Skip to main content
Query

7.1: ميل الخط

  • Page ID
    166918
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    تذكر أنه يمكن رسم الأزواج المرتبة على هيئة نقاط في المستوى الإحداثي المستطيل. من خلال أي نقطتين متميزتين، قم برسم خط مستقيم،\(l\).

    لوصف الخط\(l\) جبريًا، ضع في اعتبارك أولاً ميل الصيغة الخطية.

    تعريف: ميل الخط

    ميل\(m\) الخط\(l\) الذي يمر عبر النقاط\((x_1, y_1)\)\((x_2, y_2)\) وهو

    \[m = \dfrac{\text{rise}}{\text{run}} = \dfrac{y_2 − y_1}{x_2 − x_1} \text{ where } x_2 \neq x_1 \nonumber \]

    clipboard_ef5b30d9d90d175767e807356eeeb09d5.png

    مثال
    ParseError: invalid ArgList (click for details)
    Callstack:
        at (اللغة_العربية/(__)/07:_الخطوط_المستقيمة/7.01:_ميل_الخط), /content/body/section[2]/header/div/h5/span/span, line 1, column 17
    

    ابحث عن ميل الخط في الشكل أدناه.

    clipboard_e363ff7b3bb533d1487bf37ba2e55050d.png

    الحل

    من خلال التعريف أعلاه لمنحدر صيغة الخط، يمكن كتابة منحدر الخط كـ\(m = \dfrac{\text{rise}}{\text{run}}\). ابدأ باختيار أي نقطتين\(Q\)،\(P\) وعلى الخط. اختر النقطة\(P\) التي تريد أن تكون\((2, 2)\) وأشر\(Q\) إلى أن تكون\((1, 0)\).

    بدءًا من النقطة\(Q\)، قم بالارتفاع حتى النقطة\(P\) عن طريق حساب مربعات\(2\) الشبكة التصاعدية، مما يعني\(\text{rise} = 2\). الآن، للوصول إلى النقطة\(P\)، مربع\(\text{run}\)\(1\) الشبكة إلى اليمين، مما يعني ذلك\(\text{run} = 1\)، كما هو موضح في الشكل أدناه.

    clipboard_eb782dfab92d784f98c38e932215ff3af.png

    وهكذا،

    \(\begin{array} &&m = \dfrac{\text{rise}}{\text{run}} &\text{slope of a line formula} \\ &= \dfrac{2}{1} &\text{rise \(2\)وتشغيل\(1\)}\\ &= 2\ end {مصفوفة}\)

    لذلك، يكون ميل الخط في الشكل هو\(m = 2\).

    مثال
    ParseError: invalid ArgList (click for details)
    Callstack:
        at (اللغة_العربية/(__)/07:_الخطوط_المستقيمة/7.01:_ميل_الخط), /content/body/section[3]/header/div/h5/span/span, line 1, column 17
    

    أوجد ميل الخط المستقيم الموضح في الشكل أدناه.

    clipboard_e19cd2064387c2c10ad2af63dccc6440d.png

    الحل

    على غرار المثال\(1\)، ابدأ باختيار أي نقطتين\(Q\)،\(P\) وعلى الخط.

    ملاحظة: نظرًا لأنه يمكن اختيار أي\(2\) نقاط على السطر، سيكون من الأسهل اختيار النقطتين اللتين تمثلان أعدادًا صحيحة. توجد هذه النقاط على الخط وأيضًا عند تقاطع خطين من خطوط الشبكة. على سبيل المثال، في الشكل، سيكون من الأسهل اختيار أي نقطتين من النقاط التالية في السطر المحدد:\((2, 0)\)،،\((0, 1)\)،\((4, −1)\)،\((6, −2)\)\((−4, 3)\)،\((−6, 4)\)، وما إلى ذلك...

    المنحدر هو نفسه لأي نقطتين\(P\)\(Q\) وعلى الخط. اختر النقطة\(P_1\) التي تريد أن تكون\((0, 1)\) وأشر\(Q_1\) إلى أن تكون\((2, 0)\). بدءًا من النقطة\(P_1\)، تصل إلى النقطة\(Q_1\) عن طريق تشغيل مربعات\(2\) الشبكة أولاً إلى اليمين، مما يعني أن\(\text{run} = 2\). الآن، للوصول إلى مربع\(1\) الشبكة التنازلي\(Q_1\) لحساب النقاط. لاحظ أن هذا\(\text{rise} = -1\) يعني نقل\(1\) الوحدة لأسفل كما هو موضح في الشكل أدناه.

    clipboard_eae1964d11eb4f5c0410a5ca79250683d.png

    \(\begin{array} &&m = \dfrac{\text{rise}}{\text{run}} &\text{slope of a line formula} \\ &= \dfrac{−1}{2} &\text{rise = \(-1\)وتشغيل =\(2\)}\ end {مصفوفة}\)

    لذلك، فإن منحدر الخط في الشكل أعلاه هو\(m = −\dfrac{1}{2}\).

    الآن، اختر النقطة\(P_2\) التي تريد أن تكون\((-2, 2)\) وأشر\(Q_2\) إلى أن تكون\((-6, 4)\) كما هو موضح في الشكل أعلاه. بدءًا من النقاط\(P_2\)، يمكنك الوصول إلى النقطة\(Q_2\) عن طريق تشغيل مربعات\(4\) الشبكة أولاً إلى اليسار، مما يعني أن\(\text{run} = -4\). الآن، للوصول إلى\(Q_2\) عدد النقاط إلى مربعات\(2\) الشبكة التصاعدية. وهكذا، فإن\(\text{rise} = 2\). المنحدر هو\(m = \dfrac{2}{−4} = −\dfrac{1}{2}\). لاحظ أن المنحدر هو نفسه بغض النظر عن\(2\) النقاط التي نعتبرها على خط معين.

    مثال
    ParseError: invalid ArgList (click for details)
    Callstack:
        at (اللغة_العربية/(__)/07:_الخطوط_المستقيمة/7.01:_ميل_الخط), /content/body/section[4]/header/div/h5/span/span, line 1, column 17
    

    أوجد ميل الخط الذي يمر\((3, 2)\) عبره\((4, 4)\) واستخدم صيغة المنحدر. ارسم بيانيًا الخط الذي يمر بالنقاط المعطاة.

    ملاحظة: لن يحدث ترتيب تسمية النقاط فرقًا في ميل الصيغة الخطية طالما كان هناك تناسق.

    الحل

    دعونا\((x_1, y_1) = (3, 2)\) وبعد\((x_2, y_2) = (4, 4)\) ذلك،

    \(\begin{array} &&m = \dfrac{y_2 − y_1}{x_2 − x_1} &\text{slope of a line formula} \\ &= \dfrac{4 − 2}{4 − 3} & \\ &= \dfrac{2}{1} &\text{rise \(= 2\)وتشغيل\(= 1\)}\\ &= 2\\ end {مصفوفة}\)

    لذلك، يكون ميل الخط الذي يمر عبر النقطتين\((3, 2)\) و\((4, 4)\) هو\(m = 2\). الخط الذي يمر عبر النقاط المحددة هو كما هو موضح في الشكل أدناه.

    clipboard_e274e9e3b46b3eff108909c81ba819a08.png

    لاحظ أنه عندما يرتفع الخط من اليسار إلى اليمين، يكون للخط منحدر إيجابي.

    مثال
    ParseError: invalid ArgList (click for details)
    Callstack:
        at (اللغة_العربية/(__)/07:_الخطوط_المستقيمة/7.01:_ميل_الخط), /content/body/section[5]/header/div/h5/span/span, line 1, column 17
    

    أوجد ميل الخط الذي يمر عبر النقطتين\((−1, 2)\) و\((3, −4)\). ارسم النقاط ورسم الخط.

    الحل

    دعونا\((x_1, y_1) = (-1, 2)\) وبعد\((x_2, y_2) = (3, -4)\) ذلك،

    \(\begin{array} &&m = \dfrac{y_2 − y_1}{x_2 − x_1} &\text{slope of a line formula} \\ &= \dfrac{-4 − 2}{3 − (-1)} & \\ &= \dfrac{-6}{4} &\text{Simplify} \\ &= -\dfrac{3}{2} & \end{array}\)

    تعريف: منحدر سلبي

    الآن، لرسم الخط عبر النقاط المعطاة، ارسم النقطتين أولاً، ثم ارسم خطًا مستقيمًا عبرهما، كما هو موضح في الشكل أدناه.

    clipboard_e8812e320ff1738607c4d0a7b47b2cb52.png

    لاحظ أنه عندما يسقط الخط من اليسار إلى اليمين، يكون للخط منحدر سالب.

    التمرين
    ParseError: invalid ArgList (click for details)
    Callstack:
        at (اللغة_العربية/(__)/07:_الخطوط_المستقيمة/7.01:_ميل_الخط), /content/body/section[7]/header/div/h5/span/span, line 1, column 17
    

    ابحث عن منحدرات كل سطر في الرسم البياني في حل المشكلات\(1\) من خلال\(4\)

    clipboard_e2069ff2347366ba7a41bdc2ce9b3e73f.png

    clipboard_eef225bb0ac28f968c0341273544f4c10.png

    clipboard_e529b1bdc19f0e169b699c7c48d14cd9f.png

    clipboard_e02a729d98b0411466737730bd716df03.png

    التمرين
    ParseError: invalid ArgList (click for details)
    Callstack:
        at (اللغة_العربية/(__)/07:_الخطوط_المستقيمة/7.01:_ميل_الخط), /content/body/section[8]/header/div/h5/span/span, line 1, column 17
    

    أوجد ميل الخط الذي يمر بالنقاط المُعطاة في حل المشكلات\(5\)\(7\).

    1. \((−3, 5)\)و\((4, −5)\)
    2. \((2, 5)\)و\((0, −1)\)
    3. \((4, 1)\)و\((0, 0)\)