3.3: قانون نيوتن العالمي للجاذبية

أهداف التعلم

في نهاية القسم، ستكون قادرًا على:

• اشرح ما الذي يحدد قوة الجاذبية
• وصف كيف يوسع قانون نيوتن العالمي للجاذبية فهمنا لقوانين كيبلر

تُظهر قوانين نيوتن للحركة أن الأجسام الموجودة في حالة السكون ستبقى في حالة سكون وأن الأجسام المتحركة ستستمر في التحرك بشكل موحد في خط مستقيم ما لم يتم التأثير عليها بقوة. وبالتالي، فإن الخط المستقيم هو الذي يحدد الحالة الطبيعية للحركة. لكن الكواكب تتحرك في شكل أشكال بيضاوية، وليس في خطوط مستقيمة؛ لذلك، يجب أن تنحني بعض القوة في مساراتها. تلك القوة، كما اقترح نيوتن، كانت الجاذبية.

في زمن نيوتن، كانت الجاذبية شيئًا مرتبطًا بالأرض وحدها. تُظهر لنا التجربة اليومية أن الأرض تمارس قوة جاذبية على الأجسام الموجودة على سطحها. إذا أسقطت شيئًا، فإنه يتسارع نحو الأرض عند سقوطه. كانت رؤية نيوتن هي أن جاذبية الأرض قد تمتد حتى القمر وتنتج القوة المطلوبة لثني مسار القمر من خط مستقيم وإبقائه في مداره. كما افترض أن الجاذبية لا تقتصر على الأرض، ولكن هناك قوة جذب عامة بين جميع الأجسام المادية. إذا كان الأمر كذلك، فإن القوة الجذابة بين الشمس وكل من الكواكب يمكن أن تبقيها في مداراتها. (قد يبدو هذا جزءًا من تفكيرنا اليومي اليوم، ولكنه كان رؤية رائعة في زمن نيوتن.)

بمجرد أن افترض نيوتن بجرأة أن هناك جاذبية عالمية بين جميع الأجسام في كل مكان في الفضاء، كان عليه تحديد الطبيعة الدقيقة للجاذبية. كان على الوصف الرياضي الدقيق لقوة الجاذبية تلك أن يفرض أن تتحرك الكواكب تمامًا كما وصفها كيبلر (كما هو موضح في قوانين كيبلر الثلاثة). كما كان على قوة الجاذبية هذه أن تتنبأ بالسلوك الصحيح للأجسام الساقطة على الأرض، كما لاحظ غاليليو. كيف يجب أن تعتمد قوة الجاذبية على المسافة من أجل تلبية هذه الشروط؟

تتطلب الإجابة على هذا السؤال أدوات رياضية لم يتم تطويرها بعد، لكن هذا لم يردع إسحاق نيوتن، الذي اخترع ما نسميه اليوم حساب التفاضل والتكامل للتعامل مع هذه المشكلة. في النهاية تمكن من استنتاج أن حجم قوة الجاذبية يجب أن ينخفض مع زيادة المسافة بين الشمس والكوكب (أو بين أي جسمين) بما يتناسب مع المربع العكسي لفصلهما. بعبارة أخرى، إذا كان الكوكب على بعد مرتين من الشمس، فإن القوة ستكون أو$(1/2)^2$$1/4$ أكبر من ذلك. ضع الكوكب بعيدًا ثلاث مرات، وستكون القوة كبيرة أو$1/9$ كبيرة.$(1/3)^2$

استنتج نيوتن أيضًا أن الجاذبية بين جسمين يجب أن تكون متناسبة مع كتلتهما. كلما زادت كتلة الجسم، زادت قوة قوة جاذبيته. لذلك يتم تحديد جاذبية الجاذبية بين أي جسمين من خلال إحدى المعادلات الأكثر شهرة في كل العلوم:

$$F_{gravity}=G \dfrac{M_1M-2}{R^2} \nonumber$$

$F_{gravity}$أين قوة الجاذبية بين جسمين،$M_1$$M_2$ وهي كتل الجسمين،$R$ وهو فصلهما. $G$هو رقم ثابت يُعرف باسم ثابت الجاذبية الشامل، والمعادلة نفسها تلخص رمزيًا قانون نيوتن العالمي للجاذبية. بهذه القوة وقوانين الحركة، تمكن نيوتن من إثبات رياضيًا أن المدارات الوحيدة المسموح بها هي بالضبط تلك التي وصفتها قوانين كيبلر.

يعمل قانون نيوتن العالمي للجاذبية على الكواكب، ولكن هل هو عالمي حقًا؟ يجب أن تتنبأ نظرية الجاذبية أيضًا بالتسارع الملحوظ للقمر نحو الأرض أثناء دورانه حول الأرض، وكذلك أي جسم (مثل تفاحة) يسقط بالقرب من سطح الأرض. سقوط التفاحة هو شيء يمكننا قياسه بسهولة تامة، ولكن هل يمكننا استخدامه للتنبؤ بحركات القمر؟

تذكر أنه وفقًا لقانون نيوتن الثاني، تتسبب القوى في التسارع. ينص قانون نيوتن العالمي للجاذبية على أن القوة المؤثرة على (وبالتالي تسارع) جسم باتجاه الأرض يجب أن تتناسب عكسياً مع مربع المسافة من مركز الأرض. لوحظ أن الأجسام مثل التفاح على سطح الأرض، على مسافة نصف قطر الأرض من مركز الأرض، تتسارع إلى الأسفل بسرعة 9.8 متر في الثانية (9.8$\text{m}/\text{s}^2$).

إن قوة الجاذبية هذه على سطح الأرض هي التي تعطينا إحساسنا بالوزن. على عكس كتلتك، التي ستبقى كما هي على أي كوكب أو قمر، يعتمد وزنك على القوة المحلية للجاذبية. لذلك سيكون وزنك على المريخ والقمر أقل من وزنه على الأرض، على الرغم من عدم وجود تغيير في كتلتك. (مما يعني أنه لا يزال يتعين عليك التهاون في تناول الحلويات في كافيتريا الكلية عند عودتك!)

يبعد القمر 60 دائرة نصف قطر الأرض عن مركز الأرض. إذا أصبحت الجاذبية (والتسارع الذي تسببه) أضعف مع تربيع المسافة، يجب أن يكون التسارع الذي يمر به القمر أقل بكثير من التسارع في التفاحة. يجب أن يكون التسارع$(1/60)^2 = 1/3600$ (أو أقل من 3600 مرة) - حوالي 0.00272$\text{m}/\text{s}^2$. هذا هو بالضبط التسارع الملحوظ للقمر في مداره. (كما سنرى، لا يسقط القمر على الأرض بهذا التسارع، بل يسقط حول الأرض.) تخيل الإثارة التي شعر بها نيوتن عندما أدرك أنه اكتشف وتحقق من القانون الذي ينطبق على الأرض والتفاح والقمر وكل شيء في الكون على حد علمه.

مثال$\PageIndex{1}$: حساب الوزن

بأي عامل سيتغير وزن الشخص على سطح الأرض إذا كانت كتلة الأرض الحالية ولكن ثمانية أضعاف حجمها الحالي؟

الحل

سيتضاعف نصف قطر الأرض بمقدار ثمانية أضعاف الحجم. هذا يعني أن قوة الجاذبية على السطح ستنخفض بعامل$(1/2)^2 = 1/4$، لذلك لن يزن الشخص سوى ربع هذا المقدار.

التمارين$\PageIndex{1}$

بأي عامل سيتغير وزن الشخص على سطح الأرض إذا كان حجم الأرض الحالي ولكن فقط ثلث كتلتها الحالية؟

إجابة

مع وجود ثلث كتلته الحالية، ستنخفض قوة الجاذبية على السطح بعامل 1/3، وبالتالي لن يزن الشخص سوى ثلث هذا الوزن.

الجاذبية هي خاصية «مدمجة» للكتلة. عندما تكون هناك كتل في الكون، فإنها ستتفاعل عبر قوة الجاذبية. كلما زادت الكتلة، زادت قوة الجذب. هنا على الأرض، أكبر تركيز للكتلة هو، بالطبع، الكوكب الذي نقف عليه، وتهيمن جاذبيته على تفاعلات الجاذبية التي نمر بها. لكن كل شيء بالكتلة يجذب كل شيء آخر بكتلة في أي مكان في الكون.

يشير قانون نيوتن أيضًا إلى أن الجاذبية لا تصبح أبدًا صفرًا. سرعان ما تصبح أضعف مع المسافة، لكنها تستمر في العمل إلى حد ما بغض النظر عن المسافة التي تصل إليها. قوة جذب الشمس أقوى عند عطارد منها عند بلوتو، ولكن يمكن الشعور بها بعيدًا عن بلوتو، حيث يمتلك علماء الفلك أدلة جيدة على أنها تجعل باستمرار أعدادًا هائلة من الأجسام الجليدية الصغيرة تتحرك حول مدارات ضخمة. وتنضم قوة الجاذبية للشمس إلى جذب مليارات النجوم الأخرى لخلق قوة الجاذبية لمجرتنا درب التبانة. هذه القوة، بدورها، يمكن أن تجعل المجرات الصغيرة الأخرى تدور حول درب التبانة، وهكذا.

قد تتساءلون لماذا إذن يبدو أن رواد الفضاء على متن مكوك الفضاء ليس لديهم قوى جاذبية تؤثر عليهم عندما نرى صورًا على التلفزيون لرواد الفضاء والأجسام العائمة في المركبة الفضائية؟ ففي النهاية، لا يتجاوز رواد الفضاء في المكوك بضع مئات من الكيلومترات فوق سطح الأرض، وهي ليست مسافة كبيرة مقارنة بحجم الأرض، لذا فإن الجاذبية بالتأكيد ليست أضعف بكثير من تلك المسافة البعيدة. يشعر رواد الفضاء بأنهم «يفتقرون إلى الوزن» (بمعنى أنهم لا يشعرون بقوة الجاذبية التي تؤثر عليهم) لنفس السبب الذي يجعل الركاب في المصعد الذي انكسر الكابل الخاص به أو في طائرة لم تعد محركاتها تعمل يشعرون بانعدام الوزن: إنهم يسقطون (الشكل$\PageIndex{1}$). ¹

شخصيات$\PageIndex{1}$ رواد الفضاء في السقوط الحر. أثناء وجودهم في الفضاء، يسقط رواد الفضاء بحرية، لذلك يعانون من «انعدام الوزن». في اتجاه عقارب الساعة من أعلى اليسار: تريسي كالدويل دايسون (وكالة ناسا)، ناوكو يازاكي (جاكسا)، دوروثي ميتكالف ليندنبورجر (ناسا)، وستيفاني ويلسون (وكالة ناسا).

عند السقوط، يتعرضون للسقوط الحر ويتسارع بنفس معدل كل شيء من حولهم، بما في ذلك مركبتهم الفضائية أو الكاميرا التي يلتقطون بها صورًا للأرض. عند القيام بذلك، لا يواجه رواد الفضاء أي قوى إضافية وبالتالي يشعرون «بانعدام الوزن». على عكس ركاب المصعد الذين يسقطون، يسقط رواد الفضاء حول الأرض وليس إلى الأرض؛ ونتيجة لذلك سيستمرون في السقوط ويقال أنهم «في مدار» حول الأرض (انظر القسم التالي لمزيد من المعلومات حول المدارات).

الحركة المدارية والكتلة

تصف قوانين كيبلر مدارات الأجسام التي توصف حركاتها بقوانين نيوتن للحركة وقانون الجاذبية. ومع ذلك، فإن معرفة أن الجاذبية هي القوة التي تجذب الكواكب نحو الشمس، سمحت لنيوتن بإعادة التفكير في قانون كيبلر الثالث. تذكر أن كيبلر وجد علاقة بين الفترة المدارية لثورة الكوكب وبعدها عن الشمس. لكن صيغة نيوتن تقدم العامل الإضافي لكتل الشمس (M 1) والكوكب (M 2)، وكلاهما معبر عنه بوحدات كتلة الشمس. يمكن استخدام قانون نيوتن العالمي للجاذبية لإظهار رياضيًا أن هذه العلاقة هي في الواقع

$$a^3=(M_1+M_2) \times P^2 \nonumber$$

$a$أين المحور شبه الرئيسي$P$ وهي الفترة المدارية.

كيف افتقد كيبلر هذا العامل؟ في وحدات كتلة الشمس، تكون كتلة الشمس 1، وفي وحدات كتلة الشمس، تكون كتلة الكوكب النموذجي عاملاً صغيرًا للغاية. هذا يعني أن مجموع كتلة الشمس وكتلة الكوكب، ($M_1 + M_2$)، قريب جدًا من 1. هذا يجعل صيغة نيوتن تبدو تقريبًا مثل صيغة كيبلر؛ الكتلة الصغيرة للكواكب مقارنة بالشمس هي السبب في أن كيبلر لم يدرك أنه يجب تضمين كلتا الكتلتين في الحساب. ومع ذلك، هناك العديد من الحالات في علم الفلك التي نحتاج فيها إلى تضمين مصطلحي الكتلة - على سبيل المثال، عندما يدور نجمان أو مجرتان حول بعضهما البعض.

يتيح لنا تضمين المصطلح الشامل استخدام هذه الصيغة بطريقة جديدة. إذا استطعنا قياس الحركات (المسافات والفترات المدارية) للأجسام التي تعمل تحت جاذبيتها المتبادلة، فإن الصيغة ستسمح لنا باستنتاج كتلتها. على سبيل المثال، يمكننا حساب كتلة الشمس باستخدام المسافات والفترات المدارية للكواكب، أو كتلة المشتري من خلال ملاحظة حركات أقماره.

في الواقع، تعد إعادة صياغة نيوتن لقانون كيبلر الثالث أحد أقوى المفاهيم في علم الفلك. إن قدرتنا على استنتاج كتل الأشياء من حركاتها هي المفتاح لفهم طبيعة وتطور العديد من الأجسام الفلكية. سنستخدم هذا القانون بشكل متكرر في جميع أنحاء هذا النص في حسابات تتراوح من مدارات المذنبات إلى تفاعلات المجرات.

مثال$\PageIndex{2}$: حساب تأثيرات الجاذبية

تم العثور على كوكب مثل الأرض يدور حول نجمه على مسافة 1 AU في 0.71 سنة الأرض. هل يمكنك استخدام نسخة نيوتن من قانون كيبلر الثالث لإيجاد كتلة النجم؟ (تذكر أنه بالمقارنة مع كتلة النجم، يمكن اعتبار كتلة كوكب شبيه بالأرض ضئيلة.)

الحل

في الصيغة$a^3 = (M_1 + M_2) \times P_2$،$M_1 + M_2$ سيكون العامل الآن مساويًا تقريبًا لـ$M_1$ (كتلة النجم)، نظرًا لأن كتلة الكوكب صغيرة جدًا بالمقارنة. ثم تصبح الصيغة$a_3 = M_1 \times P_2$، ويمكننا حلها من أجل$M_1$:

$$M_1= \frac{a^3}{P^2} \nonumber$$

منذ$a = 1$ ذلك الحين$a^3 = 1$، لذلك

$$M_1= \frac{1}{P_2}= \frac{1}{0.71^2}=\frac{1}{0.5}=2 \nonumber$$

لذا فإن كتلة النجم هي ضعف كتلة شمسنا. (تذكر أن طريقة التعبير عن القانون هذه لها وحدات من حيث الأرض والشمس، لذلك يتم التعبير عن الكتل بوحدات كتلة شمسنا.)

التمارين$\PageIndex{2}$

لنفترض أن نجمًا يبلغ ضعف كتلة شمسنا كان له كوكب يشبه الأرض استغرق 4 سنوات ليدور حول النجم. على أي مسافة (محور شبه رئيسي) سيدور هذا الكوكب حول نجمه؟

إجابة

مرة أخرى، يمكننا إهمال كتلة الكوكب. هكذا$M_1 = 2$$P = 4$ وسنوات. الصيغة هي$a^3 = M_1 \times P_2$، لذلك$a^3 = 2 \times 4^2 = 2 × 16 = 32$. إذن a هو الجذر التكعيبي لـ 32. للعثور على هذا، يمكنك فقط أن تسأل Google، «ما هو الجذر التكعيبي لـ 32؟» واحصل على الإجابة 3.2 AU.

قد ترغب في تجربة محاكاة تتيح لك تحريك الشمس والأرض والقمر ومحطة الفضاء لرؤية آثار تغيير مسافاتها على قوى الجاذبية والمسارات المدارية. يمكنك حتى إيقاف الجاذبية ومعرفة ما سيحدث.

ملخص

الجاذبية، القوة الجذابة بين جميع الكتل، هي ما يبقي الكواكب في المدار. يربط قانون نيوتن العالمي للجاذبية قوة الجاذبية بالكتلة والمسافة:

$$F_{gravity}=G \dfrac{M_1M_2}{R^2} \nonumber$$

قوة الجاذبية هي ما يعطينا إحساسنا بالوزن. على عكس الكتلة الثابتة، يمكن أن يختلف الوزن اعتمادًا على قوة الجاذبية (أو التسارع) التي تشعر بها. عندما تتم إعادة فحص قوانين كيبلر في ضوء قانون الجاذبية لنيوتن، يصبح من الواضح أن كتل كلا الجسمين مهمة للقانون الثالث، الذي يصبح

$$a^3 = (M_1 + M_2) \times P^2 \nonumber$$

تسمح لنا تأثيرات الجاذبية المتبادلة بحساب كتل الأجسام الفلكية، من المذنبات إلى المجرات.

الحواشي

² في فيلم Apollo 13، تم تصوير المشاهد التي كان فيها رواد الفضاء «عديمي الوزن» بالفعل في طائرة متساقطة. كما قد تتخيل، سقطت الطائرة لفترات قصيرة فقط قبل أن تعمل المحركات مرة أخرى.

مسرد المصطلحات

جاذبية

الجذب المتبادل للأجسام المادية أو الجسيمات