11.5: اختبار التجانس

Last updated
Save as PDF

Page ID: 198814

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

يمكن استخدام اختبار جودة الملاءمة لتحديد ما إذا كانت المجموعة السكانية تناسب توزيعًا معينًا، ولكن لن يكفي تحديد ما إذا كانت مجموعتان من السكان تتبع نفس التوزيع غير المعروف. يمكن استخدام اختبار مختلف، يسمى اختبار التجانس، لاستخلاص استنتاج حول ما إذا كان هناك مجموعتان من السكان لهما نفس التوزيع. لحساب إحصائية الاختبار لاختبار التجانس، اتبع نفس الإجراء المتبع في اختبار الاستقلالية.

ملاحظة

يجب أن تكون القيمة المتوقعة داخل كل خلية خمسة على الأقل حتى تتمكن من استخدام هذا الاختبار.

الفرضيات

\(H_0\): التوزيعات بين المجموعتين هي نفسها.
\(H_a\): توزيع المجموعتين من السكان ليس هو نفسه.

إحصائية الاختبار

استخدم إحصائية\(\chi^2\) الاختبار. يتم حسابه بنفس طريقة اختبار الاستقلال.

درجات الحرية (\(\bf{df}\))

\(df = \text{ number of columns }- 1\)

المتطلبات

يجب أن تكون جميع القيم في الجدول أكبر من أو تساوي خمسة.

الاستخدامات الشائعة

مقارنة مجموعتين من السكان. على سبيل المثال: الرجال مقابل النساء، قبل وبعد، الشرق مقابل الغرب. المتغير فئوي بأكثر من قيمتين ممكنتين للاستجابة.

مثال\(\PageIndex{1}\)

هل يتمتع طلاب الجامعات من الذكور والإناث بنفس توزيع ترتيبات المعيشة؟ استخدم مستوى أهمية 0.05. لنفترض أنه تم سؤال 250 طالبًا جامعيًا تم اختيارهم عشوائيًا و 300 طالبة جامعية تم اختيارهم عشوائيًا عن ترتيبات معيشتهم: سكن، شقة، مع أولياء الأمور، إلخ. تظهر النتائج في الجدول\(\PageIndex{18}\). هل يتمتع طلاب الجامعات من الذكور والإناث بنفس توزيع ترتيبات المعيشة؟

\ (\ pageIndex {18}\) توزيع ترتيبات المعيشة لطلاب الجامعات و طالبات الجامعات «>

جدول\(\PageIndex{18}\) توزيع ترتيبات المعيشة للذكور والإناث في الكلية
	مهجع	شقة	مع أولياء الأمور	أخرى
الذكور	72	84	49	45
الإناث	91	86	88	35

إجابة

الحل 11.11

\(H_0\): توزيع ترتيبات المعيشة لطلاب الجامعات الذكور هو نفس توزيع ترتيبات المعيشة لطلاب الجامعات من الإناث.

\(H_a\): توزيع ترتيبات المعيشة لطلاب الجامعات الذكور يختلف عن توزيع ترتيبات المعيشة لطلاب الجامعات من الإناث.

درجات الحرية (\(\bf{df}\)):
\(df =\text{ number of columns }– 1 = 4 – 1 = 3\)

التوزيع للاختبار:\(\chi_3^2\)

احسب الاختبار إحصائية:\(\chi_c^2 = 10.129\)

يُظهر الرسم البياني لمربع CHI التوزيع ويحدد القيمة الحرجة بثلاث درجات من الحرية بمستوى 95٪ من الثقة\(\alpha = 0.05\)، 7.815. يشير الرسم البياني أيضًا إلى إحصائية\(\chi^2\) الاختبار المحسوبة لـ 10.129. وبمقارنة إحصائية الاختبار بالقيمة الحرجة، كما فعلنا مع جميع اختبارات الفرضيات الأخرى، نصل إلى النتيجة.

اتخاذ قرار: نظرًا لأن إحصائية الاختبار المحسوبة موجودة في الذيل، فلا يمكننا قبولها\(H_0\). هذا يعني أن التوزيعات ليست هي نفسها.

الخلاصة: عند مستوى الأهمية بنسبة 5٪، من البيانات، هناك أدلة كافية لاستنتاج أن توزيعات ترتيبات المعيشة لطلاب الجامعات من الذكور والإناث ليست هي نفسها.

لاحظ أن الاستنتاج هو فقط أن التوزيعات ليست هي نفسها. لا يمكننا استخدام اختبار التجانس لاستخلاص أي استنتاجات حول كيفية اختلافها.

التمارين\(\PageIndex{1A}\)

هل لدى العائلات والعزاب نفس توزيع السيارات؟ استخدم مستوى أهمية 0.05. لنفترض أن 100 عائلة تم اختيارها عشوائيًا و 200 من العزاب الذين تم اختيارهم عشوائيًا قد سئلوا عن نوع السيارة التي قادوها: سيارة رياضية، سيدان، هاتشباك، شاحنة، فان/سيارات دفع رباعي. تظهر النتائج في الجدول\(\PageIndex{19}\). هل لدى العائلات والعزاب نفس توزيع السيارات؟ اختبار عند مستوى أهمية 0.05.

\ (\ فهرس الصفحات {19}\) «>

طاولة\(\PageIndex{19}\)
	رياضة	سيدان	هاتشباك	شاحنة	فان/سيارات الدفع الرباعي
عائلة	5	15	35	17	28
مفرد	45	65	37	46	7

التمارين\(\PageIndex{1B}\)

تتلقى مدارس Ivy League العديد من الطلبات، ولكن يمكن قبول بعضها فقط. في المدارس المدرجة في الجدول\(\PageIndex{20}\)، يتم قبول نوعين من الطلبات: القرار العادي والمبكر.

\ (\ فهرس الصفحات {20}\) «>

طاولة\(\PageIndex{20}\)
تم قبول نوع الطلب	براون	كولومبيا	كورنيل	دارتموث	بن	ييل
عادي	2,115	1,792	5,306	1,734	2,685	1,245
قرار مبكر	577	627	1,228	444	1,195	761

نريد أن نعرف ما إذا كان عدد الطلبات العادية المقبولة يتبع نفس توزيع عدد الطلبات المبكرة المقبولة. اذكر الفرضيات الصفرية والبديلة ودرجات الحرية وإحصائية الاختبار، وارسم الرسم البياني\(\chi^2\) للتوزيع وأظهر القيمة الحرجة والقيمة المحسوبة لإحصائية الاختبار، واستخلص استنتاجًا حول اختبار التجانس.