Skip to main content
Global

2.5: حل المعادلات ذات الكسور أو الأعداد العشرية

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    200272

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    أهداف التعلم

    في نهاية هذا القسم، ستكون قادرًا على:

    • حل المعادلات باستخدام معاملات الكسر
    • حل المعادلات ذات المعاملات العشرية
    ملاحظة

    قبل البدء، قم بإجراء اختبار الاستعداد هذا.

    1. اضرب:\(8\cdot 38\).
      إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع التمرين 1.6.16.
    2. ابحث عن شاشة LCD الخاصة بـ\(\frac{5}{6}\) و\(\frac{1}{4}\).
      إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع التمرين 1.7.16.
    3. اضرب 4.78 في 100.
      إذا فاتتك هذه المشكلة، راجع التمرين 1.8.22.

    حل المعادلات باستخدام معاملات الكسر

    دعونا نستخدم الإستراتيجية العامة لحل المعادلات الخطية المقدمة سابقًا لحل المعادلة\(\frac{1}{8}x+\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\).

      .
    لعزل المصطلح x، اطرح\(\frac{1}{2}\) من كلا الجانبين. .
    قم بتبسيط الجانب الأيسر. .
    قم بتغيير الثوابت إلى أجزاء مكافئة باستخدام شاشة LCD. .
    اطرح. .
    اضرب كلا الطرفين في مقلوب\(\frac{1}{8}\). .
    قم بالتبسيط. .
    طاولة\(\PageIndex{1}\)

    عملت هذه الطريقة بشكل جيد، لكن العديد من الطلاب لا يشعرون بثقة كبيرة عندما يرون كل هذه الكسور. لذلك، سوف نعرض طريقة بديلة لحل المعادلات بالكسور. تزيل هذه الطريقة البديلة الكسور.

    سوف نطبق خاصية الضرب في المساواة ونضرب كلا طرفي المعادلة في القاسم المشترك الأصغر لجميع الكسور في المعادلة. ستكون نتيجة هذه العملية معادلة جديدة، تعادل الأولى، ولكن بدون كسور. هذه العملية تسمى «مسح» معادلة الكسور.

    دعونا نحل معادلة مشابهة، ولكن هذه المرة نستخدم الطريقة التي تزيل الكسور.

    التمارين\(\PageIndex{1}\): How to Solve Equations with Fraction Coefficients

    حل:\(\frac{1}{6}y - \frac{1}{3} = \frac{5}{6}\)

    إجابة

    هذا الشكل عبارة عن جدول يحتوي على ثلاثة أعمدة وثلاثة صفوف. العمود الأول هو عمود العنوان، ويحتوي على أسماء وأرقام كل خطوة. يحتوي العمود الثاني على مزيد من التعليمات المكتوبة. يحتوي العمود الثالث على الرياضيات. في الصف العلوي من الجدول، تقرأ الخلية الأولى على اليسار: «الخطوة 1. أوجد المقام المشترك الأصغر لجميع الكسور في المعادلة.» ينص النص الموجود في الخلية الثانية على ما يلي: «ما هي شاشة LCD 1/6 و 1/3 و 5/6؟» تحتوي الخلية الثالثة على المعادلة: سدس y ناقص 1/3 يساوي 5/6، بينما تساوي شاشة LCD 6 مكتوبة بجانبها.في الصف الثاني من الجدول، تقول الخلية الأولى: «الخطوة 2. اضرب كلا طرفي المعادلة في شاشة LCD هذه. هذا يزيل الكسور.» في الخلية الثانية، تقول التعليمات: «اضرب جانبي المعادلة في شاشة LCD 6. استخدم خاصية التوزيع. قم بالتبسيط — ولاحظ عدم وجود المزيد من الكسور!» تحتوي الخلية الثالثة على المعادلة 6 في سدس y ناقص 1/3، مع سدس y ناقص 1/3 بين قوسين، يساوي 6 في 5/6، مع كتابة «6 مرات» باللون الأحمر على كلا الجانبين. فيما يلي نفس المعادلة مع العدد 6 الموزع على كلا الجانبين: 6 في السدس y ناقص 6 في 1/3 يساوي 6 في 5/6. أدناه هذه هي المعادلة y ناقص 2 يساوي 5.في الصف الثالث من الجدول، تقول الخلية الأولى: «الخطوة 3. حل باستخدام الإستراتيجية العامة لحل المعادلات الخطية.» في الخلية الثانية، تقول التعليمات: «اعزل المصطلح x، أضف 2. قم بالتبسيط.» تحتوي الخلية الثالثة على المعادلة مع إضافة 2 إلى كلا الجانبين: y ناقص 2 زائد 2 يساوي 5 زائد 2، مع كتابة «plus 2" باللون الأحمر على كلا الجانبين. أسفل هذه المعادلة y تساوي 7.

    التمارين\(\PageIndex{2}\)

    حل:\(\frac{1}{4}x + \frac{1}{2} = \frac{5}{8}\)

    إجابة

    \(x= \frac{1}{2}\)

    التمارين\(\PageIndex{3}\)

    حل:\(\frac{1}{8}x + \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\)

    إجابة

    \(x = -2\)

    لاحظ في التمرين\(\PageIndex{1}\) أنه بمجرد مسح معادلة الكسور، كانت المعادلة مثل تلك التي قمنا بحلها سابقًا في هذا الفصل. لقد غيرنا المشكلة إلى مشكلة عرفنا بالفعل كيفية حلها! ثم استخدمنا الإستراتيجية العامة لحل المعادلات الخطية.

    استراتيجية لحل المعادلات باستخدام معاملات الكسر.
    1. أوجد المقام المشترك الأصغر لجميع الكسور في المعادلة.
    2. اضرب كلا طرفي المعادلة في شاشة LCD هذه. هذا يزيل الكسور.
    3. حل باستخدام الإستراتيجية العامة لحل المعادلات الخطية.
    التمارين\(\PageIndex{4}\)

    حل:\(6 = \frac{1}{2}v + \frac{2}{5}v - \frac{3}{4}v\)

    إجابة

    نريد مسح الكسور بضرب كلا طرفي المعادلة في شاشة LCD لجميع الكسور في المعادلة.

    ابحث عن شاشة LCD لجميع الكسور في المعادلة. .
    شاشة ال سي دي هي 20.  
    اضرب كلا طرفي المعادلة في 20. .
    قم بالتوزيع. .
    التبسيط - لاحظ عدم وجود المزيد من الكسور! .
    اجمع بين المصطلحات المتشابهة. .
    قسّم على 3. .
    قم بالتبسيط. .
    تحقق من: .  
    دعونا v=40. .  
      .  
      .  
    التمارين\(\PageIndex{5}\)

    حل:\(7 = \frac{1}{2}x + \frac{3}{4}x - \frac{2}{3}x\)

    إجابة

    \(x = 12\)

    التمارين\(\PageIndex{6}\)

    حل:\(-1 = \frac{1}{2}u + \frac{1}{4}u - \frac{2}{3}u\)

    إجابة

    \(u = -12\)

    في المثال التالي، لدينا مرة أخرى متغيرات على جانبي المعادلة.

    التمارين\(\PageIndex{7}\)

    حل:\(a + \frac{3}{4} = \frac{3}{8}a - \frac{1}{2}\)

    إجابة
      .
    ابحث عن شاشة LCD لجميع الكسور في المعادلة.
    شاشة ال سي دي هي 8.    		  
    اضرب كلا الجانبين في شاشة LCD. .
    قم بالتوزيع. .
    التبسيط - لا مزيد من الكسور. .
    اطرح 3a3a من كلا الجانبين. .
    قم بالتبسيط. .
    اطرح 6 من كلا الجانبين. .
    قم بالتبسيط. .
    قسّم على 5. .
    قم بالتبسيط. .
    تحقق من: .  
    دع =−2. .  
      .  
      .  
      .  
    التمارين\(\PageIndex{8}\)

    حل:\(x + \frac{1}{3} = \frac{1}{6}x - \frac{1}{2}\)

    إجابة

    \(x = -1\)

    التمارين\(\PageIndex{9}\)

    حل:\(c + \frac{3}{4} = \frac{1}{2}c - \frac{1}{4}\)

    إجابة

    \(c = -2\)

    في المثال التالي، نبدأ باستخدام خاصية التوزيع. تقوم هذه الخطوة بمسح الكسور على الفور.

    التمارين\(\PageIndex{10}\)

    حل:\(-5 = \frac{1}{4}(8x + 4)\)

    إجابة
      .
    قم بالتوزيع. .
    قم بالتبسيط.
    الآن لا توجد كسور.    		 .
    اطرح 1 من كلا الجانبين. .
    قم بالتبسيط. .
    قسّم على 2. .
    قم بالتبسيط. .
    تحقق من: .  
    دع x=−3. .  
      .  
      .  
      .  
    التمارين\(\PageIndex{11}\)

    حل:\(-11 = \frac{1}{2}(6p + 2)\)

    إجابة

    \(p = -4\)

    التمارين\(\PageIndex{12}\)

    حل:\(8 = \frac{1}{3}(9q + 6)\)

    إجابة

    \(q = 2\)

    في المثال التالي، حتى بعد التوزيع، لا يزال لدينا كسور يجب مسحها.

    التمارين\(\PageIndex{13}\)

    حل:\(\frac{1}{2}(y - 5) = \frac{1}{4}(y - 1)\)

    إجابة
      .
    توزيع. .
    قم بالتبسيط. .
    اضرب في شاشة LCD، 4. .
    توزيع. .
    قم بالتبسيط. .
    اجمع المتغيرات على اليسار. .
    قم بالتبسيط. .
    اجمع الثوابت على اليمين. .
    قم بالتبسيط. .
    تحقق من: .  
    اسمح لك = 9. .  
    قم بإنهاء الفحص بنفسك.
    التمارين\(\PageIndex{14}\)

    حل:\(\frac{1}{5}(n + 3) = \frac{1}{4}(n + 2)\)

    إجابة

    \(n = 2\)

    التمارين\(\PageIndex{15}\)

    حل:\(\frac{1}{2}(m - 3) = \frac{1}{4}(m - 7)\)

    إجابة

    \(m = -1\)

    التمارين\(\PageIndex{16}\)

    حل:\(\frac{5x - 3}{4} = \frac{x}{2}\)

    إجابة
      .
    اضرب في شاشة LCD، 4. .
    قم بالتبسيط. .
    اجمع المتغيرات على اليمين. .
    قم بالتبسيط. .
    يقسم. .
    قم بالتبسيط. .
    تحقق من: .  
    دع x=1. .  
      .  
      .  
    التمارين\(\PageIndex{17}\)

    حل:\(\frac{4y - 7}{3} = \frac{y}{6}\)

    إجابة

    \(y = 2\)

    التمارين\(\PageIndex{18}\)

    حل:\(\frac{-2z - 5}{4} = \frac{z}{8}\)

    إجابة

    \(z = -2\)

    التمارين\(\PageIndex{19}\)

    حل:\(\frac{a}{6} + 2 = \frac{a}{4} + 3\)

    إجابة
      .
    اضرب في شاشة LCD، 12. .
    توزيع. .
    قم بالتبسيط. .
    اجمع المتغيرات على اليمين. .
    قم بالتبسيط. .
    اجمع الثوابت على اليسار. .
    قم بالتبسيط. .
    تحقق من: .  
    دع =−12. .  
      .  
      .  
    التمارين\(\PageIndex{20}\)

    حل:\(\frac{b}{10} + 2 = \frac{b}{4} + 5\)

    إجابة

    \(b = -20\)

    التمارين\(\PageIndex{21}\)

    حل:\(\frac{c}{6} + 3 = \frac{c}{3} + 4\)

    إجابة

    \(c= -6\)

    التمارين\(\PageIndex{22}\)

    حل:\(\frac{4q + 3}{2}+ 6 = \frac{3q + 5}{4}\)

    إجابة
      .
    اضرب في شاشة LCD، 4. .
    توزيع. .
    قم بالتبسيط. .
    .
    .
    اجمع المتغيرات على اليسار. .
    قم بالتبسيط. .
    اجمع الثوابت على اليمين. .
    قم بالتبسيط. .
    قسّم على 5. .
    قم بالتبسيط. .
    تحقق من: .  
    دع q=−5. .  
    قم بإنهاء الفحص بنفسك.
    التمارين\(\PageIndex{23}\)

    حل:\(\frac{3r + 5}{6}+ 1 = \frac{4r + 3}{3}\)

    إجابة

    \(r = 1\)

    التمارين\(\PageIndex{24}\)

    حل:\(\frac{2s + 3}{2}+ 1 = \frac{3s + 2}{4}\)

    إجابة

    \(s = -8\)

    حل المعادلات ذات المعاملات العشرية

    تحتوي بعض المعادلات على أعداد عشرية. سيحدث هذا النوع من المعادلات عندما نحل مشاكل التعامل مع المال أو النسب المئوية. ولكن يمكن أيضًا التعبير عن الأرقام العشرية ككسور. على سبيل المثال،\(0.3 = \frac{3}{10}\) و\(0.17 = \frac{17}{100}\). لذلك، باستخدام المعادلة ذات الأعداد العشرية، يمكننا استخدام نفس الطريقة التي استخدمناها لمسح الكسور - ضرب كلا طرفي المعادلة في المقام المشترك الأصغر.

    التمارين\(\PageIndex{25}\)

    حل:\(0.06x + 0.02 = 0.25x - 1.5\)

    إجابة

    انظر إلى الأعداد العشرية وفكر في الكسور المتكافئة.

    \(0.06 = \frac { 6 } { 100 } \quad 0.02 = \frac { 2 } { 100 } \quad 0.25 = \frac { 25 } { 100 } \quad 1.5 = 1 \frac { 5 } { 10 }\)

    لاحظ أن شاشة LCD هي 100.

    بالضرب في شاشة LCD، سنقوم بمسح الأرقام العشرية من المعادلة.

      .
    اضرب كلا الجانبين في 100. .
    قم بالتوزيع. .
    اضرب، والآن ليس لدينا المزيد من الأرقام العشرية. .
    اجمع المتغيرات على اليمين. .
    قم بالتبسيط. .
    اجمع المتغيرات على اليمين. .
    قم بالتبسيط. .
    اقسم على 19. .
    قم بالتبسيط. .
    تحقق: دع x = 8
    .    		  
    التمارين\(\PageIndex{26}\)

    حل:\(0.14h + 0.12 = 0.35h - 2.4\)

    إجابة

    \(h = 12\)

    التمارين\(\PageIndex{27}\)

    حل:\(0.65k - 0.1 = 0.4k - 0.35\)

    إجابة

    \(k = -1\)

    يستخدم المثال التالي معادلة نموذجية لتطبيقات النقود في الفصل التالي. لاحظ أننا نوزع العدد العشري قبل مسح جميع الأعداد العشرية.

    التمارين\(\PageIndex{28}\)

    حل:\(0.25x + 0.05(x + 3) = 2.85\)

    إجابة
      .
    قم بالتوزيع أولاً. .
    اجمع بين المصطلحات المتشابهة. .
    لمسح الأعداد العشرية، اضرب في 100. .
    قم بالتوزيع. .
    اطرح 15 من كلا الجانبين. .
    قم بالتبسيط. .
    قسّم على 30. .
    قم بالتبسيط. .
    تحقق من ذلك بنفسك عن طريق استبدال x=9 في المعادلة الأصلية.
    التمارين\(\PageIndex{29}\)

    حل:\(0.25n + 0.05(n + 5) = 2.95\)

    إجابة

    \(n = 9\)

    التمارين\(\PageIndex{30}\)

    حل:\(0.10d + 0.05(d -5) = 2.15\)

    إجابة

    \(d = 16\)

    المفاهيم الرئيسية

    • إستراتيجية لحل المعادلة باستخدام معاملات الكسر
      1. أوجد المقام المشترك الأصغر لجميع الكسور في المعادلة.
      2. اضرب كلا طرفي المعادلة في شاشة LCD هذه. هذا يزيل الكسور.
      3. حل باستخدام الإستراتيجية العامة لحل المعادلات الخطية.