Skip to main content
Global

3.3: السرعة اللحظية والسرعة

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    199795

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    أهداف التعلم
    • اشرح الفرق بين متوسط السرعة والسرعة اللحظية.
    • وصف الفرق بين السرعة والسرعة.
    • احسب السرعة اللحظية بمعلومية المعادلة الرياضية للسرعة.
    • احسب السرعة بمعلومية السرعة اللحظية.

    لقد رأينا الآن كيفية حساب متوسط السرعة بين موقعين. ومع ذلك، نظرًا لأن الأجسام في العالم الحقيقي تتحرك باستمرار عبر المكان والزمان، فإننا نرغب في العثور على سرعة الجسم في أي نقطة واحدة. يمكننا العثور على سرعة الكائن في أي مكان على طول مساره باستخدام بعض المبادئ الأساسية لحساب التفاضل والتكامل. يعطينا هذا القسم رؤية أفضل لفيزياء الحركة وسيكون مفيدًا في الفصول اللاحقة.

    السرعة اللحظية

    الكمية التي تخبرنا بمدى سرعة تحرك الجسم في أي مكان على طول مساره هي السرعة اللحظية، وعادة ما تسمى السرعة ببساطة. إنه متوسط السرعة بين نقطتين على المسار في الحد الذي يقترب فيه الوقت (وبالتالي الإزاحة) بين النقطتين من الصفر. لتوضيح هذه الفكرة رياضيًا، نحتاج إلى التعبير عن الموضع x كدالة مستمرة لـ t يُشار إليها بـ x (t). التعبير عن متوسط السرعة بين نقطتين باستخدام هذا الترميز هو\(\bar{v} = \frac{x(t_{2}) - x(t_{1})}{t_{2} - t_{1}}\). لإيجاد السرعة اللحظية في أي موضع، نترك t 1 = t و t 2 =\(\Delta\) t + t، وبعد إدخال هذه التعبيرات في معادلة متوسط السرعة وأخذ الحد كـ\(\Delta\) t → 0، نجد التعبير عن السرعة اللحظية:

    \[v(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{x(t + \Delta t) - x(t)}{\Delta t} = \frac{dx(t)}{dt} \ldotp\]

    السرعة اللحظية

    السرعة اللحظية لجسم ما هي حد متوسط السرعة مع اقتراب الوقت المنقضي من الصفر، أو مشتق x فيما يتعلق بـ t:

    \[v(t) = \frac{d}{dt} x(t) \ldotp \label{3.4}\]

    مثل السرعة المتوسطة، تعد السرعة اللحظية متجهًا بأبعاد الطول في كل مرة. السرعة اللحظية عند نقطة زمنية محددة t 0 هي معدل تغير دالة الموضع، وهو ميل دالة الموضع x (t) عند t 0. \(\PageIndex{1}\)يوضح الشكل كيف يقترب متوسط السرعة\(\bar{v} = \frac{\Delta x}{\Delta t}\) بين المرتين من السرعة اللحظية عند t 0. تظهر السرعة اللحظية في الوقت t 0، والتي تصادف أن تكون عند الحد الأقصى لدالة الموضع. ميل الرسم البياني للموضع هو صفر عند هذه النقطة، وبالتالي فإن السرعة اللحظية هي صفر. في أوقات أخرى، t 1 و t 2 وما إلى ذلك، لا تكون السرعة اللحظية صفرًا لأن ميل الرسم البياني للموضع سيكون موجبًا أو سلبيًا. إذا كان لدالة الموضع حد أدنى، فسيكون ميل الرسم البياني للموضع صفرًا أيضًا، مما يعطي سرعة لحظية تبلغ صفرًا هناك أيضًا. وبالتالي، فإن أصفار دالة السرعة تعطي الحد الأدنى والحد الأقصى لدالة الموضع.

    يُظهر الرسم البياني الموضع المرسوم مقابل الوقت. يزداد الموضع من t1 إلى t2 ويصل إلى الحد الأقصى عند t0. ينخفض إلى AT ويستمر في الانخفاض عند t4. يُشار إلى ميل خط المماس عند t0 بالسرعة اللحظية.
    الشكل\(\PageIndex{1}\): في الرسم البياني للموضع مقابل الزمن، السرعة اللحظية هي ميل خط المماس عند نقطة معينة. يظهر متوسط السرعات\(\bar{v} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x_{f} - x_{i}}{t_{f} - t_{i}}\) بين المرات\(\Delta\) t = t 6 − t 1،\(\Delta\) t = t 5 − t 2،\(\Delta\) t = t 4 − t 3. عندما\(\Delta\) t → 0، يقترب متوسط السرعة من السرعة اللحظية عند t = t 0.
    مثال 3.2: إيجاد السرعة من الرسم البياني للموضع مقابل الوقت

    باستخدام الرسم البياني للموضع مقابل الوقت في الشكل\(\PageIndex{2}\)، ابحث عن الرسم البياني للسرعة مقابل الوقت.

    يُظهر الرسم البياني الموقع بالكيلومترات المرسومة كدالة للوقت بالدقائق. يبدأ من نقطة الأصل، ويصل إلى 0.5 كيلومتر في 0.5 دقيقة، ويظل ثابتًا بين 0.5 و 0.9 دقيقة، وينخفض إلى 0 في 2.0 دقيقة.
    الشكل\(\PageIndex{2}\): يبدأ الكائن في الاتجاه الإيجابي، ويتوقف لفترة قصيرة، ثم يعكس الاتجاه، ويعود إلى نقطة الأصل. لاحظ أن الجسم يستقر على الفور، الأمر الذي يتطلب قوة لا نهائية. وبالتالي، فإن الرسم البياني هو تقريب للحركة في العالم الحقيقي. (تمت مناقشة مفهوم القوة في قوانين نيوتن للحركة.)

    إستراتيجية

    يحتوي الرسم البياني على ثلاثة خطوط مستقيمة خلال ثلاث فترات زمنية. نجد السرعة خلال كل فترة زمنية بأخذ ميل الخط باستخدام الشبكة.

    الحل

    الفاصل الزمني من 0 ثانية إلى 0.5 ثانية:\(\bar{v} = \frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{0.5\; m − 0.0\; m}{0.5\; s − 0.0\; s} = 1.0\; m/s\)

    الفاصل الزمني من 0.5 ثانية إلى 1.0 ثانية:\(\bar{v} = \frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{0.0\; m − 0.0\; m}{1.0\; s − 0.5\; s} = 0.0\; m/s\)

    الفاصل الزمني من 1.0 ثانية إلى 2.0 ثانية:\(\bar{v} = \frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{0.0\; m − 0.5\; m}{2.0\; s − 1.0\; s} = -0.5\; m/s\)

    يظهر الرسم البياني لقيم السرعة مقابل الوقت في الشكل\(\PageIndex{3}\).

    يُظهر الرسم البياني السرعة بالأمتار في الثانية مرسومًا كدالة للوقت بالثواني. تبلغ السرعة 1 متر في الثانية بين 0 و 0.5 ثانية، وصفر بين 0.5 و 1.0 ثانية، و -0.5 بين 1.0 و 2.0 ثانية.
    الشكل\(\PageIndex{3}\): السرعة موجبة للجزء الأول من الرحلة، وصفر عند توقف الجسم، وسالبة عندما يعكس الجسم اتجاهه.

    الأهمية

    أثناء الفاصل الزمني بين 0 ثانية و0.5 ثانية، يتحرك موضع الكائن بعيدًا عن نقطة الأصل ويكون منحنى الموضع مقابل الوقت مائلًا موجبًا. عند أي نقطة على المنحنى خلال هذه الفترة الزمنية، يمكننا إيجاد السرعة اللحظية بأخذ منحدرها، وهو +1 m/s، كما هو موضح في الشكل\(\PageIndex{3}\). في الفترة الزمنية اللاحقة، بين 0.5 ثانية و1.0 ثانية، لا يتغير الموضع ونرى أن المنحدر يساوي صفرًا. من ١٫٠ ث إلى ٢٫٠ ثانية، يتحرك الجسم عائدًا نحو نقطة الأصل ويكون المنحدر −٠٫٥ م/ث، وقد عكس الجسم اتجاهه وأصبح سرعته سالبة.

    السرعة

    في اللغة اليومية، يستخدم معظم الناس مصطلحي السرعة والسرعة بالتبادل. لكن في الفيزياء، ليس لها نفس المعنى وهي مفاهيم متميزة. أحد الاختلافات الرئيسية هو أن السرعة ليس لها اتجاه؛ أي أن السرعة هي رقم قياسي.

    يمكننا حساب متوسط السرعة من خلال إيجاد المسافة الإجمالية المقطوعة مقسومًا على الوقت المنقضي:

    \[Average\; speed = \bar{s} = \frac{Total\; distance}{Elapsed\; time} \ldotp \label{3.5}\]

    متوسط السرعة ليس بالضرورة نفس حجم متوسط السرعة، والذي يتم العثور عليه بقسمة حجم الإزاحة الكلية على الوقت المنقضي. على سبيل المثال، إذا بدأت الرحلة وانتهت في نفس الموقع، يكون إجمالي الإزاحة صفرًا، وبالتالي يكون متوسط السرعة صفرًا. ومع ذلك، فإن متوسط السرعة ليس صفرًا، لأن المسافة الإجمالية المقطوعة أكبر من الصفر. إذا قمنا برحلة برية لمسافة 300 كم واحتجنا إلى أن نكون في وجهتنا في وقت معين، فإننا سنكون مهتمين بمتوسط سرعتنا.

    ومع ذلك، يمكننا حساب السرعة اللحظية من حجم السرعة اللحظية:

    \[Instantaneous\; speed = |v(t)| \ldotp \label{3.6}\]

    إذا كان الجسم يتحرَّك على طول المحور السيني بسرعة +7.0 m/s وتحرَّك جُسيم آخر على طول نفس المحور بسرعة −7.0 m/s، فإن لهما سرعات مختلفة، ولكن لكلاهما نفس السرعة البالغة 7.0 m/s، وتُظهر بعض السرعات النموذجية في الجدول التالي.

    الجدول 3.1 - سرعات الكائنات المختلفة
    السرعة م/ث ميل/ساعة
    الانجراف القاري 10 -7 2 × 10 -7
    المشي السريع 1.7 3.9
    دراج 4.4 10
    سبرينت رانر 12.2 27
    الحد الأقصى للسرعة الريفية 24.6 56
    سجل سرعة الأرض الرسمي 341.1 763
    سرعة الصوت عند مستوى سطح البحر 343 768
    مكوك الفضاء عند العودة 7800 17,500
    سرعة الهروب من الأرض* 11,200 25,000
    السرعة المدارية للأرض حول الشمس 29,783 66,623
    سرعة الضوء في الفراغ 299، 792، 458 670، 616,629
    * سرعة الهروب هي السرعة التي يجب إطلاق الجسم بها حتى يتغلب على جاذبية الأرض ولا يتم سحبه مرة أخرى نحو الأرض.

    حساب السرعة اللحظية

    عند حساب السرعة اللحظية، نحتاج إلى تحديد الشكل الصريح لوظيفة الموضع x (t). إذا كان لكل مصطلح في معادلة x (t) شكل At n حيث يكون A ثابتًا و n عددًا صحيحًا، فيمكن التمييز بين ذلك باستخدام قاعدة الطاقة ليكون:

    \[\frac{d\left(A t^{n}\right)}{d t}=A n t^{n-1} \ldotp \label{3.7}\]

    لاحظ أنه في حالة إضافة مصطلحات إضافية معًا، يمكن تنفيذ قاعدة قوة التفاضل هذه عدة مرات ويكون الحل هو مجموع هذه المصطلحات. يوضح المثال التالي استخدام المعادلة\ ref {3.7}.

    مثال 3.3: السرعة اللحظية مقابل متوسط السرعة

    يُعطى موضع الجسيم بواسطة x (t) = 3.0t + 0.5t 3 m.

    1. باستخدام المعادلة\ ref {3.4} والمعادلة\ ref {3.7}، ابحث عن السرعة اللحظية عند t = 2.0 ثانية.
    2. احسب متوسط السرعة بين 1.0 ثانية و3.0 ثانية.

    إستراتيجية

    المعادلة\ ref {3.4} تعطي السرعة اللحظية للجسيم كمشتق من دالة الموضع. بالنظر إلى شكل دالة الموضع المعطاة، نرى أنها كثيرة الحدود في t. لذلك، يمكننا استخدام Equation\ ref {3.7}، قاعدة القوة من حساب التفاضل والتكامل، لإيجاد الحل. نحن نستخدم المعادلة\ ref {3.6} لحساب متوسط سرعة الجسيم.

    الحل
    1. v (t) =\(\frac{dx(t)}{dt}\) = 3.0 + 1.5t 2 م/ث، والاستعاضة عن t = 2.0 ثانية في هذه المعادلة تعطي v (2.0 ثانية) = [3.0 + 1.5 (2.0) 2] م/ث = 9.0 م/ث.
    2. لتحديد متوسط سرعة الجسيم بين 1.0 ثانية و 3.0 ثانية، نحسب قيم x (1.0 ثانية) و x (3.0 ثانية):

    \[x(1.0 s) = \big[(3.0)(1.0) + 0.5(1.0)^{3} \big]m = 3.5\; m\]

    \[x(3.0 s) =\big[(3.0)(3.0) + 0.5(3.0)^{3}\big] m = 22.5\; m\]

    ثم متوسط السرعة هو

    \[\bar{v} = \frac{x(3.0\; s) - x(1.0\; s)}{t(3.0\; s) - t(1.0\; s)} = \frac{22.5 - 3.5\; m}{3.0 - 1.0\; s} = 9.5\; m/s \ldotp\]

    الأهمية

    في الحد الذي يصل فيه الفاصل الزمني المستخدم للحساب إلى\(\bar{v}\) الصفر،\(\bar{v}\) تتقارب القيمة التي تم الحصول عليها من أجل قيمة v.

    مثال 3.4: السرعة اللحظية مقابل السرعة

    ضع في اعتبارك حركة جسم يكون موضعه x (t) = 3.0t − 3t 2 m.

    1. ما السرعة اللحظية عند t = 0.25 ثانية، t = 0.50 ثانية، t = 1.0 ثانية؟
    2. ما سرعة الجسيم في هذه الأوقات؟

    إستراتيجية

    السرعة اللحظية هي مشتقة من دالة الموضع والسرعة هي حجم السرعة اللحظية. نحن نستخدم المعادلة\ ref {3.4} والمعادلة\ ref {3.7} لحل السرعة اللحظية.

    الحل
    1. v (t)\(\frac{dx(t)}{dt}\) = 3.0 - 6.0 طن متر/ثانية
    2. v (0.25 ثانية) = 1.50 م/ث، v (0.5 ثانية) = 0 م/ث، v (1.0 ثانية) = −3.0 م/ث
    3. السرعة = |v (t) | = 1.50 متر/ثانية، 0.0 م/ث، و 3.0 م/ث

    الأهمية

    تعطينا سرعة الجسيم معلومات الاتجاه، مما يشير إلى أن الجسيم يتحرك إلى اليسار (الغرب) أو اليمين (الشرق). تعطي السرعة حجم السرعة. من خلال التمثيل البياني للموضع والسرعة والسرعة كدالات للوقت، يمكننا فهم هذه المفاهيم بصريًا\(\PageIndex{4}\). في (أ)، يُظهر الرسم البياني الجسم يتحرك في الاتجاه الإيجابي حتى t = 0.5 ثانية، عندما يعكس الاتجاه. يمكن أيضًا رؤية انعكاس الاتجاه في (ب) عند 0.5 ثانية حيث تكون السرعة صفرًا ثم يتحول إلى سالب. في 1.0 ثانية، تعود إلى الأصل حيث بدأت. تكون سرعة الجسيم عند 1.0 ثانية في (b) سالبة، لأنه يتحرك في الاتجاه السالب. ولكن في (ج)، تكون سرعته إيجابية وتظل إيجابية طوال وقت السفر. يمكننا أيضًا تفسير السرعة على أنها منحدر الرسم البياني للموضع مقابل الوقت. ينخفض ميل x (t) نحو الصفر، ليصبح صفرًا عند 0.5 ثانية وسالبًا بشكل متزايد بعد ذلك. يساعد هذا التحليل لمقارنة الرسوم البيانية للموضع والسرعة والسرعة في اكتشاف الأخطاء في العمليات الحسابية. يجب أن تكون الرسوم البيانية متسقة مع بعضها البعض وتساعد في تفسير العمليات الحسابية.

    يُظهر الرسم البياني A الموضع بالأمتار المرسومة مقابل الوقت بالثواني. يبدأ من نقطة الأصل، ويصل إلى الحد الأقصى عند 0.5 ثانية، ثم يبدأ في تقليل عبور المحور x في ثانية واحدة. يُظهر الرسم البياني B السرعة بالأمتار في الثانية مرسومًا كدالة للوقت بالثواني. تنخفض السرعة خطيًا من اليسار إلى اليمين. يُظهر الرسم البياني C السرعة المطلقة بالأمتار في الثانية مرسومًا كدالة للوقت بالثواني. يحتوي الرسم البياني على شكل حرف V. تنخفض السرعة حتى 0.5 ثانية؛ ثم تبدأ في الزيادة.
    الشكل\(\PageIndex{4}\): (أ) الموضع: x (t) مقابل الوقت. (ب) السرعة: v (t) مقابل الوقت. ميل الرسم البياني للموضع هو السرعة. تشير المقارنة التقريبية لمنحدرات خطوط المماس في (أ) عند 0.25 ثانية و0.5 ثانية و1.0 ثانية مع قيم السرعة في الأوقات المقابلة إلى أنها نفس القيم. (ج) السرعة: |v (t) | مقابل الوقت. السرعة هي دائمًا رقم موجب.
    التمرين 3.2

    موضع جسم كدالة للوقت هو x (t) = −3t 2 m. (a) ما سرعة الجسم كدالة للوقت؟ (ب) هل السرعة موجبة على الإطلاق؟ (ج) ما السرعة والسرعة عند t = 1.0 ثانية؟