9.4: ترشيد الكسور الجبرية

تعريف: مقام التعبيرات الكسرية

إذا كان مقام التعبير الكسري يحتوي على مجاميع أو اختلافات تتضمن جذورًا، فمن الأفضل دائمًا تبرير المقام بضرب البسط والمقام في مترافق المقام.

يحتوي مترافق المقام على نفس المصطلحات، ولكن العمليات المعاكسة (الجمع أو الطرح).

مثال

ParseError: invalid ArgList (click for details)

Callstack:
    at (اللغة_العربية/(__)/09:_التعبيرات_الكسرية/9.04:_ترشيد_الكسور_الجبرية), /content/body/section[2]/header/div/h5/span/span, line 1, column 17

ترشيد القاسم والتبسيط:

1. $\dfrac{1}{1 − \sqrt{x}}$
2. $\dfrac{1}{\sqrt{x} − \sqrt{y}}$
3. $\dfrac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{\sqrt{x} − \sqrt{y}}$

الحل

1. $\begin{array} &&\dfrac{1}{1 − \sqrt{x}} &\text{Example problem} \\ &\dfrac{(1)(1 + \sqrt{x})}{(1 − \sqrt{x})(1 + \sqrt{x})} &\text{Multiply both numerator and denominator by the conjugate, which is \((1+\sqrt{x})$}\\\\ dfrac {1 +\ sqrt {x} {1 −\ sqrt {x} +\ sqrt {x} − (\ sqrt {x}) ^2}\\\\ نص {foil {\\ dfrac {+\ sqrt {x} {x} {\ sqrt {x}\ إلغاء {\ sqrt {x}} − (\ sqrt {x}) ^2} &\ text {أزل المصطلحات المقابلة التي يصل مجموعها إلى الصفر.}\\\\\ dfrac {1 +\ sqrt {x}} {1 − x} و\ النص {المربع جذر$x$ الكمية المربعة هو$x$.}\\\ &\ dfrac {1 +\ sqrt {x} {1 − x}\\ text {الإجابة النهائية مع ترشيد المقام، مما يعني عدم وجود حدود جذر تربيعي في المقام.} \ end {مصفوفة}\)

2. $\begin{array} &&\dfrac{1}{\sqrt{x} − \sqrt{y}} &\text{Example problem} \\ &\dfrac{(1)(\sqrt{x} + \sqrt{y})}{(\sqrt{x} − \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})} &\text{Multiply both numerator and denominator by the conjugate, which is \((\sqrt{x} + \sqrt{y})$}\\\ dfrac {(\ sqrt {x} +\ sqrt {y})} {(\ sqrt {x}) ^2 −\ sqrt {x}\ sqrt {x}\ sqrt {x}\ sqrt {y} - (\ sqrt {y})\\ النص {foil}\\ dfrac {\ sqrt {\ sqrt {\ sqrt {\ sqrt {\ sqrt {x} +\ sqrt {y})} {(\ sqrt {x}) ^2 −\ إلغاء {\ sqrt {x}\ sqrt {y}} +\ إلغاء {\ sqrt {x}\ sqrt {y}\ sqrt {y} - (\ sqrt {y}) ^2} و\ النص {أزل المصطلحات المقابلة التي المجموع إلى الصفر.}\\\\ dfrac {\ sqrt {x} +\ sqrt {y} {x − y}\\ text {الجذر التربيعي$x$ للكمية المربعة هو والجذر التربيعي$y$ للكمية المربعة هو$x$$y$.}\\\\ dfrac {\ sqrt {x}\\ sqrt {y}} {x − y} و\ النص {x − y} و\ النص {x − y} و\ النص {الإجابة النهائية مع سبب المقام المعنى أنه لا توجد حدود جذر تربيعي في المقام.} \ end {مصفوفة}\)

3. $\begin{array} &&\dfrac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{\sqrt{x} − \sqrt{y}} &\text{Example problem} \\ &\dfrac{(\sqrt{x} + \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})}{(\sqrt{x} − \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})} &\text{Multiply both numerator and denominator by the conjugate, which is \((\sqrt{x} + \sqrt{y})$}\\\ drac {(\ sqrt {x}) ^2+ 2 (\ sqrt {x}\ sqrt {y}) + (\ sqrt {y}) ^2} {\ sqrt {x}) ^2 −\ sqrt {x}\ sqrt {x}\ sqrt {y}} &\ نص {احبط البسط والمقام.}\\\\ dfrac {x + 2\ sqrt {x}\ sqrt {y} + y} {(\ sqrt {x}) ^2 −\ إلغاء {\ sqrt {x}\\ sqrt {y}} +\ إلغاء {\ sqrt {x}\ sqrt {x}\\ sqrt {x}\ sqrt {y}) ^2} &\ text {أزل المصطلحات المقابلة التي يصل مجموعها إلى الصفر.}\\\\ dfrac {x + 2\ sqrt {y} + y} {x − y}\\ text {x − y} &\ text {الجذر التربيعي$x$ للكمية المربعة هو$x$، والجذر التربيعي$y$ للكمية المربعة هو$y$.}\\\\ dfrac {x + 2\ sqrt {x}\ sqrt {y} + y} {x − y} &\ النص {الإجابة النهائية مع ترشيد المقام، بمعنى أنه لا توجد حدود الجذر التربيعي في المقام.} \ end {مصفوفة}\)

التمرين

ParseError: invalid ArgList (click for details)

Callstack:
    at (اللغة_العربية/(__)/09:_التعبيرات_الكسرية/9.04:_ترشيد_الكسور_الجبرية), /content/body/section[3]/header/div/h5/span/span, line 1, column 17

ترشيد القاسم والتبسيط:

1. $\dfrac{x}{1 − \sqrt{x}}$
2. $\dfrac{1}{1 − \sqrt{x}}$
3. $\dfrac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{x} − 1}$
4. $\dfrac{x − 1}{\sqrt{x} − 1}$