3.7: السقوط الحر

أهداف التعلم

• استخدم المعادلات الحركية مع المتغيرات y و g لتحليل حركة السقوط الحر.
• وصف كيفية تغير قيم الموضع والسرعة والتسارع أثناء السقوط الحر.
• حل الموضع والسرعة والتسارع كدالة للوقت عندما يكون الجسم في حالة سقوط حر.

يُطلق على أحد التطبيقات المثيرة للاهتمام للمعادلة 3.3.2 من خلال المعادلة 3.5.22 اسم السقوط الحر، والذي يصف حركة جسم يسقط في مجال الجاذبية، مثل بالقرب من سطح الأرض أو الأجسام السماوية الأخرى ذات الحجم الكوكبي. لنفترض أن الجسم يسقط في خط مستقيم عمودي على السطح، لذا فإن حركته أحادية البعد. على سبيل المثال، يمكننا تقدير عمق عمود المنجم العمودي عن طريق إسقاط صخرة فيه والاستماع إلى الصخرة لتصل إلى القاع. لكن «السقوط»، في سياق السقوط الحر، لا يعني بالضرورة أن الجسم يتحرك من ارتفاع أكبر إلى ارتفاع أقل. إذا ألقيت كرة لأعلى، فإن معادلات السقوط الحر تنطبق بالتساوي على صعودها وهبوطها.

الجاذبية

الحقيقة الأكثر روعة وغير المتوقعة عن الأجسام الساقطة هي أنه إذا كانت مقاومة الهواء والاحتكاك ضئيلين، ففي موقع معين تسقط جميع الأجسام باتجاه مركز الأرض بنفس التسارع المستمر، بغض النظر عن كتلتها. هذه الحقيقة المحددة تجريبيًا غير متوقعة لأننا معتادون جدًا على تأثيرات مقاومة الهواء والاحتكاك لدرجة أننا نتوقع أن تسقط الأجسام الخفيفة بشكل أبطأ من الأجسام الثقيلة. حتى أثبت غاليليو غاليلي (1564-1642) خلاف ذلك، اعتقد الناس أن الجسم الأثقل يتسارع بشكل أكبر في السقوط الحر. نحن نعلم الآن أن هذا ليس هو الحال. في حالة عدم وجود مقاومة للهواء، تصل الأجسام الثقيلة إلى الأرض في نفس الوقت الذي تصل فيه الأجسام الخفيفة عند إسقاطها من نفس الارتفاع\(\PageIndex{1}\).

الشكل\(\PageIndex{1}\): تسقط المطرقة والريشة بنفس التسارع المستمر إذا كانت مقاومة الهواء ضئيلة. هذه سمة عامة للجاذبية لا تنفرد بها الأرض، كما أظهر رائد الفضاء ديفيد آر سكوت في عام 1971 على سطح القمر، حيث يبلغ التسارع من الجاذبية 1.67 ^{متر/ثانية} فقط ولا يوجد غلاف جوي.

في العالم الحقيقي، يمكن أن تتسبب مقاومة الهواء في سقوط جسم أخف وزنًا بشكل أبطأ من جسم أثقل من نفس الحجم. تصل كرة التنس إلى الأرض بعد سقوط كرة بيسبول في نفس الوقت. (قد يكون من الصعب ملاحظة الفرق إذا لم يكن الارتفاع كبيرًا.) تعارض مقاومة الهواء حركة الجسم عبر الهواء، كما أن الاحتكاك بين الأشياء - مثل بين الملابس ومزلق الغسيل أو بين الحجر وحوض السباحة الذي يتم إسقاطه فيه - يعارض أيضًا الحركة بينهما.

بالنسبة للحالات المثالية لهذه الفصول القليلة الأولى، يُعرّف الجسم الساقط دون مقاومة الهواء أو الاحتكاك بأنه في حالة سقوط حر. تتسبب قوة الجاذبية في سقوط الأشياء باتجاه مركز الأرض. لذلك فإن تسارع الأجسام الساقطة بحرية يسمى التسارع بسبب الجاذبية. التسارع الناتج عن الجاذبية ثابت، مما يعني أنه يمكننا تطبيق المعادلات الحركية على أي جسم ساقط حيث تكون مقاومة الهواء والاحتكاك ضئيلة. هذا يفتح لنا فئة واسعة من المواقف المثيرة للاهتمام.

التسارع الناتج عن الجاذبية مهم جدًا لدرجة أن حجمه يُعطى رمزه الخاص، g. وهو ثابت في أي موقع معين على الأرض وله القيمة المتوسطة

\[g = 9.81\; m/s^{2}\; (or\; 32.2\; ft/s^{2}) \ldotp\]

على الرغم من أن g تتراوح من 9.78 م/ث ² إلى 9.83 م/ث ²، اعتمادًا على خط العرض والارتفاع والتكوينات الجيولوجية الأساسية والتضاريس المحلية، دعونا نستخدم قيمة متوسطة قدرها 9.8 متر/ثانية ^{2 مقربًا} إلى رقمين مهمين في هذا النص ما لم يُنص على خلاف ذلك. بتجاهل هذه التأثيرات على قيمة g نتيجة الموقع على سطح الأرض، وكذلك التأثيرات الناتجة عن دوران الأرض، فإننا نأخذ اتجاه التسارع بسبب الجاذبية إلى الأسفل (نحو مركز الأرض). في الواقع، يحدد اتجاهه ما نسميه الرأسي. لاحظ أن ما إذا كان التسارع a في المعادلات الحركية له القيمة +g أو −g يعتمد على كيفية تعريف نظام الإحداثيات الخاص بنا. إذا حددنا الاتجاه التصاعدي على أنه إيجابي، فإن a = −g = −9.8 m/s ²، وإذا حددنا الاتجاه الهبوطي على أنه إيجابي، فإن a = g = 9.8 m/s ².

حركة أحادية البعد تتضمن الجاذبية

أفضل طريقة لرؤية السمات الأساسية للحركة التي تنطوي على الجاذبية هي البدء بأبسط المواقف ثم التقدم نحو المواقف الأكثر تعقيدًا. لذلك، نبدأ بالنظر في الحركة المستقيمة لأعلى ولأسفل بدون مقاومة للهواء أو احتكاك. هذه الافتراضات تعني أن السرعة (إن وجدت) عمودية. إذا تم إسقاط جسم، فإننا نعلم أن السرعة الأولية هي صفر عند السقوط الحر. عندما يترك الجسم ملامسًا لأي شيء تم حمله أو رميه، يكون الكائن في حالة سقوط حر. عندما يتم طرح الكائن، يكون له نفس السرعة الأولية في السقوط الحر كما كان قبل إصداره. عندما يتلامس الجسم مع الأرض أو أي جسم آخر، فإنه لم يعد في حالة سقوط حر ولم يعد تسارع g صالحًا. في ظل هذه الظروف، تكون الحركة أحادية البعد ولها تسارع ثابت بمقدار g، ونحن نمثل الإزاحة الرأسية بالرمز y.

المعادلات الكينماتيكية للكائنات في السقوط الحر

نفترض هنا أن التسارع يساوي −g (مع الاتجاه الإيجابي لأعلى).

\[v =v _{0} - gt \label{3.15}\]

\[y = y_{0} + v_{0} t - \frac{1}{2} gt^{2} \label{3.16}\]

\[v^{2} = v_{0}^{2} - 2 g(y - y_{0}) \label{3.17}\]

إستراتيجية حل المشكلات: السقوط الحر

1. حدد علامة تسارع الجاذبية. في المعادلة\ ref {3.15} من خلال المعادلة\ ref {3.17}، يكون التسارع g سالبًا، مما يشير إلى أن الاتجاه الإيجابي صعودي والاتجاه السلبي هبوطي. في بعض المشكلات، قد يكون من المفيد أن يكون التسارع g إيجابيًا، مما يشير إلى أن الاتجاه الإيجابي هبوطي.
2. ارسم رسمًا للمشكلة. هذا يساعد على تصور الفيزياء المعنية.
3. سجل الأشياء المعروفة والمجهولة من وصف المشكلة. يساعد هذا في وضع استراتيجية لاختيار المعادلات المناسبة لحل المشكلة.
4. حدد أي من المعادلة\ ref {3.15} من خلال المعادلة\ ref {3.17} سيتم استخدامه لحل المجهول.

مثال 3.14: السقوط الحر للكرة

\(\PageIndex{2}\)يوضِّح الشكل مواضع الكرة، بفواصل زمنية مقدارها ١ ثانية، بسرعة أولية مقدارها ٤٫٩ م/ث نحو الأسفل، ويتم رميها من أعلى مبنى ارتفاعه ٩٨ مترًا. (أ) كم من الوقت ينقضي قبل أن تصل الكرة إلى الأرض؟ (ب) ما هي السرعة عند وصولها إلى الأرض؟

الشكل\(\PageIndex{2}\): مواضع وسرعات كرة تُلقى هبوطًا من مبنى مرتفع بسرعة ٤٫٩ م/ث على فواصل زمنية مقدارها ١ ثانية.

إستراتيجية

اختر الأصل في الجزء العلوي من المبنى مع الاتجاه الإيجابي لأعلى والاتجاه السلبي لأسفل. لإيجاد الوقت الذي يكون فيه الموضع −98 م، نستخدم المعادلة\ المرجع {3.16}، مع y _{0 = 0}، v ₀ = −4.9 م/ث، و g = 9.8 م/ث ².

الحل

1. استبدل القيم المعطاة في المعادلة: $$y = y_ {0} + v_ {0} t -\ frac {1} {2} gt^ {2} $$$-98.0\; m = 0 - (4.9\; م/ث) t -\ frac {1} {2} (9.8\ م/s ^ {2}) t^ {2}\ ldotP$^ 2} + t - 20 = 0\ lDotP$$هذه معادلة تربيعية بجذور t = −5.0 ثانية و t = 4.0 ثانية. الجذر الموجب هو الذي لدينا مهتمون بذلك، لأن الوقت t = 0 هو الوقت الذي يتم فيه إطلاق الكرة في الجزء العلوي من المبنى. (يمثل الوقت t = −5.0 s حقيقة أن الكرة التي تُلقى لأعلى من الأرض ستظل في الهواء لمدة 5.0 ثوانٍ عندما مرت بأعلى المبنى متحرَّكة هبوطًا بسرعة 4.9 م/ث.)
2. باستخدام المعادلة\ ref {3.15}، لدينا $v =v =v _ {0} - gt = -4.9\؛ م/ث - (9.8\؛ م/s ^ {2}) (4.0\؛ s) = -44.1\؛ م/ث\ ldotp$$

الدلالة

في الحالات التي يتم فيها الحصول على جذرين من المعادلة التربيعية في متغير الوقت، يجب أن ننظر إلى الأهمية الفيزيائية لكلا الجذرين لتحديد أيهما صحيح. نظرًا لأن t = 0 يتوافق مع الوقت الذي تم فيه إطلاق الكرة، فإن الجذر السالب سيتوافق مع الوقت الذي يسبق إطلاق الكرة، وهو أمر لا معنى له جسديًا. عندما تصطدم الكرة بالأرض، لا تكون سرعتها صفرًا على الفور، ولكن بمجرد أن تتفاعل الكرة مع الأرض، لا تكون عجلتها g وتتسارع بقيمة مختلفة خلال وقت قصير إلى سرعة صفرية. توضح هذه المشكلة مدى أهمية إنشاء نظام الإحداثيات الصحيح والحفاظ على اتساق علامات g في المعادلات الحركية.

مثال 3.15: الحركة الرأسية لبيسبول

يضرب أحد المضربين كرة البيسبول بشكل مستقيم لأعلى في اللوحة الرئيسية ويتم الإمساك بالكرة بعد 5.0 ثوانٍ من ضربها\(\PageIndex{3}\). (أ) ما السرعة الأولية للكرة؟ (ب) ما هو الارتفاع الأقصى الذي تصل إليه الكرة؟ (ج) كم من الوقت يستغرق الوصول إلى أقصى ارتفاع؟ (د) ما هو التسارع في الجزء العلوي من مساره؟ (هـ) ما سرعة الكرة عند الإمساك بها؟ افترض أن الكرة قد تم ضربها والتقاطها في نفس الموقع.

الشكل\(\PageIndex{3}\): يصطاد الماسك ضربة بيسبول بشكل مستقيم بعد 5.0 ثانية.

إستراتيجية

اختر نظامًا إحداثيًا بمحور ص موجب يكون مستقيمًا ويكون أصله في المكان الذي يتم فيه ضرب الكرة والتقاطها.

الحل

1. المعادلة\ المرجع {3.16} تعطي $$y = y_ {0} + v_ {0} t -\ frac {1} {2} gt^ {2} $0 = 0 + v_ {0} (5.0\; s) -\ frac {1} {2} (9.8\ م/س ^ {2}) (5.0\; s) ^ {2}\ ldotp$$مما يعطي v ₀ = 24.5 م/ثانية.
2. عند الحد الأقصى للارتفاع، v = 0. مع v ₀ = 24.5 م/ث، تعطي المعادلة\ المرجع {3.17} $v ^ {2} = v_ {0} ^ {2} - 2 غرام (y - y_ {0}) $$0 = (24.5\; م/s^ {2}) - 2 (9.8\; م/م/س ^ {2}) (y - 0) $$أو $$y = 30.6\; m\ ldotp$$
3. للعثور على الوقت الذي تكون فيه v = 0، نستخدم المعادلة\ المرجع {3.15}: $v = v_ {0} - gt$$ $$0 = 24.. 5\; m/s - (9.8\; m/s^ {2}) t\ lDotP$$وهذا يعطي t = 2.5 ثانية، وبما أن الكرة ترتفع لمدة 2.5 ثانية، فإن وقت السقوط هو 2.5 ثانية.
4. يبلغ التسارع 9.8 م/ث ² في كل مكان، حتى عندما تكون السرعة صفرًا في الجزء العلوي من المسار. على الرغم من أن السرعة تساوي صفرًا في الأعلى، إلا أنها تتغير بمعدل 9.8 متر/ثانية ^نحو الأسفل.
5. يمكن تحديد السرعة عند t = 5.0 ثانية باستخدام المعادلة\ المرجع {3.15}: $$\ ابدأ {الانقسام} v & = v_ {0} - gt\\\ & = 24.5\; م/ث - 9.8\; م/s^ {2} (5.0\; s)\\ & = -24.5\; م/ث\ ldotp\ end {الانقسام} $$

الدلالة

تعود الكرة بالسرعة التي كانت عليها عندما غادرت. هذه خاصية عامة للسقوط الحر لأي سرعة أولية. استخدمنا معادلة واحدة للانتقال من الرمي إلى الإمساك، ولم نضطر إلى تقسيم الحركة إلى جزأين، صعودًا وهبوطًا. لقد اعتدنا على التفكير في تأثير الجاذبية في خلق السقوط الحر نحو الأرض. من المهم أن نفهم، كما هو موضح في هذا المثال، أن الأجسام التي تتحرك صعودًا بعيدًا عن الأرض هي أيضًا في حالة سقوط حر.

التمرين 3.7

قطعة من الجليد تنفصل عن نهر جليدي وتسقط 30.0 مترًا قبل أن تصل إلى الماء. بافتراض أنها تسقط بحرية (لا توجد مقاومة للهواء)، كم من الوقت يستغرق اصطدامها بالماء؟ ما الكمية التي تزداد بشكل أسرع، سرعة قطعة الجليد أو المسافة المقطوعة؟

مثال 3.16: روكيت بوستر

ينفجر صاروخ صغير مزود بمعزّز ويتجه صعودًا بشكل مستقيم. عندما تكون على ارتفاع 5.0 كم وسرعة 200.0 م/ث، فإنها تطلق معززها. (أ) ما هو الارتفاع الأقصى الذي يصل إليه الداعم؟ (ب) ما سرعة الداعم على ارتفاع 6.0 كم؟ إهمال مقاومة الهواء.

الشكل\(\PageIndex{4}\): يطلق صاروخ معززه عند ارتفاع وسرعة معينين. ما مدى ارتفاع ومدى سرعة الداعم؟

إستراتيجية

نحن بحاجة إلى اختيار نظام الإحداثيات لتسريع الجاذبية، والذي نعتبره سلبيًا لأسفل. يتم إعطاؤنا السرعة الأولية للمعزز وارتفاعه. نحن نعتبر نقطة الإصدار هي الأصل. نحن نعلم أن السرعة هي صفر عند الموضع الأقصى خلال فترة التسارع؛ وبالتالي، فإن سرعة الداعم هي صفر عند أقصى ارتفاع له، لذلك يمكننا استخدام هذه المعلومات أيضًا. من هذه الملاحظات، نستخدم المعادلة\ ref {3.17}، والتي تعطينا الحد الأقصى لارتفاع الداعم. كما نستخدم المعادلة\ ref {3.17} لإعطاء السرعة عند 6.0 كم. السرعة الأولية للمُعزِّز هي 200.0 m/s.

الحل

1. من المعادلة\ المرجع {3.17}،\(v^{2} = v_{0}^{2} - 2 g(y - y_{0})\). باستخدام v = 0 و y ₀ = 0، يمكننا حل المشكلة لـ y: $y =\ frac {v_ {0} ^ {2}} {-2g} =\ frac {(2.0\ مرات 10^ {2}\؛ م/ث) ^ {2}} {-2 (9.8\؛ م/س ^ {2}) = 2040.8\؛ م\ lDotP$ يعطي هذا الحل أقصى ارتفاع للمعزز في نظام الإحداثيات الخاص بنا، والذي يعود أصله إلى نقطة الإصدار، وبالتالي فإن الحد الأقصى للارتفاع يقع الداعم على بعد 7.0 كم تقريبًا.
2. يتوافق الارتفاع البالغ 6.0 كم مع y = 1.0 × 10 ³ م في نظام الإحداثيات الذي نستخدمه. الشروط الأولية الأخرى هي y ₀ = 0، و v ₀ = 200.0 م/ث. لدينا، من المعادلة\ المرجع {3.17}، $v^ {2} = (200.0\؛ م/ث) ^ {2} - 2 (9.8\؛ م/س ^ {2}) (1.0\ مرات 10^ {3}\؛ م)\ السهم الأيمن =\ pm 142.8\؛ م/ث\ ldotp$$

الدلالة

لدينا حل إيجابي وسلبي في (ب). نظرًا لأن نظام الإحداثيات الخاص بنا له اتجاه إيجابي لأعلى، فإن +142.8 م/ث يتوافق مع سرعة تصاعدية موجبة عند 6000 متر أثناء الساق الصاعدة لمسار الداعم. وتتوافق القيمة v = −142.8 م/ث مع السرعة عند 6000 متر على الساق الهابطة. هذا المثال مهم أيضًا لأنه يتم إعطاء الجسم سرعة أولية عند أصل نظام الإحداثيات الخاص بنا، ولكن الأصل يقع على ارتفاع فوق سطح الأرض، وهو ما يجب أخذه في الاعتبار عند تشكيل المحلول.

محاكاة

قم بزيارة هذا الموقع للتعرف على رسوم كثيرة الحدود بيانيًا. يتغير شكل المنحنى عندما يتم ضبط الثوابت. اعرض منحنيات المصطلحات الفردية (على سبيل المثال، y = bx) لمعرفة كيفية إضافتها لتوليد منحنى متعدد الحدود.