3.6: الحركة ذات التسارع المستمر (الجزء 2)

Last updated
Save as PDF

Page ID: 199802

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

وضع المعادلات معًا

في الأمثلة التالية، نواصل استكشاف الحركة أحادية البعد، ولكن في الحالات التي تتطلب المزيد من التلاعب الجبري. تعطي الأمثلة أيضًا نظرة ثاقبة لتقنيات حل المشكلات. يتم توفير الملاحظة التالية لسهولة الرجوع إلى المعادلات المطلوبة. انتبه إلى أن هذه المعادلات ليست مستقلة. في العديد من الحالات، لدينا مجهولتان ونحتاج إلى معادلتين من المجموعة لحل المجهول. نحن بحاجة إلى العديد من المعادلات بقدر ما توجد المجاهيل لحل موقف معين.

ملخص المعادلات الكينماتيكية (ثابت أ)

\[x = x_{0} + \bar{v}t\]

\[\bar{v} = \frac{v_{0} + v}{2}\]

\[v = v_{0} + at\]

\[x = x_{0} + v_{0}t + \frac{1}{2} at^{2}\]

\[v^{2} = v_{0}^{2} + 2a(x - x_{0})\]

قبل أن ندخل في الأمثلة، دعونا ننظر إلى بعض المعادلات عن كثب لنرى سلوك التسارع عند القيم القصوى. إعادة الترتيب$v = v_0 + at$، لدينا

\[a = \frac{v - v_{0}}{t} \ldotp\]

من هذا نرى أنه، لفترة محدودة، إذا كان الفرق بين السرعات الأولية والنهائية صغيرًا، يكون التسارع صغيرًا، ويقترب من الصفر في الحد الذي تتساوى فيه السرعات الأولية والنهائية. على العكس من ذلك، في الحد t → 0 لفرق محدود بين السرعات الأولية والنهائية، يصبح التسارع غير محدود.

وبالمثل، عند إعادة الترتيب$v^2 = v^2_0 + 2a(x-x_0) $، يمكننا التعبير عن التسارع من حيث السرعات والإزاحة:

\[a = \frac{v^{2} - v_{0}^{2}}{2(x - x_{0})} \ldotp\]

وبالتالي، بالنسبة للاختلاف المحدود بين السرعات الأولية والنهائية، يصبح التسارع غير محدود في الحد الذي تقترب الإزاحة من الصفر. يقترب التسارع من الصفر في الحد، ويقترب الفرق في السرعات الأولية والنهائية من الصفر بالنسبة للإزاحة المحدودة.

مثال 3.10: إلى أي مدى تذهب السيارة؟

^{على الخرسانة الجافة، يمكن للسيارة أن تتباطأ بمعدل 7.00 متر/ثانية ²، بينما في الخرسانة الرطبة يمكن أن تتباطأ السرعة بسرعة 5.00 متر/ثانية فقط.} أوجد المسافات اللازمة لإيقاف سيارة عن الحركة بسرعة ٣٠٫٠ م/ث (حوالي ١١٠ كم/س) على (أ) الخرسانة الجافة و (ب) الخرسانة الرطبة. (ج) كرر كلا الحسابين وابحث عن الإزاحة من النقطة التي يرى فيها السائق إشارة المرور تتحول إلى اللون الأحمر، مع مراعاة وقت رد فعله البالغ 0.500 ثانية لوضع قدمه على الفرامل.

إستراتيجية

أولاً، نحتاج إلى رسم رسم تخطيطي$\PageIndex{1}$. لتحديد المعادلات الأفضل للاستخدام، نحتاج إلى سرد جميع القيم المعروفة وتحديد ما نحتاج إلى حله بالضبط.

يوضح الشكل سيارة تحركت بسرعة 30 مترًا في الثانية. يوجد ضوء التوقف على مسافة دلتا x غير المعروفة من السيارة. تبلغ سرعة السيارة صفر متر في الثانية عندما تصل إلى ضوء التوقف. — الشكل$\PageIndex{1}$: رسم تخطيطي لتصور التباطؤ ومسافة التوقف للسيارة.

الحل

أولاً، نحتاج إلى تحديد الأشياء المعروفة وما نريد حله. نعلم أن v ₀ = 30.0 م/ث، v = 0، و a = −7.00 م/ث ² (a سالب لأنه في اتجاه معاكسٍ للسرعة). نحن نأخذ x0 ليكون صفرًا. نحن نبحث عن الإزاحة$\Delta$ x، أو x − x ₀. ثانيًا، نحدد المعادلة التي ستساعدنا في حل المشكلة. أفضل معادلة يمكن استخدامها هي $$v^ {2} = v_ {0} ^ {2} + 2a (x - x_ {0})\ lDotP$$هذه المعادلة هي الأفضل لأنها تتضمن واحدًا غير معروف فقط، x. نحن نعرف قيم جميع المتغيرات الأخرى في هذه المعادلة. (تسمح لنا المعادلات الأخرى بحل x، ولكنها تتطلب منا معرفة وقت التوقف، t، الذي لا نعرفه. يمكننا استخدامها، لكنها ستستلزم حسابات إضافية.) ثالثًا، نعيد ترتيب المعادلة لحلها لـ x: $$x - x_ {0} =\ frac {v^ {2} - v_ {0} ^ {2}} {2} {2a} $ ونستبدل القيم المعروفة: $$x - 0 =\ frac {0^ {2} - (30.0\ م/ثانية) ^ {2}} {2} {2}} {2} {2}} {2}} {2} dotP$$وهكذا، $x = 64.3\; م\; على\; جاف\; الخرسانة\ ldotp$$
يمكن حل هذا الجزء بنفس الطريقة تمامًا مثل (أ). والفرق الوحيد هو أن التسارع يساوي −٥٫٠٠ م/ث ^٢. والنتيجة هي $x_ {wet} = 90.0\; m\; على\; الرطب\; الخرسانة\ ldotp$$
عندما يتفاعل السائق، تكون مسافة التوقف هي نفسها الموجودة في (أ) و (ب) للخرسانة الجافة والرطبة. لذا، للإجابة على هذا السؤال، نحتاج إلى حساب المسافة التي تقطعها السيارة خلال وقت رد الفعل، ثم إضافة ذلك إلى وقت التوقف. من المعقول افتراض أن السرعة تظل ثابتة خلال وقت رد فعل السائق. للقيام بذلك، نحدد، مرة أخرى، الأمور المعروفة وما نريد حله. نحن نعلم أن$\bar{v}$ = 30.0 متر/ثانية، _{رد فعل} t = 0.500 ثانية، _{ورد فعل} = 0. نحن نأخذ _{رد فعل x 0} ليكون صفرًا. نحن نبحث عن _{رد فعل} x. ثانيًا، كما كان من قبل، نحدد أفضل معادلة لاستخدامها. في هذه الحالة، يعمل x = x ₀ +$\bar{v}$ t بشكل جيد لأن القيمة الوحيدة غير المعروفة هي x، وهو ما نريد حله. ثالثًا، نستبدل المعارف لحل المعادلة: $x = 0 + (30.0\; m/s) (0.500\; s) = 15.0\; m\ lDotp$$وهذا يعني أن السيارة تسير 15.0 مترًا بينما يتفاعل السائق، مما يجعل إجمالي الإزاحة في حالتي الخرسانة الجافة والرطبة أكبر بمقدار 15.0 مترًا مما لو كان رد فعله فوريًا. أخيرًا، نضيف الإزاحة أثناء وقت رد الفعل إلى الإزاحة عند الكبح (الشكل$\PageIndex{2}$)، $x_ {الكبح} + x_ {reaction} = x_ {total}، $$ونجد (أ) 64.3 م + 15.0 م = 79.3 م عند الجفاف و (ب) لتكون 90.0 م + 15.0 م = 105 م عند البلل.

يُظهر الشكل العلوي السيارات الواقعة على بعد 64.3 مترًا و 90 مترًا من نقطة البداية للظروف الجافة والرطبة، على التوالي. يوضح الشكل السفلي السيارات الواقعة على بعد 79.3 مترًا و 105 مترًا من نقطة البداية للظروف الجافة والرطبة، على التوالي. — الشكل$\PageIndex{2}$: تختلف المسافة اللازمة لإيقاف السيارة بشكل كبير، اعتمادًا على ظروف الطريق ووقت رد فعل السائق. تظهر هنا مسافات الكبح للأرصفة الجافة والرطبة، كما تم حسابها في هذا المثال، لسيارة تسير مبدئيًا بسرعة 30.0 متر/ثانية، وتظهر أيضًا المسافات الإجمالية المقطوعة من النقطة التي يرى فيها السائق الضوء لأول مرة يتحول إلى اللون الأحمر، بافتراض وقت رد فعل يبلغ 0.500-ثانية.

الأهمية

تبدو عمليات النزوح الموجودة في هذا المثال معقولة لإيقاف سيارة سريعة الحركة. يجب أن يستغرق إيقاف السيارة على الرصيف الرطب وقتًا أطول من التوقف الجاف. من المثير للاهتمام أن وقت رد الفعل يضيف بشكل كبير إلى عمليات النزوح، ولكن الأهم هو النهج العام لحل المشكلات. نحدد المعروف والكميات التي يجب تحديدها، ثم نجد المعادلة المناسبة. إذا كان هناك أكثر من مجهول، فنحن بحاجة إلى العديد من المعادلات المستقلة بقدر ما يوجد عدد غير معروف لحلها. غالبًا ما تكون هناك أكثر من طريقة لحل المشكلة. في الواقع، يمكن حل الأجزاء المختلفة من هذا المثال بطرق أخرى، ولكن الحلول المقدمة هنا هي الأقصر.

مثال 3.11: حساب الوقت

لنفترض أن السيارة تندمج في حركة المرور على الطريق السريع على منحدر يبلغ طوله 200 متر. إذا كانت سرعتها الأولية 10.0 م/ث وتسارعت بسرعة ٢٫٠٠ م/ث ^٢، فما المدة التي تستغرقها السيارة للسير على مسافة ٢٠٠ م فوق المنحدر؟ (قد تكون هذه المعلومات مفيدة لمهندس المرور.)

إستراتيجية

أولاً، نرسم صورة تخطيطية$\PageIndex{3}$. يُطلب منا حل الوقت t. كما كان من قبل، نحدد الكميات المعروفة لاختيار علاقة جسدية ملائمة (أي معادلة بمجهول واحد، t.)

يوضِّح الشكل سيارة تتسارع من سرعة 10 أمتار في الثانية بمعدل مترين لكل ثانية مربعة. مسافة التسارع هي 200 متر. — الشكل$\PageIndex{3}$: رسم تخطيطي لسيارة تتسارع على منحدر طريق سريع.

الحل

مرة أخرى، نحدد الأشياء المعروفة وما نريد حله. نحن نعلم أن x ₀ = 0، v ₀ = 10 م/ث، a = 2.00 م/ث ²، و x = 200 م.

نحتاج إلى حل لـ t. المعادلة x = x ₀ + v ₀ t+$\frac{1}{2}$ at ² تعمل بشكل أفضل لأن المجهول الوحيد في المعادلة هو المتغير t، الذي نحتاج إلى حله. من هذه الرؤية نرى أنه عندما ندخل المعلوم في المعادلة، ينتهي بنا الأمر بمعادلة تربيعية.

نحتاج إلى إعادة ترتيب المعادلة لحلها لـ t، ثم استبدال النقاط المعروفة في المعادلة:

\[200\; m = 0\; m + (10.0\; m/s)t + \frac{1}{2}(2.00\; m/s^{2})t^{2} \ldotp\]

ثم نقوم بتبسيط المعادلة. يتم إلغاء وحدات العدادات لأنها موجودة في كل فصل دراسي. يمكننا إلغاء وحدات الثواني بأخذ t = t s، حيث t هو مقدار الوقت و s هو الوحدة. القيام بذلك يترك

\[200 = 10t + t^{2} \ldotp\]

ثم نستخدم الصيغة التربيعية لحل t،

\[t^{2} + 10t - 200 = 0\]

\[t = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a},\]

مما ينتج حلين: t = 10.0 و t = −20.0. القيمة السلبية للوقت غير معقولة، لأنها تعني أن الحدث حدث قبل 20 ثانية من بدء الحركة. يمكننا تجاهل هذا الحل. وهكذا،

\[ t = 10.0\; s \ldotp\]

الأهمية

عندما تحتوي المعادلة على مربع غير معروف، يوجد حلان. في بعض المشاكل، يكون كلا الحلين هادفين؛ وفي حالات أخرى، هناك حل واحد فقط معقول. تبدو إجابة 10.0-s معقولة بالنسبة للطريق السريع النموذجي على الطريق السريع.

التمرين 3.5

يتسارع صاروخ مأهول بمعدل 20 متر/ثانية ² أثناء الإطلاق. ما المدة التي يستغرقها الصاروخ للوصول إلى سرعة 400 متر/ثانية؟

مثال 3.12: تسريع سفينة الفضاء

غادرت سفينة الفضاء مدار الأرض وهي في طريقها إلى القمر. تتسارع بسرعة 20 م/ث ² لمدة دقيقتين وتغطي مسافة 1000 كم. ما السرعات الأولية والنهائية لسفينة الفضاء؟

إستراتيجية

يُطلب منا العثور على السرعات الأولية والنهائية لسفينة الفضاء. بالنظر إلى المعادلات الحركية، نرى أن معادلة واحدة لن تعطي الإجابة. يجب أن نستخدم معادلة حركية واحدة لحل إحدى السرعات واستبدالها بمعادلة حركية أخرى للحصول على السرعة الثانية. وهكذا، نحل اثنين من المعادلات الحركية في وقت واحد.

الحل

أولاً نقوم بحل v ₀ باستخدام$x = x_{0} + v_{0}t + \frac{1}{2} at^{2} = \frac{1}{2}t^{2}$:

\[x - x_{0} = v_{0}t + \frac{1}{2} at^{2} = \frac{1}{2}t^{2}\]

\[1.0 \times 10^{6}\; m = v_{0} (120.0\; s) + \frac{1}{2} (20.0\; m/s^{2})(120.0\; s)^{2}\]

\[v_{0} = 7133.3\; m/s \ldotp\]

ثم نستبدل v ₀ إلى v = v ₀ + at لحل السرعة النهائية:

\[v = v_{0} + at = 7133.3\; m/s + (20.0\; m/s^{2})(120.0\; s) = 9533.3\; m/s \ldotp\]

الأهمية

هناك ستة متغيرات في الإزاحة والوقت والسرعة والتسارع تصف الحركة في بُعد واحد. يمكن أن تكون الشروط الأولية لمشكلة معينة مجموعات عديدة من هذه المتغيرات. بسبب هذا التنوع، قد لا تكون الحلول سهلة كبدائل بسيطة في إحدى المعادلات. يوضح هذا المثال أن حلول الكينماتيكا قد تتطلب حل معادلتين حركية متزامنتين.

مع وضع أساسيات الكينماتيكا، يمكننا الانتقال إلى العديد من الأمثلة والتطبيقات الأخرى المثيرة للاهتمام. في عملية تطوير علم الحركة، قمنا أيضًا بإلقاء نظرة عامة على نهج عام لحل المشكلات ينتج إجابات صحيحة ورؤى حول العلاقات المادية. يتضمن المستوى التالي من التعقيد في مشاكل الكينماتيكا لدينا حركة جسمين مترابطين، تسمى مشاكل السعي وراء الجسمين.

مشاكل السعي وراء جسدين

حتى هذه النقطة، نظرنا إلى أمثلة للحركة التي تشمل جسمًا واحدًا. حتى بالنسبة لمشكلة سيارتين ومسافات التوقف على الطرق الرطبة والجافة، قمنا بتقسيم هذه المشكلة إلى مشكلتين منفصلتين للعثور على الإجابات. في مشكلة البحث عن جسدين، تتزاوج حركات الأشياء - بمعنى أن المجهول الذي نبحث عنه يعتمد على حركة كلا الجسمين. لحل هذه المشكلات، نكتب معادلات الحركة لكل كائن ثم نحلها في وقت واحد للعثور على المجهول. هذا موضح في الشكل$\PageIndex{4}$.

يُظهر الشكل الأيسر سيارة حمراء تتسارع نحو السيارة الزرقاء. يُظهر الشكل الأيمن سيارة حمراء تلتقط سيارة زرقاء. — الشكل$\PageIndex{4}$: سيناريو السعي وراء جسمين حيث تتمتع السيارة 2 بسرعة ثابتة والسيارة 1 متخلفة بتسارع مستمر. السيارة 1 تلحق بالسيارة 2 في وقت لاحق.

يعتمد الوقت والمسافة المطلوبان للسيارة 1 لالتقاط السيارة 2 على المسافة الأولية للسيارة 1 من السيارة 2 بالإضافة إلى سرعات كلتا السيارتين وتسارع السيارة 1. يجب حل المعادلات الحركية التي تصف حركة السيارتين للعثور على هذه الأشياء المجهولة.

خذ بعين الاعتبار المثال التالي.

مثال 3.13: فهد يصطاد غزال

فهد ينتظر مختبئًا خلف الأدغال. يكتشف الفهد غزالًا يركض بسرعة 10 م/ث، وفي اللحظة التي يمر فيها الغزال بالفهد، يتسارع الفهد من السكون بسرعة 4 م/ث ² لالتقاط الغزال. (أ) كم من الوقت يستغرق الفهد للقبض على الغزال؟ (ب) ما هو نزوح الغزال والفهد؟

إستراتيجية

نستخدم مجموعة معادلات التسارع المستمر لحل هذه المشكلة. نظرًا لوجود جسمين متحركين، لدينا معادلات منفصلة للحركة تصف كل حيوان. ولكن ما يربط المعادلات هو معامل شائع له نفس القيمة لكل حيوان. إذا نظرنا إلى المشكلة عن كثب، فمن الواضح أن المعلمة الشائعة لكل حيوان هي موضعه x في وقت لاحق t، نظرًا لأن كلاهما يبدأ عند x ₀ = 0، فإن عمليات إزاحته تكون هي نفسها في وقت لاحق t، عندما يلحق الفهد بالغزال. إذا اخترنا معادلة الحركة التي تحل مشكلة الإزاحة لكل حيوان، فيمكننا عندئذٍ ضبط المعادلات مساوية لبعضها البعض وحل المجهول، وهو الوقت.

الحل

معادلة الغزال: سرعة الغزال ثابتة، وهي متوسط سرعته، لأنه لا يتسارع. _{لذلك، نستخدم المعادلة 3.5.7 مع x _{0 = 0}: $x = x_ {0} +\ bar {v} t =\ bar {v} t\ lDotP$$معادلة للفهد: يتسارع الفهد من الراحة، لذلك نستخدم المعادلة 3.5.17 مع x _{0 = 0} و v = 0: $x = x_ {0} + v_ {0} t +\ frac {1} {1} {1} 2} في^} {2} =\ frac {1} {2} at^ {2}\ ldotP$$الآن لدينا معادلة الحركة لكل حيوان بمعامل مشترك، والذي يمكن حذفه للعثور على الحل. في هذه الحالة، نحل مشكلة t: $$x =\ bar {v} t =\ frac {1} {2} عند ^ {2} $$$$$t =\ frac {2\ bar {v}} {a}\ ldotP$$تبلغ سرعة الغزال 10 م/ث، وهو متوسط سرعته. يبلغ تسارع الفهد 4 م/ث ². عند تقييم ذلك، حان وقت وصول الفهد إلى الغزال، لدينا $$t =\ frac {2\ bar {v}} {a} =\ frac {2 (10)} {4} = 5\; s\ ldotp$$
للحصول على الإزاحة، نستخدم إما معادلة الحركة للفهد أو الغزال، حيث يجب أن يعطي كلاهما نفس الإجابة. نزوح الفهد: $x =\ frac {1} {2} عند ^ {2} =\ frac {1} {2} (4) (5) ^ {2} - 50\; m\ lDotP$$نزوح الغزال: $x =\ bar {v} t = 10 (5) = 50\; m\ lDotP$$نرى أن كلا التهجير متساويان، كما هو متوقع.

الأهمية

من المهم تحليل حركة كل كائن واستخدام المعادلات الحركية المناسبة لوصف الحركة الفردية. من المهم أيضًا أن يكون لديك منظور بصري جيد لمشكلة السعي وراء الجسمين لرؤية المعلمة المشتركة التي تربط حركة كلا الجسمين.

التمرين 3.6

تبلغ سرعة الدراجة الثابتة ١٠ م/ث، ويبدأ الشخص من الراحة ويبدأ بالركض للحاق بالدراجة في غضون ٣٠ ثانية عندما تكون الدراجة في نفس موضع الشخص. ما هو تسارع الشخص؟