (0) = x ₀، فلدينا

\[x_{0} = 0 + 0 + C_{2} \ldotp\]

لذلك، C ₂ = x ₀. بالعودة إلى المعادلة لـ x (t)، لدينا أخيرًا

\[x(t) = x_{0} + v_{0} t + \frac{1}{2} at^{2} \ldotp\]

وهي المعادلة 3.5.17.

مثال 3.17: حركة زورق آلي

يتحرك زورق آلي بسرعة ثابتة مقدارها ٥٫٠ م/ث عندما يبدأ في التباطؤ للوصول إلى رصيف الميناء. التسارع هو a (t) =$-\frac{1}{4}$ t m/s ². (أ) ما هي دالة السرعة للزورق البخاري؟ (ب) في أي وقت تصل السرعة إلى الصفر؟ (ج) ما هي وظيفة تحديد موقع الزورق البخاري؟ (د) ما مقدار إزاحة الزورق البخاري من الوقت الذي يبدأ فيه التباطؤ إلى السرعة صفر؟ (هـ) رسم بياني لوظائف السرعة والموقع.

إستراتيجية

(أ) للحصول على دالة السرعة، يجب علينا دمج واستخدام الشروط الأولية للعثور على ثابت التكامل. (ب) نضبط دالة السرعة التي تساوي الصفر ونحل لـ t. (ج) وبالمثل، يجب أن ندمج لإيجاد دالة الموضع واستخدام الشروط الأولية للعثور على ثابت التكامل. (د) نظرًا لأن الموضع الأولي يعتبر صفرًا، يتعين علينا فقط تقييم دالة الموضع عند t = 0.

الحل

نحن نعتبر t = 0 هو الوقت الذي يبدأ فيه القارب في التباطؤ.

من الشكل الوظيفي للتسارع يمكننا حل المعادلة\ المرجع {3.18} للحصول على v (t): $v (t) =\ int a (t) dt+ C_ {1} =\ int -\ frac {1} {4} tdt + C_ {1} = -\ frac {1} {1} {1} {1} {1} t = 0 لدينا v (0) = 5.0 م/ث = 0 + C ₁، لذلك C ₁ = 5.0 م/ث أو v (t) = 5.0 م/ث -$\frac{1}{8}$ t ².
v (t) = 0 = 5.0 م/ث -$\frac{1}{8}$ t ² (\ السهم الأيمن\) t = 6.3 ثانية
حل المعادلة\ المرجع {3.19}: $x (t) =\ int v (t) dt+ C_ {2} =\ int (5.0 -\ frac {1} {8} t^ {2}) dt+ C_ {2} = 5.0t -\ frac {1} {24} t^ {3} + C_ {2}\ lDotp $عند t = 0، وضعنا (x 0) = _{0 = x 0}، نظرًا لأننا مهتمون فقط بالإزاحة من الوقت الذي يبدأ فيه القارب في التباطؤ. لدينا $x (0) = 0 = C_ {2}\ lDotP$$لذلك، فإن معادلة الموضع هي $x (t) = 5.0t -\ frac {1} {24} t^ {3}\ ldotp$$
نظرًا لأن الموضع الأولي يعتبر صفرًا، يتعين علينا فقط تقييم x (t) عندما تكون السرعة صفرًا. يحدث هذا عند t = 6.3 ثانية. لذلك، تكون الإزاحة $x (6.3) = 5.0 (6.3) −\ frac {1} {24} (6.3) ^ {3} = 21.1\؛ m\ ldotp$$

الرسم البياني A هو مخطط للسرعة بالأمتار في الثانية كدالة للوقت بالثواني. تبلغ السرعة خمسة أمتار في الثانية في البداية وتنخفض إلى الصفر. الرسم البياني B عبارة عن مخطط للموضع بالأمتار كدالة للوقت بالثواني. يكون الموضع صفرًا في البداية، ويزيد ليصل إلى الحد الأقصى بين ست وسبع ثوانٍ، ثم يبدأ في الانخفاض. — الشكل$\PageIndex{1}$: (أ) سرعة الزورق الآلي كدالة للوقت. يخفّض الزورق البخاري سرعته إلى الصفر خلال 6.3 ثوانٍ، وفي أوقات أكبر من ذلك، تصبح السرعة سالبة، بمعنى أن القارب يعكس اتجاهه. (ب) موقع الزورق الآلي كدالة للوقت. عند t = 6.3 ثانية، تكون السرعة صفرًا وتوقف القارب. في أوقات أكبر من ذلك، تصبح السرعة سالبة - بمعنى أنه إذا استمر القارب في التحرك بنفس التسارع، فإنه يعكس الاتجاه ويتجه مرة أخرى نحو المكان الذي نشأ فيه.

الأهمية

تكون دالة التسارع خطية في الوقت المناسب، لذا فإن التكامل يتضمن كثيرات الحدود البسيطة. في الشكل$\PageIndex{1}$، نرى أنه إذا قمنا بتوسيع الحل إلى ما وراء النقطة التي تكون فيها السرعة صفرًا، فإن السرعة تصبح سالبة ويعكس القارب اتجاهه. يخبرنا هذا أن الحلول يمكن أن تزودنا بمعلومات خارج نطاق اهتمامنا المباشر ويجب أن نكون حذرين عند تفسيرها.

التمرين 3.8

يبدأ الجسيم من السكون وله وظيفة تسريع$a(t)=\left(5-\left(10 \frac{1}{s}\right) t\right) \frac{m}{s^{2}}$. (أ) ما هي دالة السرعة؟ (ب) ما هي وظيفة الوظيفة؟ (ج) متى تكون السرعة صفر؟