1.5: تحليل الأبعاد

أهداف التعلم

• أوجد أبعاد التعبير الرياضي الذي يتضمن كميات فيزيائية.
• حدِّد هل المعادلة التي تتضمَّن كميات فيزيائية متسقة الأبعاد أم لا.

يعبر بُعد أي كمية مادية عن اعتمادها على الكميات الأساسية كمنتج للرموز (أو قوى الرموز) التي تمثل الكميات الأساسية. $\PageIndex{1}$يسرد الجدول الكميات الأساسية والرموز المستخدمة لأبعادها. على سبيل المثال، يُقال إن قياس الطول له بُعد L أو L ¹، وقياس الكتلة له بُعد M أو M ¹، وقياس الوقت له بُعد T أو T ¹. مثل الوحدات، تخضع الأبعاد لقواعد الجبر. وبالتالي، فإن المساحة هي حاصل ضرب طولين، وبالتالي فإن البعد L ²، أو الطول المربع. وبالمثل، فإن الحجم هو حاصل ضرب ثلاثة أطوال وله بُعد L ³، أو طول مكعب. السرعة لها طول الأبعاد بمرور الوقت، L/T أو LT ^—1. لكثافة الكتلة الحجمية بُعد M/L ³ أو ML ^—3، أو طول الكتلة المكعبة. بشكل عام، يمكن كتابة أبعاد أي كمية مادية على النحو

$$L^{a}M^{b}T^{c}I^{d}\Theta^{e}N^{f}J^{g}$$

بالنسبة لبعض القوى a و b و c و d و e و f و g، يمكننا كتابة أبعاد الطول في هذا النموذج بـ a = 1 والقوى الست المتبقية جميعها تساوي الصفر:

$$L^{1} = L^{1}M^{0}T^{0}I^{0}\Theta^{0}N^{0}J^{0}.$$

أي كمية ذات بُعد يمكن كتابته بحيث تكون جميع القوى السبع صفرًا (أي أبعادها$L^{0}M^{0}T^{0}I^{0}\Theta^{0}N^{0}J^{0}$) تسمى بلا أبعاد (أو أحيانًا «البعد 1"، لأن أي شيء يتم رفعه إلى القوة الصفرية هو واحد). غالبًا ما يسمي الفيزيائيون الكميات الخالية من الأبعاد بالأرقام النقية.

الجدول$\PageIndex{1}$: الكميات الأساسية وأبعادها

الكمية الأساسية	رمز الأبعاد
الطول	ل
الكتلة	م
الوقت	إلى
الحالية	أنا
درجة الحرارة الديناميكية الحرارية	$\Theta$
كمية المادة	ن
كثافة الإضاءة	ي

غالبًا ما يستخدم الفيزيائيون الأقواس المربعة حول الرمز لكمية فيزيائية لتمثيل أبعاد تلك الكمية. على سبيل المثال، إذا كان r هو نصف قطر الأسطوانة و h هو ارتفاعها، فإننا نكتب [r] = L و [h] = L للإشارة إلى أن أبعاد نصف القطر والارتفاع هما نفس الطول، أو L. وبالمثل، إذا استخدمنا الرمز A لمساحة سطح الأسطوانة و V لحجمها، فإن [A] = L ² و [V] = إل ³. إذا استخدمنا الرمز m لكتلة الأسطوانة$\rho$ ولكثافة المادة التي صنعت منها الأسطوانة، فإن [m] = M و [$\rho$] = ML ⁻³.

تنبع أهمية مفهوم البعد من حقيقة أن أي معادلة رياضية تتعلق بالكميات الفيزيائية يجب أن تكون متسقة الأبعاد، مما يعني أن المعادلة يجب أن تخضع للقواعد التالية:

• يجب أن يكون لكل مصطلح في التعبير نفس الأبعاد؛ ليس من المنطقي إضافة أو طرح كميات ذات أبعاد مختلفة (فكر في القول القديم: «لا يمكنك إضافة التفاح والبرتقال»). على وجه الخصوص، يجب أن تحتوي التعبيرات الموجودة على كل جانب من جوانب المساواة في المعادلة على نفس الأبعاد.
• يجب أن تكون حجج أي من الدوال الرياضية القياسية مثل الدوال المثلثية (مثل الجيب وجيب التمام) أو اللوغاريتمات أو الدوال الأسية التي تظهر في المعادلة بلا أبعاد. تتطلب هذه الوظائف أرقامًا نقية كمدخلات وتعطي أرقامًا نقية كمخرجات.

في حالة انتهاك أي من هذه القواعد، لا تكون المعادلة متسقة الأبعاد ولا يمكن أن تكون بيانًا صحيحًا للقانون الفيزيائي. يمكن استخدام هذه الحقيقة البسيطة للتحقق من الأخطاء المطبعية أو الجبر، للمساعدة في تذكر قوانين الفيزياء المختلفة، وحتى لاقتراح الشكل الذي قد تتخذه قوانين الفيزياء الجديدة. هذا الاستخدام الأخير للأبعاد هو خارج نطاق هذا النص، ولكنه شيء ستتعلمه بلا شك لاحقًا في حياتك الأكاديمية.

مثال$\PageIndex{1}$: Using Dimensions to Remember an Equation

لنفترض أننا بحاجة إلى صيغة مساحة الدائرة لبعض العمليات الحسابية. مثل العديد من الأشخاص الذين تعلموا الهندسة منذ فترة طويلة جدًا للتذكر بأي قدر من اليقين، قد يتبادر إلى أذهاننا تعبيران عندما نفكر في الدوائر:$\pi r^{2}$ و$2 \pi r$. أحد التعبيرات هو محيط دائرة نصف قطرها r والآخر هو مساحتها. ولكن أيهما؟

إستراتيجية

تتمثل إحدى الإستراتيجيات الطبيعية في البحث عنها، ولكن هذا قد يستغرق وقتًا للعثور على معلومات من مصدر موثوق. علاوة على ذلك، حتى لو اعتقدنا أن المصدر يتمتع بسمعة طيبة، فلا ينبغي أن نثق في كل ما نقرأه. من الجيد أن يكون لديك طريقة للتحقق مرة أخرى بمجرد التفكير في الأمر. أيضًا، قد نكون في موقف لا يمكننا فيه البحث عن الأشياء (مثل أثناء الاختبار). وبالتالي، فإن الإستراتيجية هي إيجاد أبعاد كلا التعبيرين من خلال الاستفادة من حقيقة أن الأبعاد تتبع قواعد الجبر. إذا لم يكن لأي من التعبيرين نفس أبعاد المساحة، فلا يمكن أن تكون المعادلة الصحيحة لمساحة الدائرة.

الحل

نحن نعلم أن أبعاد المنطقة هي L ². الآن، أبعاد التعبير$\pi r^{2}$ هي

$$[\pi r^{2}] = [\pi] \cdotp [r]^{2} = 1 \cdotp L^{2} = L^{2},$$

نظرًا لأن الثابت$\pi$ هو رقم نقي ونصف القطر r هو الطول. لذلك،$\pi r^{2}$ له أبعاد المنطقة. وبالمثل، فإن أبعاد التعبير$2 \pi r$ هي

$$[2 \pi r] = [2] \cdotp [\pi] \cdotp [r] = 1 \cdotp 1 \cdotp L = L,$$

نظرًا لأن الثوابت 2 و 2$\pi$ كلتاهما بلا أبعاد ونصف القطر r عبارة عن طول. نرى أن هذا$2 \pi r$ له أبعاد الطول، مما يعني أنه لا يمكن أن يكون منطقة.

نحن نستبعد ذلك$2 \pi r$ لأنه لا يتوافق من حيث الأبعاد مع كونه منطقة. نرى أن$\pi r^{2}$ هذا يتوافق من حيث الأبعاد مع كونها منطقة، لذلك إذا كان علينا الاختيار بين هذين التعبيرين،$\pi r^{2}$ فهي التي يجب اختيارها.

الأهمية

قد يبدو هذا نوعًا من الأمثلة السخيفة، لكن الأفكار عامة جدًا. طالما أننا نعرف أبعاد الكميات الفيزيائية الفردية التي تظهر في المعادلة، يمكننا التحقق لمعرفة ما إذا كانت المعادلة متسقة الأبعاد. من ناحية أخرى، مع العلم أن المعادلات الحقيقية متسقة الأبعاد، يمكننا مطابقة التعبيرات من ذكرياتنا غير الكاملة بالكميات التي قد تكون تعبيرات عنها. لن يساعدنا القيام بذلك على تذكر العوامل غير ذات الأبعاد التي تظهر في المعادلات (على سبيل المثال، إذا قمت بطريق الخطأ بخلط التعبيرين من المثال إلى$2 \pi r^{2}$، فإن تحليل الأبعاد لا يساعد)، ولكنه يساعدنا على تذكر الشكل الأساسي الصحيح للمعادلات.

التمارين الرياضية$\PageIndex{1}$

لنفترض أننا نريد صيغة حجم الكرة. التعبيران اللذان يتم ذكرهما بشكل شائع في المناقشات الأولية للمجالات هما$4 \pi r^{2}$ و$\frac{4}{3} \pi r^{3}$. أحدهما هو حجم كرة نصف قطرها r والآخر هو مساحة سطحها. أي واحد هو الحجم؟

إجابة

أضف نصوصًا هنا. لا تحذف هذا النص أولاً.

مثال$\PageIndex{2}$: Checking Equations for Dimensional Consistency

ضع في اعتبارك الكميات الفيزيائية s و v و a و t ذات الأبعاد [s] = L، [v] = LT ⁻¹، [a] = LT ⁻²، و [t] = T. حدد ما إذا كانت كل من المعادلات التالية متسقة الأبعاد:

1. s = 5T+ 0.5 عند ²؛
2. s = فولت ² + 0.5 وات؛ و
3. v = الخطيئة ($\frac{at^{2}}{s}$).

إستراتيجية

من خلال تعريف تناسق الأبعاد، نحتاج إلى التحقق من أن كل مصطلح في معادلة معينة له نفس أبعاد المصطلحات الأخرى في تلك المعادلة وأن حجج أي دوال رياضية قياسية لا أبعاد لها.

الحل

1. لا توجد دوال مثلثية أو لوغاريتمية أو أسية تدعو للقلق في هذه المعادلة، لذلك نحتاج فقط إلى إلقاء نظرة على أبعاد كل حد يظهر في المعادلة. هناك ثلاثة مصطلحات، واحدة في التعبير الأيسر واثنتان في التعبير على اليمين، لذلك ننظر إلى كل منها على حدة:

$$[s] = L$$

$$[vt] = [v] \cdotp [t] = LT^{−1} \cdotp T = LT^{0} = L$$

$$[0.5at^{2} ] = [a] \cdotp [t]^{2} = LT^{−2} \cdotp T^{2} = LT^{0} = L \ldotp$$

2. مرة أخرى، لا توجد دوال مثلثية أو أسية أو لوغاريتمية، لذلك نحتاج فقط إلى النظر إلى أبعاد كل من المصطلحات الثلاثة التي تظهر في المعادلة:

$$[s] = L$$

$$[vt^{2}] = [v] \cdotp [t]^{2} = LT^{−1} \cdotp T^{2} = LT$$

$$[at] = [a] \cdotp [t] = LT^{−2} \cdotp T = LT^{−1} \ldotp$$

لا يحتوي أي من المصطلحات الثلاثة على نفس البعد مثل أي مصطلح آخر، لذا فإن هذا أبعد ما يكون عن تناسق الأبعاد بقدر ما يمكنك الحصول عليه. المصطلح الفني لمعادلة مثل هذه هراء.

3. تحتوي هذه المعادلة على دالة مثلثية، لذا يجب علينا أولاً التحقق من أن وسيطة دالة الجيب خالية من الأبعاد:

$$\left[\frac{at^{2}}{s}\right] = \frac{[a] \cdotp [t]^{2}}{[s]} = \frac{LT^{-2} \cdotp T^{2}}{L} = \frac{L}{L} = 1 \ldotp$$

الحجة بلا أبعاد. حتى الآن، جيد جدًا. نحتاج الآن إلى التحقق من أبعاد كل من المصطلحين (أي التعبير الأيسر والتعبير الأيمن) في المعادلة:

$$[v] = LT^{-1}$$

$$\left[ sin \left(\dfrac{at^{2}}{s}\right) \right] = 1 \ldotp$$

المصطلحان لهما أبعاد مختلفة - بمعنى أن المعادلة ليست متسقة الأبعاد. هذه المعادلة هي مثال آخر على «الهراء».

الأهمية

إذا كنا نثق بالناس، فقد تبدو هذه الأنواع من فحوصات الأبعاد غير ضرورية. ولكن، كن مطمئنًا، فإن أي كتاب مدرسي حول موضوع كمي مثل الفيزياء (بما في ذلك هذا الموضوع) يحتوي بالتأكيد على بعض المعادلات ذات الأخطاء المطبعية. إن فحص المعادلات بشكل روتيني عن طريق تحليل الأبعاد يوفر لنا الإحراج من استخدام معادلة غير صحيحة. أيضًا، يعد التحقق من أبعاد المعادلة التي نحصل عليها من خلال المعالجة الجبرية طريقة رائعة للتأكد من أننا لم نرتكب خطأ (أو لتحديد الخطأ، إذا ارتكبناه).

التمارين الرياضية$\PageIndex{2}$

هل المعادلة v = ثابتة الأبعاد؟

إجابة

أضف نصوصًا هنا. لا تحذف هذا النص أولاً.

هناك نقطة أخرى يجب ذكرها وهي تأثير عمليات حساب التفاضل والتكامل على الأبعاد. لقد رأينا أن الأبعاد تخضع لقواعد الجبر، تمامًا مثل الوحدات، ولكن ماذا يحدث عندما نأخذ مشتق كمية فيزيائية واحدة فيما يتعلق بكمية أخرى أو ندمج كمية فيزيائية على أخرى؟ مشتق الدالة هو مجرد ميل المماس الخطي إلى الرسم البياني والمنحدرات هي النسب، لذلك بالنسبة للكميات الفيزيائية v و t، لدينا أن بُعد مشتق v فيما يتعلق بـ t هو مجرد نسبة بُعد v على تلك الخاصة بـ t:

$$\left[\frac{dv}{dt} \right] = \frac{[v]}{[t]} \ldotp$$

وبالمثل، نظرًا لأن التكاملات ليست سوى مجموعات من المنتجات، فإن بُعد تكامل v فيما يتعلق به هو ببساطة بُعد v مضروبًا في بُعد t:

$$\left[ \int vdt \right] = [v] \cdotp [t] \ldotp$$

وبنفس المنطق، تنطبق القواعد المماثلة على وحدات الكميات الفيزيائية المشتقة من كميات أخرى عن طريق التكامل أو التفاضل.