13.3: المعادلات الخطية

Last updated
Save as PDF

Page ID: 199050

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

يعتمد الانحدار الخطي لمتغيرين على معادلة خطية بمتغير واحد مستقل. تحتوي المعادلة على الشكل التالي:

\[y=a+b x\nonumber\]

\(b\)أين\(a\) والأرقام الثابتة.

المتغير\(\bf x\) هو المتغير المستقل،\(\bf y\) وهو المتغير التابع. هناك طريقة أخرى للتفكير في هذه المعادلة وهي بيان السبب والنتيجة. \(X\)المتغير هو السبب\(Y\) والمتغير هو التأثير المفترض. عادةً ما تختار قيمة لتحل محل المتغير المستقل ثم تحلها للمتغير التابع.

مثال\(\PageIndex{1}\)

الأمثلة التالية هي معادلات خطية.

\(y=3+2x\)

\(y=–0.01+1.2x\)

الرسم البياني للمعادلة الخطية للنموذج\(y = a + bx\) هو خط مستقيم. يمكن وصف أي خط غير عمودي بهذه المعادلة

مثال\(\PageIndex{2}\)

رسم المعادلة بيانيًا\(y = –1 + 2x\).

رسم بياني للمعادلة y = -1 + 2x. هذا هو الخط المستقيم الذي يعبر المحور y عند -1 ويميل لأعلى ولليمين، ويرتفع بوحدتين لكل وحدة من وحدات الجري.

التمارين الرياضية\(\PageIndex{2}\)

هل ما يلي مثال للمعادلة الخطية؟ لماذا أو لماذا لا؟

هذا رسم بياني لمعادلة. يتم تسمية المحور x بفواصل زمنية من 2 إلى 14؛ ويتم تسمية المحور y بفواصل زمنية من 2 إلى 0 - 12. الرسم البياني للمعادلة هو منحنى يعبر المحور y عند 2 وينحني لأعلى ولليمين.

مثال\(\PageIndex{3}\)

تقوم خدمة معالجة النصوص الخاصة بـ Aaron (AWPS) بمعالجة النصوص. سعر الخدمات هو 32 دولارًا للساعة بالإضافة إلى 31.50 دولارًا لمرة واحدة. تعتمد التكلفة الإجمالية للعميل على عدد الساعات التي يستغرقها إكمال المهمة.

ابحث عن المعادلة التي تعبر عن التكلفة الإجمالية من حيث عدد الساعات المطلوبة لإكمال المهمة.

إجابة

الحل 13.3

Let\(x\) = عدد الساعات التي يستغرقها إنجاز المهمة.
Let\(y\) = التكلفة الإجمالية للعميل.

31.50 دولارًا هي تكلفة ثابتة. إذا استغرق الأمر\(x\) ساعات لإكمال المهمة، فإن (32\(x\)) () هي تكلفة معالجة الكلمات فقط. التكلفة الإجمالية هي:\(y = 31.50 + 32x\)

ميل المعادلة الخطية والجزء المقطوع منها Y

للمعادلة الخطية\(y = a + bx\)،\(b\) = المنحدر\(a = y\) والجزء المقطوع. من الجبر، تذكر أن المنحدر هو رقم يصف انحدار الخط، والجزء\(y\) المقطوع هو\(y\) إحداثيات النقطة التي يعبر\((0, a)\) فيها الخط المحور y. من حساب التفاضل والتكامل، يكون المنحدر هو المشتق الأول للدالة. بالنسبة للدالة الخطية، فإن المنحدر هو\(dy / dx = b\) المكان الذي يمكننا فيه قراءة التعبير الرياضي على أنه «التغيير في y (dy) الناتج عن تغيير في\(x (dx) = b * dx\)».

ثلاثة رسوم بيانية محتملة للمعادلة y = a + bx. بالنسبة للرسم البياني الأول، (أ)، ب — الشكل\(\PageIndex{5}\) ثلاثة رسوم بيانية محتملة لـ\(y = a + bx\). (أ) إذا كان\(b > 0\) الخط ينحدر لأعلى إلى اليمين. (ب) إذا كان\(b = 0\) الخط أفقيًا. (ج) إذا كان\(b < 0\) الخط ينحدر نزولاً إلى اليمين.

مثال\(\PageIndex{4}\)

مدرّسو سفيتلانا لكسب أموال إضافية للكلية. مقابل كل جلسة تعليمية، تتقاضى رسومًا لمرة واحدة قدرها 25 دولارًا بالإضافة إلى 15 دولارًا لكل ساعة من التدريس. معادلة خطية تعبر عن المبلغ الإجمالي للمال الذي تجنيه سفيتلانا عن كل جلسة تدرسها\(y = 25 + 15x\).

ما هي المتغيرات المستقلة والتابعة؟ ما التقاطع y وما هو المنحدر؟ قم بتفسيرها باستخدام جمل كاملة.

إجابة

الحل 13.4

المتغير المستقل (\(x\)) هو عدد الساعات التي تدرسها سفيتلانا في كل جلسة. المتغير التابع (\(y\)) هو المبلغ الذي تكسبه سفيتلانا بالدولار لكل جلسة.

التقاطع y هو\(25 (a = 25\)). في بداية جلسة التدريس، تتقاضى سفيتلانا رسومًا لمرة واحدة قدرها 25 دولارًا (هذا هو الوقت\(x= 0\)). المنحدر هو\(15 (b = 15)\). في كل جلسة، تكسب سفيتلانا 15 دولارًا عن كل ساعة تقوم بتدريسها.