Skip to main content
Global

3.2: الموضع والإزاحة ومتوسط السرعة

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    199806

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    أهداف التعلم
    • حدد الموضع والإزاحة والمسافة المقطوعة.
    • احسب إجمالي الإزاحة بمعلومية الموضع كدالة للوقت.
    • حدد المسافة الإجمالية المقطوعة.
    • احسب متوسط السرعة بمعلومية الإزاحة والوقت المنقضي.

    عندما تكون في حالة حركة، فإن الأسئلة الأساسية التي يجب طرحها هي: أين أنت؟ إلى أين تذهب؟ ما مدى سرعتك في الوصول إلى هناك؟ تتطلب الإجابات على هذه الأسئلة تحديد موضعك وإزاحتك ومتوسط سرعتك - المصطلحات التي نحددها في هذا القسم.

    موضع

    لوصف حركة كائن ما، يجب أولاً أن تكون قادرًا على وصف موضعه (x): أين هو في أي وقت معين. بتعبير أدق، نحتاج إلى تحديد موضعها بالنسبة لإطار مرجعي مناسب. الإطار المرجعي هو مجموعة عشوائية من المحاور التي يتم وصف موضع وحركة الكائن منها. غالبًا ما تستخدم الأرض كإطار مرجعي، وغالبًا ما نصف موقع الكائن من حيث صلته بالأجسام الثابتة على الأرض. على سبيل المثال، يمكن وصف إطلاق صاروخ من حيث موقع الصاروخ فيما يتعلق بالأرض ككل، في حين يمكن وصف موقع الدراج من حيث مكان وجودها فيما يتعلق بالمباني التي تمر بها الشكل\(\PageIndex{1}\). في حالات أخرى، نستخدم إطارات مرجعية ليست ثابتة ولكنها تتحرك بالنسبة للأرض. لوصف موقع الشخص في الطائرة، على سبيل المثال، نستخدم الطائرة، وليس الأرض، كإطار مرجعي. لوصف موضع كائن يخضع لحركة أحادية البعد، غالبًا ما نستخدم المتغير x، وفي وقت لاحق من الفصل، أثناء مناقشة السقوط الحر، نستخدم المتغير y.

    تظهر الصورة ثلاثة أشخاص يركبون دراجات بجوار قناة.
    الشكل\(\PageIndex{1}\): يمكن وصف راكبي الدراجات في فيتنام من خلال موقعهم بالنسبة للمباني أو القناة. يمكن وصف حركتهم من خلال تغييرهم في الموضع أو الإزاحة في إطار مرجعي. (تصوير: سوزان بلاك)

    الإزاحة

    إذا تحرك كائن بالنسبة لإطار مرجعي - على سبيل المثال، إذا انتقل الأستاذ إلى اليمين بالنسبة إلى شكل لوح المعلومات\(\PageIndex{2}\) - فسيتغير موضع الكائن. هذا التغيير في الموضع يسمى الإزاحة. تشير كلمة الإزاحة إلى أن الكائن قد تم نقله أو إزاحته. على الرغم من أن الموضع هو القيمة العددية لـ x على طول خط مستقيم حيث قد يوجد كائن، فإن الإزاحة تعطي التغيير في الموضع على طول هذا الخط. نظرًا لأن الإزاحة تشير إلى الاتجاه، فهي متجه ويمكن أن تكون إما إيجابية أو سلبية، اعتمادًا على اختيار الاتجاه الإيجابي. أيضًا، يمكن أن يحتوي تحليل الحركة على العديد من عمليات النزوح المضمنة فيه. إذا كان اليمين موجبًا وتحرك جسم مسافة 2 متر إلى اليمين، ثم 4 أمتار إلى اليسار، تكون الإزاحات الفردية 2 م و −4 م على التوالي.

    يُظهر الرسم التوضيحي الأستاذ في موقعين مختلفين. تم تحديد الموقع الأول بـ 1.5 متر عند المحور x؛ أما الموقع الثاني فهو 3.5 متر عند المحور x. تبلغ المسافة بين الموقعين مترين.
    الشكل\(\PageIndex{2}\): يسير الأستاذ يسارًا ويمينًا أثناء إلقاء المحاضرات. يتم تحديد موقعها بالنسبة إلى الأرض بواسطة x. يتم تمثيل الإزاحة +2.0-m للأستاذ بالنسبة إلى الأرض بسهم يشير إلى اليمين.
    الإزاحة

    الإزاحة\(\Delta\) x هي التغيير في موضع الكائن:

    \[\Delta x = x_{f} - x_{0}, \label{3.1}\]

    حيث\(\Delta\) x هو الإزاحة، x f هو الموضع النهائي، و x 0 هو الموضع الأولي.

    نستخدم الحرف اليوناني الكبير delta (\(\Delta\)) ليعني «التغيير في» أي كمية تتبعه؛ وبالتالي،\(\Delta\) x تعني التغيير في الموضع (الموضع النهائي ناقصًا الموضع الأولي). نقوم دائمًا بحل الإزاحة عن طريق طرح الموضع الأولي x 0 من الموضع النهائي x f. لاحظ أن وحدة SI للإزاحة هي العداد، ولكن في بعض الأحيان نستخدم الكيلومترات أو وحدات الطول الأخرى. ضع في اعتبارك أنه عند استخدام وحدات أخرى غير العدادات في مشكلة ما، قد تحتاج إلى تحويلها إلى عدادات لإكمال الحساب (انظر الملحق B).

    يمكن أن تحتوي الكائنات المتحركة أيضًا على سلسلة من عمليات النزوح. في المثال السابق لأستاذ تحديد السرعة، كانت الإزاحات الفردية 2 م و −4 م، مما يجعل الإزاحة الكلية −2 م، ونحدد الإزاحة الكلية\(\Delta\) × الإجمالي، كمجموع الإزاحات الفردية، ونعبر عن ذلك رياضيًا باستخدام معادلة

    \[\Delta x_{Total} = \sum \Delta x_{i}, \label{3.2}\]

    حيث\(\delta\) x i هي التهجير الفردي. في المثال السابق،

    \[\Delta x_{1} = x_{1} - x_{0} = 2 - 0 = 2\; m \ldotp\]

    وبالمثل،

    \[\Delta x_{2} = x_{2} - x_{1} = -2 - (2) = -4 \; m \ldotp\]

    وهكذا،

    \[\Delta x_{total} = x_{1} + x_{2} = 2 - 4 = -2\; m \ldotp\]

    إجمالي الإزاحة هو 2 − 4 = −2 م إلى اليسار، أو في الاتجاه السالب. من المفيد أيضًا حساب حجم الإزاحة أو حجمها. دائمًا ما يكون حجم النزوح إيجابيًا. هذه هي القيمة المطلقة للنزوح، لأن النزوح هو ناقل ولا يمكن أن يكون له قيمة سلبية من حيث الحجم. في مثالنا، يبلغ حجم النزوح الكلي 2 متر، في حين أن مقادير النزوح الفردية هي 2 متر و 4 أمتار.

    لا ينبغي الخلط بين حجم النزوح الكلي والمسافة المقطوعة. المسافة المقطوعة × الإجمالي، هي إجمالي طول المسار الذي تم قطعه بين موقعين. في المشكلة السابقة، تكون المسافة المقطوعة هي مجموع مقادير عمليات النزوح الفردية:

    \[x_{total} = |x_{1}| + |x_{2}| = 2 + 4 = 6\; m \ldotp\]

    متوسط السرعة

    لحساب الكميات الفيزيائية الأخرى في الكينماتيكا، يجب أن نقدم متغير الوقت. يسمح لنا متغير الوقت ليس فقط بتحديد مكان الكائن (موضعه) أثناء حركته، ولكن أيضًا مدى سرعة تحركه. يتم تحديد مدى سرعة تحرك الجسم من خلال معدل تغير الموضع بمرور الوقت.

    لكل منصب x i، نقوم بتخصيص وقت معين له. إذا لم تكن تفاصيل الحركة في كل لحظة مهمة، فعادةً ما يتم التعبير عن المعدل بمتوسط السرعة\(\bar{v}\). كمية المتجهات هذه هي ببساطة إجمالي الإزاحة بين نقطتين مقسومًا على الوقت المستغرق للسفر بينهما. الوقت المستغرق للسفر بين نقطتين يسمى الوقت المنقضي\(\Delta\) t.

    متوسط السرعة

    إذا كانت x 1 و x 2 هي مواضع كائن في بعض الأحيان t 1 و t 2، على التوالي، إذن

    \[\begin{split} Average\; velocity =\; & \bar{v} = \frac{Displacement\; between\; two\; points}{Elapsed\; time\; between\; two\; points} \\ & \bar{v} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x_{2} - x_{1}}{t_{2} - t_{1}} \ldotp \end{split} \label{3.3}\]

    من المهم ملاحظة أن متوسط السرعة هو متجه ويمكن أن يكون سالبًا، اعتمادًا على المواضع x 1 و x 2.

    مثال 3.1: تسليم النشرات

    تنطلق جيل من منزلها لتسليم منشورات للبيع في فناء منزلها، وتسافر شرقًا على طول شارعها الذي تصطف على جانبيه المنازل. بعد 0.5 كم و 9 دقائق، نفدت منشوراتها وتضطر إلى تتبع خطواتها للعودة إلى منزلها للحصول على المزيد. يستغرق هذا 9 دقائق إضافية. بعد التقاط المزيد من النشرات، تنطلق مرة أخرى على نفس المسار، وتستمر من حيث توقفت، وينتهي بها الأمر على بعد كيلومتر واحد من منزلها. تستغرق هذه المحطة الثالثة من رحلتها 15 دقيقة. عند هذه النقطة تعود إلى منزلها متجهة غربًا. بعد 1.75 كم و 25 دقيقة تتوقف للراحة.

    1. ما هو إجمالي نزوح جيل إلى الحد الذي تتوقف عنده للراحة؟
    2. ما مقدار الإزاحة النهائية؟
    3. ما متوسط السرعة خلال رحلتها بأكملها؟
    4. ما المسافة الإجمالية المقطوعة؟
    5. قم بعمل رسم بياني للموضع مقابل الوقت. يظهر رسم تخطيطي لحركات جيل في الشكل\(\PageIndex{3}\).
    يعرض الشكل مخططًا زمنيًا لحركة الشخص. النزوح الأول هو من المنزل إلى اليمين بمقدار 0.5 كيلومتر. الإزاحة الثانية تعود إلى نقطة البداية. الإزاحة الثالثة هي إلى اليمين بمقدار 1.0 كيلومتر. الإزاحة الرابعة هي من النقطة الأخيرة إلى اليسار بمقدار 1.75 كيلومتر.
    الشكل\(\PageIndex{3}\): الجدول الزمني لحركات جيل.

    إستراتيجية

    تحتوي المشكلة على بيانات حول المراحل المختلفة لرحلة جيل، لذلك سيكون من المفيد عمل جدول للكميات المادية. يتم إعطاؤنا الموضع والوقت في صياغة المشكلة حتى نتمكن من حساب عمليات النزوح والوقت المنقضي. نأخذ الشرق ليكون الاتجاه الإيجابي. من هذه المعلومات يمكننا العثور على إجمالي الإزاحة ومتوسط السرعة. منزل جيل هو نقطة البداية x 0. يوضح الجدول التالي وقت جيل وموضعه في العمودين الأولين، ويتم حساب الإزاحات في العمود الثالث.

    الوقت إلى 5 دقائق (دقيقة) الموضع x (كم) الإزاحة\(\Delta\) x (كم)
    إلى 0 = 0 س 0 = 0 \(\Delta\)س 0 = 0
    إلى 1 = 9 × 1 = 0.5 \(\Delta\)x 1 = x 1 − x 0 = 0.5
    إلى 2 = 18 × 2 = 0 \(\Delta\)x2= x 2 − x 1 = -0.5
    إلى 3 = 33 × 3 = 1.0 \(\Delta\)س 3 = × 3 − × 2 = 1.0
    إلى 4 = 58 × 4 = -0.75 \(\Delta\)× 4 = × 4 − × 3 = -1.75
    الحل
    1. من الجدول أعلاه، يبلغ إجمالي الإزاحة $\ sum\ Delta x_ {i} = 0.5 - 0.5 + 1.0 - 1.75\؛ كم = -0.75\؛ كم\ ldotp$$
    2. حجم الإزاحة الكلية هو |−0.75| كم = 0.75 كم.
    3. $$المتوسط\; السرعة =\ frac {المجموع\; الإزاحة} {المنقضية\; الوقت} =\ بار {v} =\ frac {-0.75\; كم} {58\; دقيقة} = -0.013\; كلم/دقيقة$$
    4. إجمالي المسافة المقطوعة (مجموع مقادير النزوح الفردي) هو $x_ {المجموع} =\ المجموع |\ دلتا x_ {i} | = 0.5 + 0.5 + 1.0 + 1.75\; كم = 3.75\; km\ ldotp$$
    5. يمكننا رسم موضع جيل مقابل الوقت كأداة مساعدة مفيدة لرؤية الحركة؛ يظهر الرسم البياني في الشكل\(\PageIndex{4}\).
    يُظهر الرسم البياني الموقع بالكيلومترات مرسوم كدالة للوقت بالدقائق.
    الشكل\(\PageIndex{4}\): يوضح هذا الرسم البياني موقف جيل مقابل الوقت. متوسط السرعة هو منحدر الخط الذي يربط بين النقطتين الأولية والنهائية.

    الدلالة

    يبلغ إجمالي نزوح جيل −0.75 كم، مما يعني أنه في نهاية رحلتها ينتهي بها المطاف إلى مسافة 0.75 كم غرب منزلها. يعني متوسط السرعة أنه إذا كان شخص ما سيمشي غربًا بسرعة 0.013 كم/ساعة بدءًا من نفس الوقت الذي غادرت فيه جيل منزلها، فسيصل كلاهما إلى نقطة التوقف النهائية في نفس الوقت. لاحظ أنه إذا أنهت جيل رحلتها في منزلها، فسيكون إجمالي نزوحها صفرًا، بالإضافة إلى متوسط سرعتها. تبلغ المسافة الإجمالية التي قطعتها خلال 58 دقيقة من الوقت المنقضي لرحلتها 3.75 كم.

    التمرين 3.1

    يركب راكب دراجة مسافة 3 كيلومترات غربًا ثم يستدير ويركب مسافة 2 كم شرقًا. (أ) ما هو نزوحه؟ (ب) ما هي المسافة المقطوعة؟ (ج) ما هو حجم تهجيره؟

    يوضح الشكل الجدول الزمني لحركة الدراج. الإزاحة الأولى هي إلى اليسار بمقدار 3.0 كيلومترات. الإزاحة الثانية هي من النقطة الأخيرة إلى اليمين بمقدار 2.0 كيلومتر.