3.2: التوليف العظيم لنيوتن

Last updated

Nov 1, 2022
Page ID
197392
Save as PDF
- 3.1: قوانين حركة الكواكب
- 3.3: قانون نيوتن العالمي للجاذبية

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

أهداف التعلم

في نهاية القسم، ستكون قادرًا على:

وصف قوانين نيوتن الثلاثة للحركة
شرح كيفية ارتباط قوانين نيوتن الثلاثة للحركة بالكتلة
حدد الكتلة والحجم والكثافة وكيفية اختلافها
تعريف الزخم الزاوي

لقد كانت عبقرية إسحاق نيوتن هي التي وجدت إطارًا مفاهيميًا يشرح تمامًا الملاحظات والقواعد التي جمعها Galileo و Brahe و Kepler وغيرهم. ولد نيوتن في لينكولنشاير بإنجلترا في العام التالي لوفاة غاليليو (الشكل $\PageIndex{1}$ ). خلافًا لنصيحة والدته، التي أرادت منه البقاء في المنزل والمساعدة في مزرعة العائلة، التحق بكلية ترينيتي في كامبريدج عام 1661 وبعد ثماني سنوات تم تعيينه أستاذًا للرياضيات. كان من بين معاصري نيوتن في إنجلترا المهندس المعماري كريستوفر ورين والمؤلفان أفرا بيهن ودانيال ديفو والملحن جي إف هاندل.

بديل — شخصية $\PageIndex{1}$ إسحاق نيوتن (1643-1727)، 1689 صورة للسير جودفري كنيلر. وضع عمل إسحاق نيوتن حول قوانين الحركة والجاذبية والبصريات والرياضيات الأسس لكثير من العلوم الفيزيائية.

قوانين نيوتن للحركة

عندما كان شابًا في الكلية، أصبح نيوتن مهتمًا بالفلسفة الطبيعية، كما كان يُطلق على العلم آنذاك. لقد وضع بعضًا من أفكاره الأولى حول الآلات والبصريات خلال سنوات الطاعون 1665 و 1666، عندما تم إرسال الطلاب إلى المنزل من الكلية. استمر نيوتن، وهو رجل متقلب المزاج وصعب في كثير من الأحيان، في العمل على أفكاره بشكل خاص، حتى أنه اخترع أدوات رياضية جديدة لمساعدته على التعامل مع التعقيدات التي ينطوي عليها الأمر. في نهاية المطاف، نجح صديقه إدموند هالي (الذي تم تصويره في المذنبات والكويكبات: حطام النظام الشمسي) في جمع ونشر نتائج تحقيقاته الرائعة حول الحركة والجاذبية. وكانت النتيجة مجلدًا يحدد النظام الأساسي للعالم المادي، وهو Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. تم نشر كتاب المبادئ، كما هو معروف عمومًا، على نفقة هالي في عام 1687.

في بداية المبدأ، يقترح نيوتن ثلاثة قوانين تحكم حركات جميع الكائنات:

قانون نيوتن الأول: سيظل كل جسم في حالة سكون أو يتحرك بسرعة ثابتة في خط مستقيم ما لم يتم إجباره على التغيير بواسطة قوة خارجية.
قانون نيوتن الثاني: تغيير حركة الجسم يتناسب مع القوة المؤثرة عليه وفي اتجاهها.
قانون نيوتن الثالث: لكل فعل يكون هناك رد فعل متساوٍ ومعاكوس (أو: الأفعال المتبادلة لجسمين على بعضهما البعض متساوية دائمًا وتتصرف في اتجاهين متعاكسين).

في اللغة اللاتينية الأصلية، تحتوي القوانين الثلاثة على 59 كلمة فقط، لكن هذه الكلمات القليلة مهدت الطريق للعلوم الحديثة. دعونا نفحصها بعناية أكبر.

تفسير قوانين نيوتن

قانون نيوتن الأول هو إعادة صياغة لأحد اكتشافات غاليليو، والتي تسمى الحفاظ على الزخم. ينص القانون على أنه في غياب أي تأثير خارجي، هناك مقياس لحركة الجسم، يسمى زخمها، يبقى دون تغيير. ربما سمعت مصطلح الزخم المستخدم في التعبيرات اليومية، مثل «مشروع القانون هذا في الكونغرس لديه الكثير من الزخم؛ سيكون من الصعب إيقافه».

يُطلق على قانون نيوتن الأول أحيانًا اسم قانون القصور الذاتي، حيث يكون القصور الذاتي هو ميل الأشياء (والهيئات التشريعية) إلى الاستمرار في فعل ما تفعله بالفعل. بمعنى آخر، يبقى الجسم الثابت في مكانه، ويستمر الجسم المتحرك في التحرك ما لم تتدخل بعض القوة.

دعونا نحدد المعنى الدقيق للزخم - فهو يعتمد على ثلاثة عوامل:

السرعة - مدى سرعة تحرك الجسم (صفر إذا كان ثابتًا)،
اتجاه حركتها، و
كتلته - مقياس لكمية المادة في الجسم، والتي سنناقشها لاحقًا.

يستخدم العلماء مصطلح السرعة لوصف سرعة واتجاه الحركة. على سبيل المثال، 20 كيلومترًا في الساعة جنوبًا هي السرعة، في حين أن 20 كيلومترًا في الساعة بحد ذاتها هي السرعة. يمكن تعريف الزخم بعد ذلك على أنه كتلة الجسم مضروبة في سرعته.

ليس من السهل رؤية هذه القاعدة في العمل في العالم اليومي بسبب القوى العديدة التي تعمل على الجسم في أي وقت. إحدى القوى المهمة هي الاحتكاك، الذي يؤدي عمومًا إلى إبطاء الأمور. إذا قمت بتدوير كرة على طول الرصيف، فسيتوقف الأمر في النهاية لأن الرصيف يمارس قوة احتكاك على الكرة. ولكن في الفضاء بين النجوم، حيث يوجد القليل من المادة بحيث يكون الاحتكاك ضئيلًا، يمكن للأشياء في الواقع أن تستمر في التحرك (إلى الساحل) إلى أجل غير مسمى.

لا يمكن أن يتغير زخم الجسم إلا تحت تأثير خارجي. يعبر قانون نيوتن الثاني عن القوة من حيث قدرته على تغيير الزخم بمرور الوقت. القوة (الدفع أو السحب) لها الحجم والاتجاه. عندما يتم تطبيق قوة على الجسم، يتغير الزخم في اتجاه القوة المطبقة. هذا يعني أن القوة مطلوبة لتغيير سرعة الجسم أو اتجاهه، أو كليهما - أي لبدء الحركة أو تسريعها أو إبطائها أو إيقافها أو تغيير اتجاهها.

كما تعلمت في «رصد السماء: ولادة علم الفلك»، فإن معدل التغير في سرعة الجسم يسمى التسارع. أظهر نيوتن أن تسارع الجسم يتناسب مع القوة المطبقة عليه. لنفترض أنك بعد فترة طويلة من القراءة، تدفع كتاب علم الفلك بعيدًا عنك على طاولة طويلة وسلسة. (نستخدم طاولة ناعمة حتى نتمكن من تجاهل الاحتكاك.) إذا ضغطت على الكتاب بثبات، فسوف يستمر في التسارع طالما أنك تضغط عليه. كلما ضغطت على الكتاب، كلما زاد تسارعه. يتم تحديد مقدار القوة التي ستسرع الجسم أيضًا من خلال كتلة الكائن. إذا واصلت الضغط على القلم بنفس القوة التي دفعت بها الكتاب المدرسي، فسوف يتم تسريع القلم - الذي يحتوي على كتلة أقل - إلى سرعة أكبر.

ربما يكون قانون نيوتن الثالث هو أعمق القواعد التي اكتشفها. إنه في الأساس تعميم للقانون الأول، ولكنه يمنحنا أيضًا طريقة لتعريف الكتلة. إذا نظرنا إلى نظام مكون من جسمين أو أكثر معزولين عن التأثيرات الخارجية، فإن قانون نيوتن الأول ينص على أن الزخم الكلي للأجسام يجب أن يظل ثابتًا. لذلك، يجب موازنة أي تغيير في الزخم داخل النظام بتغيير آخر متساوٍ ومعاكسه حتى لا يتغير زخم النظام بأكمله.

هذا يعني أن القوى في الطبيعة لا تحدث بمفردها: نجد أنه في كل حالة هناك دائمًا زوج من القوى التي تساوي وتتعارض مع بعضها البعض. إذا أُثيرت قوة على جسم ما، فيجب أن يُؤثِّر بها شيء آخر، وسيؤثِّر الجسم على ذلك الشيء بقوة متساوية ومعاكسة. يمكننا أن ننظر إلى مثال بسيط لإثبات ذلك.

لنفترض أن طالبًا متجرفًا في علم الفلك - ومتزلج متعطش - يريد القفز من نافذة سكنه المكون من الطابق الثاني إلى لوحته أدناه (لا نوصي بتجربة ذلك!). القوة التي تسحبه لأسفل بعد القفز (كما سنرى في القسم التالي) هي قوة الجاذبية بينه وبين الأرض. يجب أن يواجه هو والأرض نفس التغيير الكلي للزخم بسبب تأثير هذه القوى المتبادلة. لذلك، يتم تسريع كل من الطالب والأرض من خلال جاذبية بعضهما البعض. ومع ذلك، يقوم الطالب بالمزيد من الحركة. نظرًا لأن كتلة الأرض أكبر بشكل كبير، يمكنها تجربة نفس التغيير في الزخم من خلال تسريع كمية صغيرة جدًا فقط. تسقط الأشياء نحو الأرض طوال الوقت، لكن تسارع كوكبنا نتيجة لذلك يكون صغيرًا جدًا بحيث لا يمكن قياسه.

المثال الأكثر وضوحًا للطبيعة المتبادلة للقوى بين الأشياء مألوف لجميع الذين ضربوا لعبة البيسبول. يُظهر الارتداد الذي تشعر به أثناء تحريك المضرب أن الكرة تمارس قوة عليها أثناء الارتطام، تمامًا كما يفعل المضرب على الكرة. وبالمثل، عندما يتم تفريغ البندقية التي تدعمها على كتفك، فإن القوة التي تدفع الرصاصة خارج الكمامة تساوي القوة التي تدفع البندقية وكتفك للخلف.

هذا هو المبدأ الكامن وراء المحركات النفاثة والصواريخ: القوة التي تطلق غازات العادم من الجزء الخلفي من الصاروخ مصحوبة بالقوة التي تدفع الصاروخ إلى الأمام. لا تحتاج غازات العادم إلى الدفع ضد الهواء أو الأرض؛ فالصاروخ يعمل بشكل أفضل في الفراغ (الشكل $\PageIndex{2}$ ).

لمزيد من المعلومات حول حياة وعمل إسحاق نيوتن، راجع صفحة الجدول الزمني هذه التي تحتوي على لقطات من حياته المهنية، والتي أنتجتها هيئة الإذاعة البريطانية (BBC).

الكتلة والحجم والكثافة

قبل أن نواصل مناقشة أعمال نيوتن الأخرى، نريد أن نلقي نظرة سريعة على بعض المصطلحات التي سيكون من المهم تصنيفها بوضوح. نبدأ بالكتلة، وهي مقياس لكمية المادة داخل الكائن.

حجم الكائن هو مقياس المساحة المادية التي يشغلها. يتم قياس الحجم بوحدات مكعبة، مثل السنتيمترات المكعبة أو اللترات. الحجم هو «حجم» الكائن. قد يكون لكل من الفلس والبالون المتضخم نفس الكتلة، لكن لهما أحجام مختلفة جدًا. والسبب هو أن لديهم أيضًا كثافات مختلفة جدًا، وهو مقياس لمقدار الكتلة الموجودة لكل وحدة حجم. على وجه التحديد، الكثافة هي الكتلة مقسومًا على الحجم. لاحظ أننا في اللغة اليومية غالبًا ما نستخدم «ثقيل» و «خفيف» كمؤشرات على الكثافة (بدلاً من الوزن) كما هو الحال، على سبيل المثال، عندما نقول أن الحديد ثقيل أو أن الكريمة المخفوقة خفيفة.

وحدات الكثافة التي سيتم استخدامها في هذا الكتاب هي جرامات لكل سنتيمتر مكعب ( $\text{g}/\text{cm}^3$ ). ¹ إذا كانت كتلة من بعض المواد كتلتها ٣٠٠ جرام وحجمها ١٠٠ سم ^٣، فإن كثافتها تساوي ٣ $\text{g}/\text{cm}^3$ . تمتد المواد المألوفة إلى نطاق كبير من حيث الكثافة، من المواد الاصطناعية مثل الرغوة العازلة البلاستيكية (أقل من 0.1 جم/سم 3) إلى الذهب (19.3 $\text{g}/\text{cm}^3$ ). $\PageIndex{1}$ يعطي الجدول كثافة بعض المواد المألوفة. في الكون الفلكي، يمكن العثور على المزيد من الكثافة الرائعة، على طول الطريق من ذيل المذنب ( $10^{–16} \text{g}/\text{cm}^3$ ) إلى «جثة نجمة» منهارة تسمى نجمة نيوترون ( $10^{15} \text{g}/\text{cm}^3$ ).

الجدول $\PageIndex{1}$ : كثافات المواد الشائعة
مادة	الكثافة ( $\text{g}/\text{cm}^3$ )
الذهب	\ (\ text {g}/\ text {cm} ^3\))» النمط = «محاذاة النص: المركز؛» class= «lt-phys-3624" >19.3
الرصاص	\ (\ text {g}/\ text {cm} ^3\))» النمط = «محاذاة النص: المركز؛» class= «lt-phys-3624" >11.3
الحديد	\ (\ text {g}/\ text {cm} ^3\))» النمط= text-align:centre;» class="lt-phys-3624">7.9
الأرض (بالجملة)	\ (\ text {g}/\ text {cm} ^3\))» النمط= text-align:centre;» class="lt-phys-3624">5.5
روك (نموذجي)	\ (\ text {g}/\ text {cm} ^3\))» النمط = «محاذاة النص: المركز؛» class= «lt-phys-3624" >2.5
الماء	\ (\ text {g}/\ text {cm} ^3\))» النمط = «محاذاة النص: المركز؛» class= «lt-phys-3624" >1
الخشب (نموذجي)	\ (\ text {g}/\ text {cm} ^3\))» النمط = «محاذاة النص: المركز؛» class= «lt-phys-3624" >0.8
رغوة عازلة	\ (\ text {g}/\ text {cm} ^3\))» النمط= text-align:centre;» class="lt-phys-3624">0.1
جل السيليكا	\ (\ text {g}/\ text {cm} ^3\))» النمط = «محاذاة النص: المركز؛» class= «lt-phys-3624" >0.02

باختصار، الكتلة هي المقدار، والحجم هو الحجم، والكثافة هي مدى إحكام التعبئة.

يمكنك اللعب برسم متحرك بسيط يوضح العلاقة بين مفاهيم الكثافة والكتلة والحجم، واكتشف لماذا تطفو أشياء مثل الخشب في الماء.

الزخم الزاوي

المفهوم الأكثر تعقيدًا بعض الشيء، ولكنه مهم لفهم العديد من الأجسام الفلكية، هو الزخم الزاوي، وهو مقياس لدوران الجسم أثناء دورانه حول نقطة ثابتة (مثال على ذلك كوكب يدور حول الشمس). يُعرَّف الزخم الزاوي للجسم بأنه حاصل ضرب كتلته وسرعته ومسافته عن النقطة الثابتة التي يدور حولها.

إذا ظلت هذه الكميات الثلاث ثابتة - أي إذا كانت حركة جسم معين تحدث بسرعة ثابتة على مسافة ثابتة من مركز الدوران - فإن الزخم الزاوي يكون ثابتًا أيضًا. قانون كيبلر الثاني هو نتيجة للحفاظ على الزخم الزاوي. عندما يقترب كوكب من الشمس في مداره الإهليلجي وتنخفض المسافة إلى مركز الدوران، تتسارع سرعة الكوكب للحفاظ على الزخم الزاوي. وبالمثل، عندما يكون الكوكب بعيدًا عن الشمس، فإنه يتحرك ببطء أكثر.

يتضح الحفاظ على الزخم الزاوي من خلال المتزلجين على الجليد، الذين يجلبون أذرعهم وأرجلهم للدوران بسرعة أكبر، ويمددون أذرعهم وأرجلهم لإبطاء السرعة (الشكل $\PageIndex{3}$ ). يمكنك تكرار ذلك بنفسك على كرسي دوار جيد التزييت عن طريق البدء في الدوران ببطء مع تمديد ذراعيك ثم سحب ذراعيك إلى الداخل. مثال آخر على الحفاظ على الزخم الزاوي هو سحابة الغبار المتقلصة أو انهيار النجم على نفسه (كلاهما حالتان ستتعرف عليهما أثناء القراءة). عندما تتحرك المادة إلى مسافة أقل من مركز الدوران، تزداد سرعة المادة للحفاظ على الزخم الزاوي.

المفاهيم الأساسية والملخص

في مبادئه، وضع إسحاق نيوتن القوانين الثلاثة التي تحكم حركة الأجسام: (1) تظل الأجسام في حالة سكون أو تتحرك بسرعة ثابتة ما لم يتم التأثير عليها بواسطة قوة خارجية؛ (2) تتسبب القوة الخارجية في التسارع (وتغير الزخم) لجسم ما؛ و (3) لـ كل فعل هناك هو رد فعل مساوي ومعاكوس. الزخم هو مقياس لحركة الجسم ويعتمد على كتلته وسرعته. الزخم الزاوي هو مقياس لحركة جسم دوار أو دوار ويعتمد على كتلته وسرعته والمسافة من النقطة التي يدور حولها. كثافة الجسم هي كتلته مقسومًا على حجمه.

الحواشي

¹ بشكل عام، نستخدم الوحدات المترية القياسية (أو SI) في هذا الكتاب. الوحدة المترية المناسبة للكثافة في هذا النظام هي $\text{kg}/\text{m}^3$ . ولكن بالنسبة لمعظم الناس، $\text{g}/\text{cm}^3$ توفر وحدة أكثر أهمية لأن كثافة الماء هي 1 بالضبط $\text{g}/\text{cm}^3$ ، وهذه معلومات مفيدة للمقارنة. تسمى الكثافة المعبر عنها أحيانًا الكثافة المحددة أو الوزن المحدد. $\text{g}/\text{cm}^3$

مسرد المصطلحات

الزخم الزاوي: قياس حركة جسم دوار من حيث سرعته ومدى توزيع كتلة الجسم حول محوره

كثافة: نسبة كتلة الجسم إلى حجمه

قوة الدفع: قياس مقدار حركة الجسم؛ زخم الجسم هو نتاج كتلته وسرعته؛ في حالة عدم وجود قوة غير متوازنة، يتم الحفاظ على الزخم

قانون نيوتن الأول: سيظل كل كائن في حالة راحة أو يتحرك بسرعة ثابتة في خط مستقيم ما لم يتم إجباره على التغيير بواسطة قوة خارجية

قانون نيوتن الثاني: يتناسب تغير حركة الجسم مع القوة المؤثرة عليه وفي اتجاهها

قانون نيوتن الثالث: لكل فعل يكون هناك رد فعل متساوٍ ومعاكوس (أو: الأفعال المتبادلة لجسمين على بعضهما البعض متساوية دائمًا وتتصرف في اتجاهين متعاكسين)

السرعة: السرعة والاتجاه الذي يتحرك فيه الجسم - على سبيل المثال، 44 كيلومترًا في الثانية باتجاه القطب المجري الشمالي