3.4: التسارع المتوسط والفوري
- Page ID
- 199800
- احسب متوسط التسارع بين نقطتين زمنيتين.
- احسب التسارع اللحظي بمعلومية الشكل الوظيفي للسرعة.
- اشرح الطبيعة المتجهة للتسارع اللحظي والسرعة.
- اشرح الفرق بين متوسط التسارع والتسارع اللحظي.
- ابحث عن التسارع اللحظي في وقت محدد على الرسم البياني للسرعة مقابل الوقت.
تمتد أهمية فهم التسارع إلى تجربتنا اليومية، فضلاً عن المساحات الشاسعة للفضاء الخارجي والعالم الصغير للفيزياء دون الذرية. في المحادثة اليومية، التسريع يعني التسريع؛ يؤدي استخدام دواسة الفرامل إلى إبطاء السيارة. نحن على دراية بتسارع سيارتنا، على سبيل المثال. كلما زاد التسارع، زاد التغيير في السرعة خلال فترة زمنية معينة. يُرى التسارع على نطاق واسع في الفيزياء التجريبية. في تجارب معجل الجسيمات الخطية، على سبيل المثال، يتم تسريع الجسيمات دون الذرية إلى سرعات عالية جدًا في تجارب التصادم، والتي تخبرنا بمعلومات حول بنية العالم دون الذري وكذلك أصل الكون. في الفضاء، الأشعة الكونية هي جزيئات دون ذرية تم تسريعها إلى طاقات عالية جدًا في المستعرات الأعظمية (النجوم الضخمة المتفجرة) ونواة المجرة النشطة. من المهم فهم العمليات التي تسرع الأشعة الكونية لأن هذه الأشعة تحتوي على إشعاع عالي الاختراق يمكن أن يتلف الإلكترونيات التي تطير على متن المركبات الفضائية، على سبيل المثال.
متوسط التسارع
يتوافق التعريف الرسمي للتسارع مع هذه المفاهيم الموصوفة للتو، ولكنه أكثر شمولاً.
متوسط التسارع هو المعدل الذي تتغير به السرعة:
\[\bar{a} = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v_{f} - v_{0}}{t_{f} - t_{0}}, \label{3.8}\]
أين\(\bar{a}\) متوسط التسارع، v هو السرعة، و t هو الوقت. (الشريط فوق a يعني متوسط التسارع.)
نظرًا لأن التسارع هو السرعة بالأمتار مقسومًا على الوقت بالثواني، غالبًا ما يتم اختصار وحدات SI للتسارع m/s 2 - أي متر في الثانية مربعة أو أمتار في الثانية في الثانية في الثانية. هذا يعني حرفيًا عدد الأمتار في الثانية التي تتغير فيها السرعة كل ثانية. تذكر أن السرعة هي متجه - لها الحجم والاتجاه - مما يعني أن التغيير في السرعة يمكن أن يكون تغيرًا في الحجم (أو السرعة)، ولكنه يمكن أن يكون أيضًا تغييرًا في الاتجاه. على سبيل المثال، إذا تباطأت عداءة تسير بسرعة 10 كم/ساعة باتجاه الشرق حتى توقفت، وعكست اتجاهها، وواصلت ركضها بسرعة 10 كم/ساعة باتجاه الغرب، فإن سرعتها تغيرت نتيجة تغير الاتجاه، على الرغم من أن حجم السرعة هو نفسه في كلا الاتجاهين. وبالتالي، يحدث التسارع عندما تتغير السرعة في الحجم (زيادة أو نقصان في السرعة) أو في الاتجاه، أو كليهما.
التسارع هو متجه في نفس اتجاه التغير في السرعة،\(\Delta\) v. نظرًا لأن السرعة هي متجه، يمكن أن تتغير في الحجم أو في الاتجاه، أو كليهما. وبالتالي، فإن التسارع هو تغيير في السرعة أو الاتجاه، أو كليهما.
ضع في اعتبارك أنه على الرغم من أن التسارع في اتجاه التغيير في السرعة، إلا أنه ليس دائمًا في اتجاه الحركة. عندما يتباطأ جسم ما، يكون تسارعه معاكسًا لاتجاه حركته. على الرغم من أن هذا يشار إليه عادةً باسم شكل التباطؤ\(\PageIndex{1}\)، إلا أننا نقول إن القطار يتسارع في اتجاه معاكسٍ لاتجاه حركته.
يمكن أن يتسبب مصطلح التباطؤ في حدوث ارتباك في تحليلنا لأنه ليس متجهًا ولا يشير إلى اتجاه معين فيما يتعلق بنظام الإحداثيات، لذلك لا نستخدمه. التسارع هو متجه، لذلك يجب علينا اختيار العلامة المناسبة له في نظام الإحداثيات الذي اخترناه. في حالة القطار في الشكل\(\PageIndex{1}\)، يكون التسارع في الاتجاه السلبي في نظام الإحداثيات المختار، لذلك نقول إن القطار يمر بتسارع سلبي.
إذا كان الجسم المتحرك له سرعة في الاتجاه الإيجابي فيما يتعلق بالأصل المختار واكتسب تسارعًا سلبيًا ثابتًا، فإن الجسم في النهاية يستريح ويعود إلى الاتجاه المعاكس. إذا انتظرنا لفترة كافية، يمر الكائن عبر نقطة الأصل في الاتجاه المعاكس. هذا موضح في الشكل\(\PageIndex{2}\).
خرج حصان سباق من البوابة مسرعًا من السكون إلى سرعة ١٥٫٠ م/ث متجهًا غربًا خلال ١٫٨٠ ثانية، ما متوسط عجلته؟
إستراتيجية
أولاً نرسم رسمًا ونخصص نظامًا إحداثيًا لشكل المشكلة\(\PageIndex{4}\). هذه مشكلة بسيطة، ولكنها تساعد دائمًا على تصورها. لاحظ أننا نحدد الشرق كإيجابي والغرب كسلبي. وبالتالي، في هذه الحالة، لدينا سرعة سلبية.
يمكننا حل هذه المشكلة عن طريق تحديد\(\Delta\) v و\(\Delta\) t من المعلومات المعطاة، ثم حساب متوسط التسارع مباشرة من المعادلة\(\bar{a} = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v_{f} - v_{0}}{t_{f} - t_{0}}\).
الحل
أولاً، حدِّد المعلوم: v 0 = 0، v f = −15.0 m/s (تشير العلامة السالبة إلى الاتجاه نحو الغرب)،\(\Delta\) t = 1.80 ثانية، ثانيًا، أوجد التغيُّر في السرعة. بما أن الحصان يتحرك من صفر إلى —15.0 م/ث، فإن التغير في سرعته يساوي سرعته النهائية:
\[\Delta v = v_{f} - v_{0} = v_{f} = -15.0\; m/s \ldotp\]
أخيرًا، استبدل القيم المعروفة (\(\Delta\)v و\(\Delta\) t) وقم بحل المجهول\(\bar{a}\):
\[\bar{a} = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{-15.0\; m/s}{1.80\; s} = -8.33\; m/s^{2} \ldotp\]
الدلالة
تشير الإشارة السلبية للتسارع إلى أن التسارع يتجه نحو الغرب. التسارع البالغ ٨٫٣٣ م/ث ٢ باتجاه الغرب يعني أن الحصان يزيد سرعته بمقدار ٨٫٣٣ م/ث غربًا في كل ثانية؛ أي ٨٫٣٣ مترًا في الثانية في الثانية، ونكتب ذلك بمقدار ٨٫٣٣ م/ث ٢. هذا حقًا تسارع متوسط، لأن الرحلة ليست سلسة. نرى لاحقًا أن تسارعًا بهذا الحجم سيتطلب من الفارس التمسك بقوة تساوي وزنه تقريبًا.
تتسارع البروتونات في المعجل الخطي من السكون إلى 2.0 × 10 7 م/ث في غضون 10-4 ثوانٍ، ما متوسط تسارع البروتونات؟
تسريع فوري
يتم الحصول على التسارع اللحظي، أو التسارع في لحظة زمنية محددة، باستخدام نفس العملية التي تمت مناقشتها للسرعة اللحظية. أي أننا نحسب متوسط السرعة بين نقطتين زمنيتين مفصولتين بـ\(\Delta\) t ونتركه\(\Delta\) يقترب من الصفر. والنتيجة هي مشتق دالة السرعة v (t)، وهي التسارع اللحظي ويتم التعبير عنها رياضيًا كـ
\[a(t) = \frac{d}{dt} v(t) \ldotp \label{3.9}\]
وبالتالي، على غرار السرعة المشتقة من دالة الموضع، فإن التسارع اللحظي هو مشتق دالة السرعة. يمكننا عرض هذا بيانياً بنفس طريقة السرعة اللحظية. في الشكل\(\PageIndex{5}\)، التسارع اللحظي في الوقت عند 0 هو ميل خط المماس إلى الرسم البياني للسرعة مقابل الوقت في الوقت عند 0. نرى أن متوسط التسارع\(\bar{a} = \frac{\Delta v}{\Delta t}\) يقترب من التسارع الفوري مع اقتراب Δt من الصفر. أيضًا في الجزء (أ) من الشكل، نرى أن السرعة لها حد أقصى عندما يكون المنحدر صفرًا. هذه المرة تقابل صفر وظيفة التسارع. في الجزء (ب)، يظهر التسارع الفوري عند الحد الأدنى للسرعة، وهو أيضًا صفر، نظرًا لأن منحدر المنحنى يكون صفرًا هناك أيضًا. وبالتالي، بالنسبة لدالة سرعة معينة، تعطي أصفار دالة التسارع إما السرعة الدنيا أو القصوى
لتوضيح هذا المفهوم، دعونا ننظر إلى مثالين. أولاً، يتم عرض مثال بسيط باستخدام الشكل 3.3.4 (ب)، الرسم البياني للسرعة مقابل الوقت في المثال 3.3، للعثور على التسارع بيانياً. تم تصوير هذا الرسم البياني في الشكل\(\PageIndex{6}\) (أ)، وهو خط مستقيم. تم العثور على الرسم البياني المقابل للتسارع مقابل الوقت من منحدر السرعة ويظهر في الشكل\(\PageIndex{6}\) (ب). في هذا المثال، تكون دالة السرعة خطًا مستقيمًا بمنحدر ثابت، وبالتالي يكون التسارع ثابتًا. في المثال التالي، تعتمد دالة السرعة بشكل وظيفي أكثر تعقيدًا على الوقت.
إذا عرفنا الشكل الوظيفي للسرعة، v (t)، يمكننا حساب التسارع اللحظي a (t) في أي نقطة زمنية في الحركة باستخدام المعادلة\ ref {3.9}.
جسم يتحرك ويتسارع. الشكل الوظيفي للسرعة هو v (t) = 20t − 5t 2 m/s.
- ابحث عن الشكل الوظيفي للتسارع.
- أوجد السرعة اللحظية عند t = ١، ٢، ٣، ٥ ث.
- أوجد التسارع اللحظي عند t = 1 و2 و3 و5 ثوانٍ.
- فسر نتائج (ج) من حيث اتجاهات متجهات التسارع والسرعة.
إستراتيجية
نجد الشكل الوظيفي للعجلة بأخذ مشتق دالة السرعة. ثم نحسب قيم السرعة اللحظية والتسارع من الوظائف المحددة لكل منها. بالنسبة للجزء (د)، نحتاج إلى مقارنة اتجاهات السرعة والتسارع في كل مرة.
الحل
- a (t) =\(\frac{dv(t)}{dt}\) dv (t) dt = 20 − 10t m/s 2
- v (1 ثانية) = 15 م/ث، v (2 ثانية) = 20 م/ث، v (3 ثوان) = 15 م/ث، v (5 ثوان) = −25 م/ث
- أ (1 ثانية) = 10 م/ث 2، أ (2 ثانية) = 0 م/ث 2، أ (3 ثوان) = −10 م/ث 2، أ (5 ثوان) = −30 متر/ثانية 2
- عند t = 1 ثانية، تكون السرعة v (1 ثانية) = 15 m/s موجبة والتسارع إيجابي، لذلك تكون كل من السرعة والتسارع في نفس الاتجاه. يتحرك الجسيم بشكل أسرع.
عند t = 2 ثانية، زادت السرعة إلى v (2 ثانية) = 20 m/s، حيث تكون الحد الأقصى، وهو ما يتوافق مع الوقت الذي يكون فيه التسارع صفرًا. نرى أن السرعة القصوى تحدث عندما يكون ميل دالة السرعة صفرًا، وهو مجرد صفر من دالة التسارع.
عند t = 3 ثوانٍ، تكون السرعة v (3 ثوانٍ) = 15 متر/ثانية ويكون التسارع سالبًا. لقد خفض الجسيم سرعته وأصبح متجه التسارع سالبًا. يتباطأ الجسيم.
عند t = 5 ثوانٍ، تكون السرعة v (5 ثوانٍ) = −25 م/ث ويكون التسارع سالبًا بشكل متزايد. بين الأوقات t = 3 s و t = 5 s، انخفض الجسيم سرعته إلى الصفر ثم أصبح سالبًا، وبالتالي عكس اتجاهه. يتسارع الجسيم الآن مرة أخرى، ولكن في الاتجاه المعاكس.
يمكننا رؤية هذه النتائج بيانياً في الشكل\(\PageIndex{7}\).
الدلالة
من خلال إجراء تحليل عددي ورسومي لسرعة وتسارع الجسيم، يمكننا معرفة الكثير عن حركته. يكمل التحليل العددي التحليل الرسومي في إعطاء عرض إجمالي للحركة. يتوافق صفر دالة التسارع مع الحد الأقصى للسرعة في هذا المثال. وفي هذا المثال أيضًا، عندما يكون التسارع موجبًا وفي نفس اتجاه السرعة، تزداد السرعة. عندما يميل التسارع نحو الصفر، ويصبح سالبًا في النهاية، تصل السرعة إلى الحد الأقصى، وبعد ذلك تبدأ في الانخفاض. إذا انتظرنا لفترة كافية، تصبح السرعة سالبة أيضًا، مما يشير إلى انعكاس الاتجاه. ومن الأمثلة الواقعية على هذا النوع من الحركة سيارة ذات سرعة تتزايد إلى الحد الأقصى، وبعد ذلك تبدأ في التباطؤ وتتوقف ثم تعكس الاتجاه.
تهبط طائرة على مدرج متجه شرقًا. وصف تسريعها.
الشعور بالتسارع
ربما تكون معتادًا على تجربة التسارع عند الصعود إلى المصعد أو الضغط على دواسة الوقود في سيارتك. ومع ذلك، يحدث التسارع للعديد من الأشياء الأخرى في عالمنا والتي ليس لدينا اتصال مباشر بها. يعرض الجدول 3.2 تسارع الكائنات المختلفة. يمكننا أن نرى مقادير التسارع تمتد على عدة درجات من حيث الحجم.
الجدول 3.2 - القيم النموذجية للتسارع
(المصدر: ويكيبيديا: أوامر الحجم (التسارع))
| التسريع | القيمة (م/ث 2) |
|---|---|
| قطار فائق السرعة | 0.25 |
| المصعد | 2 |
| الفهد | 5 |
| جسم في حالة سقوط حر بدون مقاومة للهواء بالقرب من سطح الأرض | 9.8 |
| الحد الأقصى لمكوك الفضاء أثناء الإطلاق | 29 |
| ذروة المظلي أثناء الفتح العادي للمظلة | 59 |
| طائرة F16 تنسحب من الغوص | 79 |
| طرد مقعد متفجر من الطائرة | 147 |
| صاروخ سبرينت | 982 |
| أسرع تسارع في ذروة زلاجة الصواريخ | 1540 |
| القفز على البراغيث | 3200 |
| ضرب البيسبول بمضرب | 30,000 |
| إغلاق فكي نملة ذات فك مصيدة | 1,000,000 |
| بروتون في مصادم هادرون الكبير | 1.9 × 10 9 |
في هذا الجدول، نرى أن التسرعات النموذجية تختلف اختلافًا كبيرًا باختلاف الكائنات ولا علاقة لها بحجم الكائن أو حجمه. يمكن أن يختلف التسارع أيضًا بشكل كبير مع مرور الوقت أثناء حركة الكائن. يحصل متسابق السحب على تسارع كبير بعد بدايته مباشرة، ولكن بعد ذلك يتناقص مع وصول السيارة إلى سرعة ثابتة. يمكن أن يكون متوسط التسارع مختلفًا تمامًا عن التسارع اللحظي في وقت معين أثناء حركته. \(\PageIndex{8}\)يقارن الشكل متوسط التسارع بيانيًا مع التسارع اللحظي لحركتين مختلفتين جدًا.
تعرف على الرسوم البيانية للموضع والسرعة والتسارع. حرك الرجل الصغير ذهابًا وإيابًا باستخدام الماوس ورسم حركته. اضبط الموضع أو السرعة أو التسارع ودع المحاكاة تحرك الرجل نيابة عنك. قم بزيارة هذا الرابط لاستخدام محاكاة الرجل المتحرك.