Skip to main content
Query

2.3: صيغة المسافة

  • Page ID
    166998
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    درس القسم السابق كيفية رسم النقاط في المستوى الإحداثي المستطيل. يُعلمك هذا القسم كيفية إيجاد المسافة بين أي نقطتين في الطائرة. على سبيل المثال، للعثور على مسافة النقاط\((x_1, y_1)\)\((x_2, y_2)\) والنظر في الصيغة التالية:

    تعريف: صيغة المسافة

    يتم تحديد المسافة d بين نقطتين،\(P_1(x_1, y_1)\)\(P_2(x_2, y_2)\) وفي المستوى من خلال:

    \(d = \sqrt {(x_2 − x_1) ^2 + (y_2 − y_1)} ^2\)

    مثال
    ParseError: invalid ArgList (click for details)
    Callstack:
        at (اللغة_العربية/(__)/02:_نظام_الإحداثيات_الديكارتية/2.03:_صيغة_المسافة), /content/body/section[2]/header/div/h5/span/span, line 1, column 17
    

    ابحث عن المسافة بين النقاط\((−5, 2)\) و\((3, 4)\)

    الحل

    دعونا\(P_1(−5, 2)\)\(P_2(3, 4)\) نكون نقطتين في الطائرة ودع\(x_1 = −5\)،،\(y_1 = 2\)\(x_2 = 3\)، و\(y_2 = 4\).

    استخدام صيغة المسافة مع القيم المعطاة:

    \(\begin{aligned} d &= \sqrt{(x_2 − x_1) ^2 + (y_2 − y_1) ^2 } \\&= \sqrt{ (3 − (−5))^2 + (4 − 2)^2}\\& = \sqrt{ (3 + 5)^2 + (2)^2 } \\ &= \sqrt{ 8 ^2 + 2^2} \\ &= \sqrt{64 + 4 }\\ &= \sqrt{ 68 } \\&= 2\sqrt{17}\end{aligned}\)

    لذلك، المسافة بين النقطتين المعطاة هي\(2\sqrt{17}\).

    مثال
    ParseError: invalid ArgList (click for details)
    Callstack:
        at (اللغة_العربية/(__)/02:_نظام_الإحداثيات_الديكارتية/2.03:_صيغة_المسافة), /content/body/section[3]/header/div/h5/span/span, line 1, column 17
    

    أوجد المسافة بين النقطتين\((−2.5, −1)\) و\((−3, −1.5)\).

    الحل

    دعونا\(P_1(−2.5, −1)\)\(P_2(−3, −1.5)\) نكون نقاطًا في الطائرة ودع\(x_1 = −2.5\)،\(y_1 = −1\)،\(x_2 = −3\) و\(y_2 = −1.5\).

    ثم باستخدام صيغة المسافة مع القيم المعطاة ينتج،

    \(\begin{aligned} d &= \sqrt{(x_2 − x_1) ^2 + (y_2 − y_1) ^2}\\& = \sqrt{[−3 − (−2.5)]^2 + [−1.5 − (−1)]^2 } \\&= \sqrt{ (−3 + 2.5)^2 + (−1.5 + 1)^2} \\&= \sqrt{ (−0.5)^2 + (−0.5)^2 } \\&= \sqrt{ 0.25 + 0.25 }\\ &= \sqrt{0.5 } \\&\approx 0.71 \end{aligned}\)

    لذلك، تبلغ المسافة بين النقطتين المعطاة 0.71 تقريبًا.

    التمرين
    ParseError: invalid ArgList (click for details)
    Callstack:
        at (اللغة_العربية/(__)/02:_نظام_الإحداثيات_الديكارتية/2.03:_صيغة_المسافة), /content/body/section[4]/header/div/h5/span/span, line 1, column 17
    
    1. ابحث عن المسافة بين\(P_1(−3, −1.5)\) و\(P_2(−2.5, − 1)\). قارن الإجابة بالإجابة في المثال 2. ما الذي يمكن استنتاجه؟
    2. ابحث عن المسافة بين\((−3, 6)\) و\((2, 4)\)
    3. ابحث عن المسافة بين النقاط\(\left( \dfrac{1 }{2} , − \dfrac{10 }{4}\right)\) و\(\left(− \dfrac{14 }{4} , − \dfrac{5 }{2}\right )\)
    4. لماذا تستخدم صيغة المسافة؟