3.5: الحركة ذات التسارع المستمر (الجزء الأول)
- Page ID
- 199805
- حدد معادلات الحركة التي سيتم استخدامها لحلها في حالات مجهولة.
- استخدم معادلات الحركة المناسبة لحل مشكلة السعي وراء جسدين.
قد تعتقد أنه كلما زاد تسارع السيارة، على سبيل المثال، تبتعد عن علامة التوقف، زادت إزاحة السيارة في وقت معين. لكننا لم نطور معادلة محددة تتعلق بالتسارع والإزاحة. في هذا القسم، ننظر إلى بعض المعادلات الملائمة للعلاقات الحركية، بدءًا من تعريفات الإزاحة والسرعة والتسارع. نقوم أولاً بالتحقيق في كائن واحد متحرك، يسمى حركة الجسم الواحد. ثم نقوم بالتحقيق في حركة جسمين، تسمى مشاكل السعي وراء جسدين.
الترميز
أولاً، دعونا نجري بعض التبسيط في الترميز. إن أخذ الوقت الأولي ليكون صفرًا، كما لو كان الوقت يُقاس بساعة توقيت، هو تبسيط كبير. نظرًا لأن الوقت المنقضي هو\(\Delta\) t = t f − t 0، فإن أخذ t 0 = 0 يعني أن\(\Delta\) t = t f، وهي المرة الأخيرة على ساعة الإيقاف. عندما يكون الوقت الأولي صفرًا، نستخدم الرمز المنخفض 0 للإشارة إلى القيم الأولية للموضع والسرعة. أي أن x 0 هو الموضع الأولي و v 0 هو السرعة الأولية. لا نضع أي قيود على القيم النهائية. أي أن t هي المرة النهائية، x هي الموضع النهائي، و v هي السرعة النهائية. يعطي هذا تعبيرًا أبسط عن الوقت المنقضي،\(\Delta\) t = t. كما أنه يبسط التعبير عن الإزاحة x، والتي هي الآن\(\Delta\) x = x − x 0. كما أنه يبسط تعبير التغيير في السرعة، والذي هو الآن\(\Delta\) v = v − v 0. للتلخيص، باستخدام الترميز المبسط، مع الوقت الأولي المستغرق ليكون صفرًا،
\[\Delta t = t\]
\[\Delta x = x - x_{0}\]
\[\Delta v = v - v_{0},\]
حيث يشير الحرف 0 إلى قيمة أولية ويشير غياب الرمز المنخفض إلى القيمة النهائية في أي حركة قيد الدراسة.
نحن الآن نفترض الافتراض المهم بأن التسارع ثابت. يسمح لنا هذا الافتراض بتجنب استخدام حساب التفاضل والتكامل للعثور على التسارع الفوري. نظرًا لأن التسارع ثابت، فإن التسارع المتوسط والفوري متساويان - أي،
\[\bar{a} = a = constant \ldotp\]
وبالتالي، يمكننا استخدام الرمز a للتسارع في جميع الأوقات. إن افتراض ثبات التسارع لا يحد بشكل خطير من الحالات التي يمكننا دراستها ولا يقلل من دقة علاجنا. لسبب واحد، يكون التسارع ثابتًا في عدد كبير من المواقف. علاوة على ذلك، في العديد من المواقف الأخرى يمكننا وصف الحركة بدقة من خلال افتراض تسارع ثابت يساوي متوسط التسارع لتلك الحركة. أخيرًا، بالنسبة للحركة التي يتغير فيها التسارع بشكل جذري، مثل تسارع السيارة إلى السرعة القصوى ثم الكبح حتى التوقف، يمكن اعتبار الحركة في أجزاء منفصلة، لكل منها تسارع مستمر خاص به.
الإزاحة والموقع من السرعة
للحصول على أول معادلتين، نبدأ بتعريف متوسط السرعة:
\[\bar{v} = \frac{\Delta x}{\Delta t} \ldotp\]
استبدال الترميز المبسط بعوائد\(\Delta\) x و\(\Delta\) t
\[\bar{v} = \frac{x - x_{0}}{t} \ldotp\]
\[x = x_{0} + \bar{v} t,\label{3.10}\]
حيث متوسط السرعة هو
\[\bar{v} = \frac{v_{0} + v}{2} \ldotp \label{3.11}\]
\(\bar{v} = \frac{v_{0} + v}{2}\)تعكس المعادلة حقيقة أنه عندما يكون التسارع ثابتًا، فإن v هو مجرد المتوسط البسيط للسرعات الأولية والنهائية. \(\PageIndex{1}\)يوضح الشكل هذا المفهوم بيانياً. في الجزء (أ) من الشكل، يكون التسارع ثابتًا، مع زيادة السرعة بمعدل ثابت. متوسط السرعة خلال فترة 1 ساعة من 40 كم/ساعة إلى 80 كم/ساعة هو 60 كم/ساعة:
\[\bar{v} = \frac{v_{0} + v}{2} = \frac{40\; km/h + 80\; km/h}{2} = 60\; km/h \ldotp\]
في الجزء (ب)، التسارع ليس ثابتًا. خلال فترة ساعة واحدة، تكون السرعة أقرب إلى 80 كم/ساعة من 40 كم/ساعة، وبالتالي، يكون متوسط السرعة أكبر من الجزء (أ).
حل السرعة النهائية من التسارع والوقت
يمكننا استخلاص معادلة مفيدة أخرى من خلال معالجة تعريف التسارع:
\[a = \frac{\Delta v}{\Delta t} \ldotp\]
يعطينا استبدال الترميز المبسط لـ\(\Delta\) v و\(\Delta\) t
\[a = \frac{v - v_{0}}{t}\; (constant\; a) \ldotp\]
\[v = v_{0} + at\; (constant\; a) \ldotp \label{3.12}\]
هبطت طائرة بسرعة أولية قدرها ٧٠٫٠ م/ث، ثم تتباطأ بسرعة ١٫٥٠ م/ث ٢ لمدة ٤٠٫٠ ثانية، ما سرعتها النهائية؟
إستراتيجية
أولاً، نحدد الأشياء المعروفة: v 0 = 70 م/ث، a = −1.50 م/ث 2، t = 40 ثانية.
ثانيًا، نحدد المجهول؛ في هذه الحالة، تكون السرعة النهائية v f.
أخيرًا، نحدد المعادلة التي يجب استخدامها. للقيام بذلك، نكتشف المعادلة الحركية التي تعطي المجهول من حيث المعروف. نحسب السرعة النهائية باستخدام المعادلة\ ref {3.12}، v = v 0 + at.
الحل
استبدل القيم المعروفة وحل:
\[v = v_{0} + at = 70.0\; m/s + (-1.50\; m/s^{2})(40.0\; s) = 10.0\; m/s \ldotp\]
الشكل\(\PageIndex{2}\) عبارة عن رسم يوضح متجهات التسارع والسرعة.
الدلالة
السرعة النهائية أقل بكثير من السرعة الأولية، كما هو مطلوب عند التباطؤ، ولكنها لا تزال إيجابية (انظر الشكل). مع المحركات النفاثة، يمكن الحفاظ على الدفع العكسي لفترة كافية لإيقاف الطائرة والبدء في تحريكها للخلف، وهو ما يشار إليه بالسرعة النهائية السلبية، ولكن ليس هذا هو الحال هنا.
بالإضافة إلى كونها مفيدة في حل المشكلات، فإن المعادلة v = v 0+ at تعطينا نظرة ثاقبة للعلاقات بين السرعة والتسارع والوقت. يمكننا أن نرى، على سبيل المثال، ذلك
- تعتمد السرعة النهائية على حجم التسارع ومدة استمراره
- إذا كان التسارع صفرًا، فإن السرعة النهائية تساوي السرعة الأولية (v = v 0)، كما هو متوقع (بمعنى آخر، السرعة ثابتة)
- إذا كانت a سالبة، فإن السرعة النهائية تكون أقل من السرعة الأولية
كل هذه الملاحظات تناسب حدسنا. لاحظ أنه من المفيد دائمًا فحص المعادلات الأساسية في ضوء حدسنا وخبرتنا للتحقق من أنها تصف الطبيعة بدقة.
حل الوضع النهائي باستخدام التسارع المستمر
يمكننا الجمع بين المعادلات السابقة لإيجاد معادلة ثالثة تسمح لنا بحساب الموضع النهائي لجسم يواجه عجالًا ثابتًا. نبدأ بـ
\[v = v_{0} + at \ldotp\]
تؤدي إضافة v 0 إلى كل جانب من جوانب هذه المعادلة والقسمة على 2 إلى
\[\frac{v_{0} + v}{2} = v_{0} + \frac{1}{2} at \ldotp\]
\(\frac{v_{0} + v}{2} = \bar{v}\)منذ التسارع المستمر، لدينا
\[\bar{v} = v_{0} + \frac{1}{2} at \ldotp\]
الآن نستبدل هذا التعبير\(\bar{v}\) في معادلة الإزاحة، x = x 0 +\(\bar{v}\) t، مما يؤدي إلى
\[x = x_{0} + v_{0}t + \frac{1}{2} at^{2}\; (constant\; a) \ldotp \label{3.13}\]
يمكن أن تحقق الدراجات متوسط تسارع قدره 26.0 م/ث 2. لنفترض أن الجراغستر تسارع من السكون بهذا المعدل لمدة 5.56 ثانية\(\PageIndex{3}\). إلى أي مدى تسافر في هذا الوقت؟
إستراتيجية
أولاً، دعنا نرسم صورة تخطيطية\(\PageIndex{4}\). يُطلب منا العثور على الإزاحة، وهي x إذا أخذنا x 0 لتكون صفرًا. (فكر في x 0 كخط البداية للسباق. يمكن أن يكون في أي مكان، لكننا نسميه صفرًا ونقيس جميع المواضع الأخرى المتعلقة به.) يمكننا استخدام المعادلة\(x = x_{0} + v_{0}t + \frac{1}{2} at^{2}\) عندما نحدد v 0 و a و t من بيان المشكلة.
الحل
أولا، نحن بحاجة إلى تحديد المعروف. البدء من السكون يعني أن v 0 = 0، وتعطى a كـ 26.0 م/ث 2، و t تُعطى كـ 5.56 ثانية.
ثانيًا، نستبدل القيم المعروفة في المعادلة لحل المجهول:
\[x = x_{0} + v_{0}t + \frac{1}{2} at^{2} \ldotp\]
نظرًا لأن الموضع الأولي والسرعة كلاهما صفرًا، يتم تبسيط هذه المعادلة إلى
\[x = \frac{1}{2} at^{2} \ldotp\]
يعطي استبدال القيم المحددة لـ a و t
\[x = \frac{1}{2} (26.0\; m/s^{2})(5.56\; s)^{2} = 402\; m \ldotp\]
الدلالة
إذا قمنا بتحويل 402 مترًا إلى أميال، نجد أن المسافة المقطوعة قريبة جدًا من ربع ميل، وهي المسافة القياسية لسباق الدراج. لذلك، إجابتنا معقولة. يعد هذا الإزاحة المذهلة التي يجب تغطيتها في 5.56 ثانية فقط، ولكن يمكن للجرارات من الدرجة الأولى القيام بربع ميل في وقت أقل من ذلك. إذا تم إعطاء سرعة أولية للدراغستر، فسيضيف هذا مصطلحًا آخر إلى معادلة المسافة. إذا تم استخدام نفس التسارع والوقت في المعادلة، فستكون المسافة المقطوعة أكبر بكثير.
ماذا يمكننا أن نتعلم من خلال فحص المعادلة\(x = x_{0} + v_{0}t + \frac{1}{2} at^{2}\)؟ يمكننا رؤية العلاقات التالية:
- يعتمد الإزاحة على مربع الوقت المنقضي عندما لا يكون التسارع صفرًا. في المثال 3.8، لا يغطي الدراغستر سوى ربع المسافة الإجمالية في النصف الأول من الوقت المنقضي.
- إذا كان التسارع صفرًا، فإن السرعة الأولية تساوي متوسط السرعة (v 0 =\(\bar{v}\))،\(x = x_{0} + v_{0}t + \frac{1}{2} at^{2}\) وتصبح x = x 0 + v 0 t.
حل السرعة النهائية من المسافة والتسارع
يمكن الحصول على معادلة رابعة مفيدة من معالجة جبرية أخرى للمعادلات السابقة. إذا قمنا بحل v = v 0+ عند t، نحصل على
\[t = \frac{v - v_{0}}{a} \ldotp\]
باستبدال هذا\(\bar{v} = \frac{v_{0} + v}{2}\) إلى الداخل\(x = x_{0} + \bar{v} t\)، نحصل على
\[v^{2} = v_{0}^{2} + 2a(x - x_{0})\; (constant\; a) \ldotp \label{3.14}\]
احسب السرعة النهائية للدراغستر في المثال 3.8 دون استخدام معلومات حول الوقت.
إستراتيجية
\(v^{2} = v_{0}^{2} + 2a(x - x_{0})\)تعتبر المعادلة مناسبة بشكل مثالي لهذه المهمة لأنها تتعلق بالسرعات والتسارع والإزاحة، ولا توجد معلومات زمنية مطلوبة.
الحل
أولاً، نحدد القيم المعروفة. نحن نعلم أن v 0 = 0، لأن الدراغستر يبدأ من الراحة. نعلم أيضًا أن x − x 0 = 402 m (كانت هذه هي الإجابة في المثال 3.8). تم إعطاء متوسط التسارع بواسطة a = 26.0 m/s 2. ثانيًا، نستبدل المعلوم في المعادلة\(v^{2} = v_{0}^{2} + 2a(x - x_{0})\) ونحل بـ v:
\[v^{2} = 0 + 2(26.0\; m/s^{2})(402\; m) \ldotp\]
وهكذا،
\[v^{2} = 2.09 \times 10^{4}\; m/s^{2}\]
\[v = \sqrt{2.09 \times 10^{4}\; m^{2}/s^{2}} = 145\; m/s \ldotp\]
الدلالة
تبلغ السرعة 145 متر/ثانية حوالي 522 كم/ساعة، أو حوالي 324 ميل/ساعة، ولكن حتى هذه السرعة الفائقة أقل من الرقم القياسي لربع ميل. لاحظ أيضًا أن الجذر التربيعي له قيمتان؛ لقد أخذنا القيمة الموجبة للإشارة إلى السرعة في نفس اتجاه التسارع.
\(v^{2} = v_{0}^{2} + 2a(x - x_{0})\)يمكن أن ينتج عن فحص المعادلة رؤى إضافية للعلاقات العامة بين الكميات الفيزيائية:
- تعتمد السرعة النهائية على حجم التسارع والمسافة التي يعمل عليها.
- للحصول على تسارع ثابت، لا تتوقف السيارة التي تسير بسرعة مضاعفة ببساطة في ضعف المسافة. يستغرق الأمر وقتًا أطول للتوقف. (لهذا السبب قمنا بتخفيض مناطق السرعة بالقرب من المدارس.)