1.6: التقديرات وحسابات فيرمي

Last updated
Save as PDF

Page ID: 199963

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

أهداف التعلم

قم بتقدير قيم الكميات الفيزيائية.

في العديد من المناسبات، يحتاج علماء الفيزياء والعلماء الآخرون والمهندسون إلى وضع تقديرات لكمية معينة. المصطلحات الأخرى المستخدمة أحيانًا هي التقديرات التخمينية، والتقديرات التقريبية بترتيب الحجم، والحسابات الخلفية للمغلف، أو حسابات فيرمي. (اشتهر الفيزيائي إنريكو فيرمي المذكور سابقًا بقدرته على تقدير أنواع مختلفة من البيانات بدقة مذهلة.) هل ستناسب هذه القطعة من المعدات الجزء الخلفي من السيارة أم أننا بحاجة إلى استئجار شاحنة؟ كم من الوقت سيستغرق هذا التنزيل؟ حول حجم التيار الذي سيكون موجودًا في هذه الدائرة عند تشغيلها؟ كم عدد المنازل التي يمكن لمحطة الطاقة المقترحة تشغيلها فعليًا إذا تم بناؤها؟ لاحظ أن التقدير لا يعني تخمين رقم أو صيغة عشوائية. بدلاً من ذلك، يعني التقدير استخدام الخبرة السابقة والتفكير المادي السليم للوصول إلى فكرة تقريبية عن قيمة الكمية. نظرًا لأن عملية تحديد التقريب الموثوق عادة ما تتضمن تحديد المبادئ الفيزيائية الصحيحة والتخمين الجيد للمتغيرات ذات الصلة، فإن التقدير مفيد جدًا في تطوير الحدس المادي. تسمح لنا التقديرات أيضًا بإجراء «فحوصات السلامة» على الحسابات أو مقترحات السياسة من خلال مساعدتنا في استبعاد سيناريوهات معينة أو أرقام غير واقعية. إنها تسمح لنا بتحدي الآخرين (وكذلك أنفسنا) في جهودنا لتعلم الحقائق حول العالم.

تعتمد العديد من التقديرات على الصيغ التي تُعرف فيها كميات المدخلات بدقة محدودة فقط. أثناء تطوير مهارات حل المشكلات الفيزيائية (التي تنطبق على مجموعة متنوعة من المجالات)، ستقوم أيضًا بتطوير المهارات في التقدير. يمكنك تطوير هذه المهارات من خلال التفكير بشكل كمي أكثر والاستعداد لتحمل المخاطر. كما هو الحال مع أي مهارة، تساعد التجربة. يساعد أيضًا الإلمام بالأبعاد (انظر الجدول 1.5.1) والوحدات (انظر الجدول 1.3.1 والجدول 1.3.2) ومقاييس الكميات الأساسية (انظر الشكل 1.2.3).

لتحقيق بعض التقدم في التقدير، تحتاج إلى بعض الأفكار المحددة حول كيفية ارتباط المتغيرات. قد تساعدك الاستراتيجيات التالية في ممارسة فن التقدير:

احصل على أطوال كبيرة من أطوال أصغر. عند تقدير الأطوال، تذكر أن أي شيء يمكن أن يكون مسطرة. وهكذا، تخيل تقسيم شيء كبير إلى أشياء أصغر، وقم بتقدير طول أحد الأشياء الصغيرة، واضرب للحصول على طول الشيء الكبير. على سبيل المثال، لتقدير ارتفاع المبنى، قم أولاً بحساب عدد الطوابق الموجودة فيه. ثم قم بتقدير حجم الطابق الواحد من خلال تخيل عدد الأشخاص الذين سيتعين عليهم الوقوف على أكتاف بعضهم البعض للوصول إلى السقف. أخيرًا، قم بتقدير ارتفاع الشخص. ناتج هذه التقديرات الثلاثة هو تقديرك لارتفاع المبنى. من المفيد حفظ بعض مقاييس الطول ذات الصلة بأنواع المشكلات التي تجد نفسك تحلها. على سبيل المثال، قد تكون معرفة بعض مقاييس الطول في الشكل 1.2.3 مفيدة. في بعض الأحيان يكون من المفيد أيضًا القيام بذلك بشكل عكسي - أي لتقدير طول شيء صغير، تخيل مجموعة منها تشكل شيئًا أكبر. على سبيل المثال، لتقدير سمك ورقة، قم بتقدير سمك كومة من الورق ثم قسّمها على عدد الصفحات في المكدس. يمكن أحيانًا استخدام نفس استراتيجيات تقسيم الأشياء الكبيرة إلى أشياء أصغر أو تجميع الأشياء الصغيرة في شيء أكبر لتقدير الكميات المادية الأخرى، مثل الكتل والأوقات.
احصل على المساحات والأحجام من الأطوال. عند التعامل مع مساحة أو حجم كائن معقد، أدخل نموذجًا بسيطًا للكائن مثل كرة أو صندوق. ثم قم بتقدير الأبعاد الخطية (مثل نصف قطر الكرة أو طول الصندوق وعرضه وارتفاعه) أولاً، واستخدم تقديراتك للحصول على الحجم أو المساحة من الصيغ الهندسية القياسية. إذا كان لديك تقدير لمساحة الكائن أو حجمه، يمكنك أيضًا القيام بالعكس؛ أي استخدام الصيغ الهندسية القياسية للحصول على تقدير لأبعاده الخطية.
احصل على الجماهير من الأحجام والكثافات. عند تقدير كتل الأجسام، يمكن أن يساعد ذلك أولاً في تقدير حجمها ثم تقدير كتلتها من خلال تقدير تقريبي لمتوسط كثافتها (تذكر، الكثافة لها كتلة أبعاد على طول مكعب، لذا فإن الكتلة هي الكثافة مضروبة في الحجم). لهذا، من المفيد أن نتذكر أن كثافة الهواء تبلغ حوالي 1 كجم/م ³، وكثافة الماء هي 10 ³ كجم/م ³، وتصل المواد الصلبة اليومية الأكثر كثافة إلى حوالي 10 ⁴ كجم/م ³. إن سؤال نفسك عما إذا كان الجسم يطفو أو يغرق في الهواء أو الماء يمنحك تقديرًا لكثافته. يمكنك أيضًا القيام بذلك في الاتجاه المعاكس؛ إذا كان لديك تقدير لكتلة الكائن وكثافته، فيمكنك استخدامها للحصول على تقدير لحجمه.
إذا فشل كل شيء آخر، قم بتثبيته. بالنسبة للكميات المادية التي ليس لديك الكثير من الحدس، أحيانًا يكون أفضل ما يمكنك فعله هو التفكير في شيء مثل: حسنًا، يجب أن تكون أكبر من هذا وأصغر من ذلك. على سبيل المثال، افترض أنك بحاجة إلى تقدير كتلة الموظ. ربما لديك الكثير من الخبرة مع الموظ وتعرف متوسط كتلته المرتجلة. إذا كان الأمر كذلك، فهذا رائع. ولكن بالنسبة لمعظم الناس، فإن أفضل ما يمكنهم فعله هو التفكير في شيء مثل: يجب أن يكون أكبر من الشخص (بالطلب 10 ² كجم) وأقل من سيارة (للطلب 10 ³ كجم). إذا كنت بحاجة إلى رقم واحد لإجراء عملية حسابية لاحقة، يمكنك أخذ المتوسط الهندسي للحد العلوي والسفلي - أي أنك تضربهم معًا ثم تأخذ الجذر التربيعي. بالنسبة لمثال كتلة الموظ، سيكون هذا $$\ يسار (10^ {2}\ مرات 10^ {3}\ يمين) ^ {0.5} = 10^ {2.5} = 10^ {0.5}\ مرات 10^ {2}\ تقريبًا 3\ مرات 10^ {2} {2}\ {2}\\ كجم\ lDotP$كلما كانت الحدود أكثر إحكامًا، كان ذلك أفضل. أيضًا، لا توجد قواعد غير قابلة للكسر عندما يتعلق الأمر بالتقدير. إذا كنت تعتقد أن قيمة الكمية من المحتمل أن تكون أقرب إلى الحد الأعلى من الحد الأدنى، فقد ترغب في رفع تقديرك من المتوسط الهندسي بترتيب أو اثنين من الحجم.
لا بأس بـ «صورة واحدة». ليست هناك حاجة لتجاوز رقم واحد مهم عند إجراء العمليات الحسابية للحصول على تقدير. في معظم الحالات، يكون ترتيب الحجم جيدًا بما يكفي. الهدف هو فقط الحصول على رقم الملعب، لذا اجعل الحساب بسيطًا قدر الإمكان.
اسأل نفسك: هل هذا له أي معنى؟ أخيرًا، تحقق لمعرفة ما إذا كانت إجابتك معقولة. كيف يمكن مقارنتها بقيم الكميات الأخرى بنفس الأبعاد التي تعرفها بالفعل أو يمكنك البحث عنها بسهولة؟ إذا حصلت على بعض الإجابات الغريبة (على سبيل المثال، إذا كنت تقدر أن كتلة المحيط الأطلسي أكبر من كتلة الأرض، أو أن فترة زمنية أطول من عمر الكون)، تحقق أولاً لمعرفة ما إذا كانت وحداتك صحيحة. ثم تحقق من الأخطاء الحسابية. ثم أعد التفكير في المنطق الذي استخدمته للوصول إلى إجابتك. إذا تحقق كل شيء، ربما تكون قد أثبتت للتو أن بعض الأفكار الجديدة الرائعة هي في الواقع مزيفة.

مثال$\PageIndex{1}$: Mass of Earth’s Oceans

قم بتقدير الكتلة الكلية للمحيطات على الأرض.

إستراتيجية

نحن نعلم أن كثافة الماء تبلغ حوالي 10 ³ كجم/م ³، لذلك نبدأ بنصيحة «الحصول على كتل من الكثافات والأحجام». وبالتالي، نحتاج إلى تقدير حجم محيطات الكوكب. باستخدام نصيحة «الحصول على المساحات والأحجام من الأطوال»، يمكننا تقدير حجم المحيطات كمساحة سطحية مضروبة في متوسط العمق، أو V = AD. نحن نعرف قطر الأرض من الشكل 1.4 ونعلم أن معظم سطح الأرض مغطى بالمياه، لذلك يمكننا تقدير مساحة سطح المحيطات على أنها تساوي تقريبًا مساحة سطح الكوكب. من خلال اتباع نصيحة «الحصول على المساحات والأحجام من الأطوال» مرة أخرى، يمكننا تقريب الأرض ككرة واستخدام صيغة مساحة سطح كرة قطرها d—أي A =$\pi d^{2}$، لتقدير مساحة سطح المحيطات. الآن نحن بحاجة فقط إلى تقدير متوسط عمق المحيطات. لهذا، نستخدم النصيحة: «في حالة فشل كل شيء آخر، قم بتقييده». نعلم أن أعمق النقاط في المحيط تبلغ حوالي 10 كيلومترات وأنه ليس من غير المألوف أن يكون المحيط أعمق من كيلومتر واحد، لذلك نأخذ متوسط العمق ليكون حوالي (10 ³ × 10 ⁴) ^0.5 ≈ 3 × 10 ³ م، والآن نحتاج فقط إلى تجميع كل ذلك معًا، مع مراعاة نصيحة مفادها أن «صورة واحدة على ما يرام».

الحل

نحن نقدر مساحة سطح الأرض (وبالتالي مساحة سطح محيطات الأرض) لتكون تقريبًا

\[A = \pi d^{2} = \pi \left(10^{7}\; m\right)^{2} \approx 3 \times 10^{14}\; m^{2} \ldotp\]

بعد ذلك، باستخدام تقدير متوسط العمق الخاص بنا وهو D = ^{3 × 10 3} m، والذي تم الحصول عليه عن طريق تحديد الحدود، نقدر حجم محيطات الأرض ليكون

\[V = AD = \left(3 \times 10^{14}\; m^{2}\right)\left(3 \times 10^{3}\; m\right) = 9 \times 10^{17}m^{3} \ldotp\]

أخيرًا، نقدر كتلة محيطات العالم

\[M = \rho V = \left(10^{3}\; kg/m^{3}\right) \left(9 \times 10^{17}\; m^{3}\right) = 9 \times 10^{20}\; kg \ldotp\]

وبالتالي، فإننا نقدر أن ترتيب حجم كتلة محيطات الكوكب هو 10 ²¹ كجم.

الدلالة

للتحقق من إجابتنا بأفضل ما لدينا من قدرة، نحتاج أولاً إلى الإجابة على السؤال: هل هذا له أي معنى؟ من الشكل 1.4، نرى أن كتلة الغلاف الجوي للأرض في حدود 10 ¹⁹ كجم وكتلة الأرض في حدود 10 ²⁵ كجم. ومن المطمئن أن تقديرنا البالغ 10 ²¹ كجم لكتلة محيطات الأرض يقع في مكان ما بين هذين المحيطين. لذا، نعم، يبدو الأمر منطقيًا. لقد حدث أننا أجرينا بحثًا على الويب عن «كتلة المحيطات» وجاءت نتائج البحث الأولى جميعها في 1.4 × 10 ²¹ كجم، وهو نفس ترتيب الحجم مثل تقديرنا. الآن، بدلاً من الاضطرار إلى الوثوق بشكل أعمى في أي شخص وضع هذا الرقم لأول مرة على موقع ويب (ربما قامت معظم المواقع الأخرى بنسخه منها، بعد كل شيء)، يمكننا أن نثق به أكثر قليلاً.

التمارين$\PageIndex{1}$

يوضح الشكل 1.4 أن كتلة الغلاف الجوي هي 10 ¹⁹ كجم. بافتراض أن كثافة الغلاف الجوي تساوي 1 كجم/م ³، قم بتقدير ارتفاع الغلاف الجوي للأرض. هل تعتقد أن إجابتك هي التقليل من شأن الإجابة أو المبالغة في تقديرها؟ اشرح لماذا.

كم عدد موالفات البيانو الموجودة في مدينة نيويورك؟ كم عدد الأوراق على تلك الشجرة؟ إذا كنت تدرس التمثيل الضوئي أو تفكر في كتابة تطبيق هاتف ذكي لموالفات البيانو، فقد تكون الإجابات على هذه الأسئلة ذات أهمية كبيرة بالنسبة لك. وإلا، ربما لا تهتم كثيرًا بالإجابات. ومع ذلك، فهذه هي بالضبط أنواع مشاكل التقدير التي كان الناس في مختلف الصناعات التقنية يطلبون من الموظفين المحتملين تقييم مهاراتهم في التفكير الكمي. إذا كان بناء الحدس المادي وتقييم الادعاءات الكمية لا يبدو أسبابًا كافية لممارسة مشاكل التقدير، فماذا عن حقيقة أن إجادتك لها قد تمنحك وظيفة عالية الأجر؟

محاكاة Phet: تقدير

للتدرب على تقدير الأطوال والمساحات والأحجام النسبية، تحقق من محاكاة PhET هذه، بعنوان «التقدير».

أهداف التعلم

مثال\(\PageIndex{1}\): Mass of Earth’s Oceans

الحل

التمارين\(\PageIndex{1}\)

محاكاة Phet: تقدير