1.7: شخصيات مهمة

Last updated
Save as PDF

Page ID: 199979

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

أهداف التعلم

حدد العدد الصحيح للأرقام المهمة لنتيجة الحساب.
وصف العلاقة بين مفاهيم الدقة والدقة وعدم اليقين والتناقض.
احسب النسبة المئوية لعدم اليقين في القياس، بالنظر إلى قيمته وعدم اليقين فيه.
حدد عدم اليقين في نتيجة الحساب الذي يتضمن كميات ذات أوجه عدم يقين معينة.

$\PageIndex{1}$يوضِّح الشكل أداتين تستخدمان لقياس كتلة جسم. لقد حل المقياس الرقمي في الغالب محل الميزان المزدوج في مختبرات الفيزياء لأنه يعطي قياسات أكثر دقة ودقة. ولكن ماذا نعني بالضبط بالدقة والدقة؟ أليس هم نفس الشيء؟ في هذا القسم، ندرس بالتفصيل عملية إجراء القياس والإبلاغ عنه.

يوضح الشكل أ توازنًا قديمًا صدئًا مزدوجًا بكتلة قياسية في مقلاة واحدة. يوضح الشكل (ب) التوازن التحليلي الرقمي الحديث. — الشكل$\PageIndex{1}$: (أ) يتم استخدام ميزان ميكانيكي مزدوج لمقارنة الكتل المختلفة. عادة ما يتم وضع جسم ذو كتلة غير معروفة في وعاء واحد ويتم وضع الأشياء ذات الكتلة المعروفة في المقلاة الأخرى. عندما يكون الشريط الذي يربط بين الحوضين أفقيًا، تكون الكتل في كلا الوضعين متساوية. عادةً ما تكون «الكتل المعروفة» عبارة عن أسطوانات معدنية ذات كتلة قياسية مثل 1 g و 10 g و 100 g. (ب) تم استبدال العديد من الموازين الميكانيكية، مثل الموازين ذات المقلاة المزدوجة، بمقاييس رقمية يمكنها عادةً قياس كتلة الجسم بدقة أكبر. يمكن للميزان الميكانيكي قراءة كتلة الجسم حتى أقرب عُشر من الغرام فقط، ولكن يمكن للعديد من المقاييس الرقمية قياس كتلة جسم حتى أقرب جزء من ألف من الغرام. (الفضل أ: تعديل العمل من قبل سيرج ميلكي؛ الائتمان ب: تعديل العمل من قبل كاريل جاكوبيك)

دقة ودقة القياس

يعتمد العلم على الملاحظة والتجربة - أي على القياسات. الدقة هي مدى قرب القياس من القيمة المرجعية المقبولة لهذا القياس. على سبيل المثال، لنفترض أننا نريد قياس طول ورق الطابعة القياسي. تشير العبوة التي اشترينا فيها الورق إلى أن طولها 11.0 بوصة. ثم نقيس طول الورقة ثلاث مرات ونحصل على القياسات التالية: 11.1 بوصة و11.2 بوصة و10.9 بوصة. هذه القياسات دقيقة تمامًا لأنها قريبة جدًا من القيمة المرجعية 11.0 بوصة. في المقابل، إذا حصلنا على قياس 12 بوصة، فلن يكون قياسنا دقيقًا جدًا. لاحظ أن مفهوم الدقة يتطلب إعطاء قيمة مرجعية مقبولة.

تشير دقة القياسات إلى مدى قرب الاتفاق بين القياسات المستقلة المتكررة (التي تتكرر في ظل نفس الظروف). خذ بعين الاعتبار مثال القياسات الورقية. تشير دقة القياسات إلى انتشار القيم المقاسة. تتمثل إحدى طرق تحليل دقة القياسات في تحديد النطاق، أو الفرق، بين القيم الأدنى والأعلى المقاسة. في هذه الحالة، كانت أدنى قيمة 10.9 بوصة. وكانت أعلى قيمة 11.2 بوصة. وبالتالي، انحرفت القيم المقاسة عن بعضها البعض بمقدار 0.3 بوصة على الأكثر. كانت هذه القياسات دقيقة نسبيًا لأنها لم تختلف كثيرًا في القيمة. ومع ذلك، إذا كانت القيم المقاسة 10.9 بوصة و 11.1 بوصة و 11.9 بوصة، فلن تكون القياسات دقيقة جدًا لأنه سيكون هناك اختلاف كبير من قياس إلى آخر. لاحظ أن مفهوم الدقة يعتمد فقط على القياسات الفعلية المكتسبة ولا يعتمد على قيمة مرجعية مقبولة.

القياسات في المثال الورقي دقيقة ودقيقة، ولكن في بعض الحالات، تكون القياسات دقيقة ولكنها غير دقيقة، أو دقيقة ولكنها غير دقيقة. لننظر في مثال لنظام تحديد المواقع العالمي (GPS) الذي يحاول تحديد موقع مطعم في المدينة. فكر في موقع المطعم على أنه موجود في وسط هدف عين الثور وفكر في كل محاولة GPS لتحديد موقع المطعم كنقطة سوداء. في الشكل$\PageIndex{1a}$، نرى قياسات GPS منتشرة بعيدًا عن بعضها البعض، ولكنها كلها قريبة نسبيًا من الموقع الفعلي للمطعم في وسط الهدف. يشير هذا إلى نظام قياس منخفض الدقة وعالي الدقة. ومع ذلك$\PageIndex{1b}$، في الشكل، تتركز قياسات GPS بشكل وثيق جدًا مع بعضها البعض، ولكنها بعيدة عن الموقع المستهدف. يشير هذا إلى نظام قياس عالي الدقة ومنخفض الدقة.

نمطان للأهداف، يتكون كل منهما من ثلاث حلقات بيضاء متحدة المركز على خلفية حمراء. يُظهر الشكل أ، المسمى «دقة عالية ودقة منخفضة»، أربع نقاط سوداء، موزعة على طول محيط الدائرة الأعمق. يوضح الشكل (ب)، المسمى «دقة منخفضة ودقة عالية»، أربع نقاط سوداء متجمعة بالقرب من بعضها البعض بين الدوائر الوسطى والخارجية. — الشكل$\PageIndex{2}$: يحاول GPS تحديد موقع مطعم في وسط عين الثور. تمثل النقاط السوداء كل محاولة لتحديد موقع المطعم. (أ) تنتشر النقاط بعيدًا جدًا عن بعضها البعض، مما يشير إلى انخفاض الدقة، ولكن كل منها قريب جدًا من الموقع الفعلي للمطعم، مما يشير إلى الدقة العالية. (ب) تتركز النقاط بشكل وثيق مع بعضها البعض، مما يشير إلى الدقة العالية، ولكنها بعيدة نوعًا ما عن الموقع الفعلي للمطعم، مما يشير إلى انخفاض الدقة. (الائتمان أ والائتمان ب: تعديل أعمال Dark Evil)

الدقة والدقة وعدم اليقين والتناقض

ترتبط دقة نظام القياس بعدم اليقين في القياسات بينما ترتبط الدقة بالتناقض عن القيمة المرجعية المقبولة. عدم اليقين هو مقياس كمي لمدى انحراف القيم المقاسة عن بعضها البعض. هناك العديد من الطرق المختلفة لحساب عدم اليقين، كل منها مناسب لحالات مختلفة. تتضمن بعض الأمثلة أخذ النطاق (أي الأكبر وأقل الأصغر) أو العثور على الانحراف المعياري للقياسات. التناقض (أو «خطأ القياس») هو الفرق بين القيمة المقاسة والقيمة القياسية أو المتوقعة المحددة. إذا لم تكن القياسات دقيقة جدًا، فإن عدم اليقين في القيم مرتفع. إذا لم تكن القياسات دقيقة جدًا، فإن التناقض في القيم مرتفع.

تذكر مثالنا لقياس طول الورق؛ فقد حصلنا على قياسات 11.1 بوصة و11.2 بوصة و10.9 بوصة، وكانت القيمة المقبولة 11.0 بوصة. قد نقوم بحساب متوسط القياسات الثلاثة لنقول أن أفضل تخمين لدينا هو 11.1 بوصة؛ في هذه الحالة، يكون التباين لدينا هو 11.1 - 11.0 = 0.1 بوصة، مما يوفر مقياسًا كميًا للدقة. قد نحسب عدم اليقين في أفضل تخمين لدينا باستخدام نطاق القيم المقاسة: 0.3 بوصة. ثم نقول أن طول الورقة هو 11.1 بوصة زائد أو ناقص 0.3 بوصة. غالبًا ما يُشار إلى عدم اليقين في القياس، A، بـ$\delta$ A (اقرأ «delta A»)، لذلك سيتم تسجيل نتيجة القياس كـ A ±$\delta$ A. وبالعودة إلى المثال الورقي الخاص بنا، يمكن التعبير عن طول الورقة المقاس بـ 11.1 ± 0.3 بوصة. نظرًا لأن التباين البالغ 0.1 بوصة أقل من عدم اليقين البالغ 0.3 بوصة، فقد نقول أن القيمة المقاسة تتفق مع القيمة المرجعية المقبولة ضمن عدم اليقين التجريبي.

تتضمن بعض العوامل التي تساهم في عدم اليقين في القياس ما يلي:

قيود جهاز القياس
مهارة الشخص الذي يقوم بالقياس
المخالفات في الكائن الذي يتم قياسه
أي عوامل أخرى تؤثر على النتيجة (تعتمد بشكل كبير على الموقف)

في مثالنا، يمكن أن تكون هذه العوامل التي تساهم في عدم اليقين هي أصغر قسم على المسطرة هو 1/16 بوصة. أو الشخص الذي يستخدم المسطرة يعاني من ضعف البصر، أو تآكل المسطرة في أحد طرفيها، أو أن أحد جانبي الورقة أطول قليلاً من الآخر. على أي حال، يجب حساب عدم اليقين في القياس لتحديد دقته. إذا كانت القيمة المرجعية معروفة، فمن المنطقي حساب التناقض أيضًا لتحديد دقته.

نسبة عدم اليقين

طريقة أخرى للتعبير عن عدم اليقين هي كنسبة مئوية من القيمة المقاسة. إذا تم التعبير عن القياس A بعدم اليقين$\delta$ A، يتم تعريف نسبة عدم اليقين على النحو التالي

\[Percent\; uncertainty = \frac{\delta A}{A} \times 100 \%\]

مثال$\PageIndex{1}$: Calculating Percent Uncertainty: A Bag of Apples

يبيع متجر البقالة أكياس تفاح تزن 5 أرطال. لنفترض أننا نشتري أربع حقائب خلال شهر ونزن الحقائب في كل مرة. نحصل على القياسات التالية:

وزن الأسبوع الأول: 4.8 رطل
وزن الأسبوع الثاني: 5.3 رطل
وزن الأسبوع الثالث: 4.9 رطل
وزن الأسبوع الرابع: 5.4 رطل

ثم نحدد متوسط وزن كيس التفاح الذي يبلغ وزنه 5 أرطال هو 5.1 ± 0.3 رطل، ما هي نسبة عدم اليقين في وزن الكيس؟

إستراتيجية

أولاً، لاحظ أن متوسط قيمة وزن الحقيبة، A، هو 5.1 رطل، وعدم اليقين في هذه القيمة،$\delta$ A، هو 0.3 رطل، ويمكننا استخدام المعادلة التالية لتحديد نسبة عدم اليقين في الوزن:

\[Percent\; uncertainty = \frac{\delta A}{A} \times 100 \% \label{1.1}\]

الحل

استبدل القيم في المعادلة:

\[Percent\; uncertainty = \frac{\delta A}{A} \times 100 \% = \frac{0.3\; lb}{5.1\; lb} \times 100 \% = 5.9 \% \approx 6 \%\]

الأهمية

يمكننا أن نستنتج أن متوسط وزن كيس التفاح من هذا المتجر هو 5.1 رطل ± 6٪. لاحظ أن نسبة عدم اليقين لا أبعاد لها لأن وحدات الوزن في$\delta$ A = 0.3 lb ألغت تلك الموجودة في A = 5.1 lb عندما أخذنا النسبة.

التمارين$\PageIndex{1}$

اشترى مدرب مضمار في المدرسة الثانوية للتو ساعة توقيت جديدة. يشير دليل ساعة الإيقاف إلى أن ساعة الإيقاف لديها درجة من عدم اليقين تبلغ ± 0.05 ثانية، ويسجل المتسابقون في فريق مدرب المضمار بانتظام سباقات 100 متر من 11.49 ثانية إلى 15.01 ثانية، وفي آخر لقاء على مضمار المدرسة، جاء عداء المركز الأول في 12.04 ثانية، وجاء العداء صاحب المركز الثاني في الساعة 12.07 ثانية. ساعة التوقيت ستكون مفيدة في توقيت فريق السباق؟ لماذا أو لماذا لا؟

حالات عدم اليقين في الحسابات

يوجد عدم اليقين في أي شيء محسوب من الكميات المقاسة. على سبيل المثال، تتسم مساحة الأرضية المحسوبة من قياسات طولها وعرضها بعدم اليقين بسبب عدم اليقين في الطول والعرض. ما حجم عدم اليقين في شيء تحسبه بالضرب أو القسمة؟ إذا كانت القياسات التي تدخل في الحساب تحتوي على شكوك صغيرة (بضعة بالمائة أو أقل)، فيمكن استخدام طريقة إضافة النسب المئوية للضرب أو القسمة. توضح هذه الطريقة أن نسبة عدم اليقين في الكمية المحسوبة بالضرب أو القسمة هي مجموع نسبة عدم اليقين في العناصر المستخدمة لإجراء الحساب. على سبيل المثال، إذا كان طول الأرضية 4.00 مترًا وعرضه 3.00 مترًا، مع عدم اليقين بنسبة 2٪ و 1٪ على التوالي، فإن مساحة الأرضية تبلغ 12.0 م ² ولديها درجة عدم يقين تبلغ 3٪. (يُعبر عنها كمساحة، تبلغ هذه المساحة 0.36 م ² ^{[12.0 م 2} × 0.03]، ونقربها إلى 0.4 م ² نظرًا لأن مساحة الأرض تُعطى عُشر المتر المربع.)

دقة أدوات القياس والأرقام الهامة

هناك عامل مهم في دقة القياسات يتضمن دقة أداة القياس. بشكل عام، أداة القياس الدقيقة هي تلك التي يمكنها قياس القيم بزيادات صغيرة جدًا. على سبيل المثال، يمكن للمسطرة القياسية قياس الطول إلى أقرب ملليمتر بينما يمكن للفرجار قياس الطول لأقرب 0.01 مم. الفرجار هو أداة قياس أكثر دقة لأنه يمكنه قياس الاختلافات الصغيرة للغاية في الطول. كلما كانت أداة القياس أكثر دقة، زادت دقة القياسات.

عندما نعبر عن القيم المقاسة، يمكننا فقط إدراج أكبر عدد من الأرقام التي قمنا بقياسها في البداية باستخدام أداة القياس الخاصة بنا. على سبيل المثال، إذا استخدمنا مسطرة قياسية لقياس طول العصا، فقد نقيسها لتكون 36.7 سم. لا يمكننا التعبير عن هذه القيمة بـ 36.71 سم لأن أداة القياس الخاصة بنا ليست دقيقة بما يكفي لقياس جزء من مائة من السنتيمتر. وتجدر الإشارة إلى أن الرقم الأخير في القيمة المقاسة قد تم تقديره بطريقة ما من قبل الشخص الذي يجري القياس. على سبيل المثال، يلاحظ الشخص الذي يقيس طول العصا بمسطرة أن طول العصا يبدو أنه يتراوح بين 36.6 سم و 36.7 سم، ويجب عليه تقدير قيمة الرقم الأخير. باستخدام طريقة الأرقام المعنوية، فإن القاعدة هي أن الرقم الأخير المكتوب في القياس هو الرقم الأول مع بعض عدم اليقين. لتحديد عدد الأرقام المهمة في القيمة، ابدأ بالقيمة المقاسة الأولى على اليسار واحسب عدد الأرقام حتى آخر رقم مكتوب على اليمين. على سبيل المثال، تحتوي القيمة المقاسة 36.7 سم على ثلاثة أرقام، أو ثلاثة أرقام مهمة. تشير الأرقام المهمة إلى دقة أداة القياس المستخدمة لقياس القيمة.

الأصفار

يتم إيلاء اعتبار خاص للأصفار عند حساب الأرقام الهامة. لا تعتبر الأصفار الموجودة في 0.053 مهمة لأنها عناصر نائبة تحدد النقطة العشرية. هناك رقمان مهمان في 0.053. الأصفار الموجودة في 10.053 ليست عناصر نائبة؛ إنها مهمة. يحتوي هذا الرقم على خمسة أرقام مهمة. قد تكون الأصفار في 1300 مهمة أو لا تكون، اعتمادًا على أسلوب كتابة الأرقام. قد تعني أن الرقم معروف للرقم الأخير أو يمكن أن يكون عناصر نائبة. لذلك يمكن أن يحتوي 1300 على اثنين أو ثلاثة أو أربعة أرقام مهمة. لتجنب هذا الغموض، يجب أن نكتب 1300 بالتدوين العلمي على النحو 1.3 × 10 ³ أو 1.30 × 10 ³ أو 1.300 × 10 ³، اعتمادًا على ما إذا كان يحتوي على رقمين أو ثلاثة أو أربعة أرقام مهمة. تعتبر الأصفار مهمة إلا عندما تكون بمثابة عناصر نائبة فقط.

الأرقام المهمة في العمليات الحسابية

عند دمج القياسات بدرجات مختلفة من الدقة، لا يمكن أن يكون عدد الأرقام المهمة في الإجابة النهائية أكبر من عدد الأرقام المهمة في أقل قيمة مقاسة دقة. هناك قاعدتان مختلفتان، واحدة للضرب والقسمة والأخرى للجمع والطرح.

بالنسبة للضرب والقسمة، يجب أن تحتوي النتيجة على نفس عدد الأرقام المهمة مثل الكمية مع أقل عدد من الأرقام المهمة التي تدخل في الحساب. على سبيل المثال، يمكن حساب مساحة الدائرة من نصف قطرها باستخدام A =$\pi r^{2}$. دعونا نرى عدد الأرقام الهامة في المنطقة إذا كان نصف القطر يتكون من اثنين فقط - على سبيل المثال، r = 1.2 متر، وباستخدام آلة حاسبة ذات إخراج مكون من ثمانية أرقام، سنحسب $A =\ pi r^ {2} = (3.1415927...) \ مرات (1.2\؛ م) ^ {2} = 4.5238934\؛ m^ {2}\ ldotP$ولكن نظرًا لأن نصف القطر يحتوي على رقمين مهمين فقط، فإنه يحد من الكمية المحسوبة إلى رقمين مهمين، أو $A = 4.5\؛ m^ {2}\ ldotp$$على الرغم من$\pi$ أنه جيد لثمانية أرقام على الأقل.
بالنسبة للجمع والطرح، لا يمكن أن تحتوي الإجابة على أرقام عشرية أكثر من القياس الأقل دقة. لنفترض أننا اشترينا 7.56 كجم من البطاطس في محل بقالة وفقًا لمقاييس بدقة 0.01 كجم، ثم قمنا بإسقاط 6.052 كجم من البطاطس في مختبرك وفقًا للقياس بمقياس بدقة 0.001 كجم. ثم نعود إلى المنزل ونضيف 13.7 كجم من البطاطس حسب مقياس الحمام بدقة 0.1 كجم. كم عدد الكيلوجرامات من البطاطس التي لدينا الآن وكم عدد الأرقام المهمة المناسبة في الإجابة؟ يتم العثور على الكتلة عن طريق الجمع والطرح البسيط: $$\ begin {slit} 7.56\; & kg\\ -6.052\; & kg\\ +13.7\; & kg\\\ hline 15.208\; & kg = 15.2\; kg\ ldotp\ end {slit} $$بعد ذلك، نحدد القياس الأقل دقة: 13.7 كجم. يتم التعبير عن هذا القياس بالمنزلة العشرية 0.1، لذلك يجب أيضًا التعبير عن إجابتنا النهائية بالمنزلة العشرية 0.1. وهكذا، يتم تقريب الإجابة إلى موضع الأعشار، مما يعطينا 15.2 كجم.

الأرقام المهمة في هذا النص

في هذا النص، يُفترض أن معظم الأرقام تحتوي على ثلاثة أرقام مهمة. علاوة على ذلك، يتم استخدام أعداد متسقة من الأرقام المهمة في جميع الأمثلة العملية. تعتمد الإجابة المعطاة لثلاثة أرقام على الإدخال الجيد إلى ثلاثة أرقام على الأقل، على سبيل المثال. إذا كانت المدخلات تحتوي على عدد أقل من الأرقام المهمة، فستحتوي الإجابة أيضًا على أرقام مهمة أقل. كما يتم الحرص على أن يكون عدد الأرقام الهامة معقولاً بالنسبة للحالة المطروحة. في بعض الموضوعات، خاصة في البصريات، هناك حاجة إلى أرقام أكثر دقة ونستخدم أكثر من ثلاثة أرقام مهمة. أخيرًا، إذا كان الرقم دقيقًا، مثل الرقمين في صيغة محيط الدائرة، C =$2 \pi r$، فإنه لا يؤثر على عدد الأرقام المهمة في الحساب. وبالمثل، تعتبر عوامل التحويل مثل 100 سم/1 متر دقيقة ولا تؤثر على عدد الأرقام المهمة في الحساب.

مثال\(\PageIndex{1}\): Calculating Percent Uncertainty: A Bag of Apples

الحل

التمارين\(\PageIndex{1}\)