Skip to main content
Global

5.1: خصائص دوال الكثافة الاحتمالية المستمرة

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    198928

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    الرسم البياني للتوزيع الاحتمالي المستمر هو منحنى. يتم تمثيل الاحتمال بمساحة أسفل المنحنى. لقد التقينا بالفعل بهذا المفهوم عندما قمنا بتطوير الترددات النسبية مع الرسوم البيانية في الفصل 2. كانت المنطقة النسبية لنطاق من القيم هي احتمال رسم ملاحظة عشوائية في تلك المجموعة. مرة أخرى مع توزيع Poisson في الفصل 4،\(\PageIndex{14}\) استخدم الرسم البياني في المثال مربعات لتمثيل احتمال القيم المحددة للمتغير العشوائي. في هذه الحالة، كنا نتعامل بشكل عرضي بعض الشيء لأن المتغيرات العشوائية لتوزيع Poisson هي أرقام منفصلة وكاملة والمربع له عرض. لاحظ أن المحور الأفقي، المتغير العشوائي\(x\)، لم يحدد بشكل مقصود النقاط على طول المحور. سيكون احتمال وجود قيمة محددة للمتغير العشوائي المستمر صفرًا لأن المساحة تحت النقطة هي صفر. الاحتمال هو المجال.

    يسمى المنحنى دالة الكثافة الاحتمالية (يتم اختصارها كـ pdf). نحن نستخدم الرمز\(f(x))\) لتمثيل المنحنى. \(f(x))\)هي الدالة التي تتوافق مع الرسم البياني؛ نستخدم دالة الكثافة\(f(x))\) لرسم الرسم البياني للتوزيع الاحتمالي.

    يتم تحديد المساحة الموجودة أسفل المنحنى بواسطة دالة مختلفة تسمى دالة التوزيع التراكمي (يتم اختصارها كـ cdf). تُستخدم دالة التوزيع التراكمي لتقييم الاحتمال كمنطقة. من الناحية الرياضية، تعد دالة الكثافة الاحتمالية التراكمية جزءًا لا يتجزأ من ملف pdf، والاحتمال بين قيمتين للمتغير العشوائي المستمر سيكون جزءًا لا يتجزأ من ملف pdf بين هاتين القيمتين: المنطقة الموجودة أسفل المنحنى بين هاتين القيمتين. تذكر أن المنطقة الموجودة أسفل ملف pdf لجميع القيم الممكنة للمتغير العشوائي هي واحدة، وهي اليقين. وبالتالي يمكن اعتبار الاحتمالية النسبة المئوية النسبية لليقين بين قيمتي الاهتمام.

    • يتم قياس النتائج وليس حسابها.
    • المساحة بأكملها تحت المنحنى وفوق المحور السيني تساوي واحدًا.
    • تم العثور على الاحتمال لفواصل قيم x بدلاً من\(x\) القيم الفردية.
    • \(P(c < x < d)\)هو احتمال وجود المتغير العشوائي X في الفترة الفاصلة بين القيمتين c و d.\(P(c < x < d)\) هي المنطقة تحت المنحنى، فوق المحور x، على يمين\(c\) ويسار\(d\).
    • \(P(x = c) = 0\)الاحتمال الذي\(x\) يأخذ أي قيمة فردية هو صفر. المنطقة الموجودة أسفل المنحنى، وفوق المحور السيني،\(x = c\) وبينها وليس\(x = c\) لها عرض، وبالتالي لا توجد مساحة (\(\text{area }= 0\)). نظرًا لأن الاحتمال يساوي المساحة، فإن الاحتمال هو صفر أيضًا.
    • \(P(c < x < d)\)هو نفسه\(P(c ≤ x ≤ d)\) لأن الاحتمال يساوي المساحة.

    سنجد المنطقة التي تمثل الاحتمال باستخدام الهندسة أو الصيغ أو التكنولوجيا أو جداول الاحتمالات. بشكل عام، هناك حاجة إلى حساب التفاضل والتكامل لإيجاد المساحة تحت المنحنى للعديد من وظائف الكثافة الاحتمالية. عندما نستخدم الصيغ للعثور على المنطقة في هذا الكتاب المدرسي، تم العثور على الصيغ باستخدام تقنيات حساب التفاضل والتكامل.

    هناك العديد من التوزيعات الاحتمالية المستمرة. عند استخدام التوزيع الاحتمالي المستمر لنمذجة الاحتمال، يتم تحديد التوزيع المستخدم لنمذجة الموقف الخاص وملاءمته بأفضل طريقة.

    في هذا الفصل والفصل الذي يليه، سوف ندرس التوزيع المنتظم والتوزيع الأسي والتوزيع الطبيعي. توضح الرسوم البيانية التالية هذه التوزيعات.

    يوضح هذا الرسم البياني توزيعًا موحدًا. يتراوح المحور الأفقي من 0 إلى 10. تم تصميم التوزيع بواسطة مستطيل يمتد من x = 2 إلى x = 8.8. يتم تظليل المنطقة من x = 3 إلى x = 6 داخل المستطيل. تمثل المنطقة المظللة P (3 × < 6).
    الشكل\(\PageIndex{2}\) يوضح الرسم البياني توزيعًا موحدًا مع المساحة بينهما\(x = 3\)\(x = 6\) ومظللة لتمثيل احتمال وجود قيمة المتغير\(X\) العشوائي في الفترة بين ثلاثة وستة.
    الشكل\(\PageIndex{3}\): يوضِّح الرسم البياني توزيعًا أسيًا بمساحة بينهما\(x = 2\)\(x = 4\) ومظللة لتمثيل احتمال وجود قيمة المتغير\(X\) العشوائي في الفترة بين اثنين وأربعة.
    يوضِّح هذا الرسم البياني التوزيع الأسي. ينحدر الرسم البياني إلى الأسفل. يبدأ عند نقطة على المحور y ويقترب من المحور السيني عند الحافة اليمنى من الرسم البياني. المنطقة الموجودة أسفل الرسم البياني من x = 2 إلى x = 4 مظللة لتمثيل P (2 < x < 4).
    الشكل\(\PageIndex{4}\) يوضح الرسم البياني التوزيع العادي القياسي مع المساحة بينهما\(x = 1\)\(x = 2\) والمظللة لتمثيل احتمال وجود قيمة المتغير\(X\) العشوائي في الفترة بين واحد واثنين.

    بالنسبة للتوزيعات الاحتمالية المستمرة، الاحتمال = المنطقة.

    مثال\(\PageIndex{1}\)

    ضع في اعتبارك وظيفة\(f(x) = \frac{1}{20}\) الرقم الحقيقي.\(0 ≤ x ≤ 20. x =\) الرسم البياني\(f(x) = \frac{1}{20}\) هو خط أفقي. ومع ذلك،\(0 ≤ x≤ 20, f(x)\) يقتصر ذلك على الجزء بين\(x = 0\) و\(x = 20\)، بشكل شامل.

    يوضح هذا الرسم البياني للدالة f (x) = 1/20. يتراوح الخط الأفقي من النقطة (0، 1/20) إلى النقطة (20، 1/20). يمتد الخط العمودي من المحور السيني إلى نهاية الخط عند النقطة (20، 1/20) لإنشاء مستطيل.
    الشكل\(\PageIndex{5}\)

    \(f(x) = \frac{1}{20}\)من أجل\(0 ≤ x ≤ 20\).

    الرسم البياني\(f(x) =\frac{1}{20}\) هو مقطع خط أفقي عندما\(0 ≤ x ≤ 20\).

    المنطقة الواقعة بين\(f(x) = \frac{1}{20}\) المكان\(0 ≤ x ≤ 20\) والمحور السيني هي مساحة المستطيل ذي القاعدة\(= 20\) والارتفاع\(= \frac{1}{20}\).

    \[\operatorname{AREA}=20\left(\frac{1}{20}\right)=1\nonumber\]

    لنفترض أننا نريد العثور على المنطقة\(bf{f(x)) = \frac{1}{20}}\) الواقعة بين المحور x وأين\(\bf{0 < x < 2}\).

    يوضح هذا الرسم البياني للدالة f (x) = 1/20. يتراوح الخط الأفقي من النقطة (0، 1/20) إلى النقطة (20، 1/20). يمتد الخط العمودي من المحور السيني إلى نهاية الخط عند النقطة (20، 1/20) لإنشاء مستطيل. المنطقة مظللة داخل المستطيل من x = 0 إلى x = 2.
    الشكل\(\PageIndex{6}\)

    \[\operatorname{AREA}=(2-0)\left(\frac{1}{20}\right)=0.1\nonumber\]

    \[(2-0)=2= \text{base of rectangle}\nonumber\]

    تذكير

    مساحة المستطيل = (القاعدة) (الارتفاع).

    تتوافق المنطقة مع الاحتمال. الاحتمال الذي\(x\) يقع بين صفر واثنين هو\(0.1\)، والذي يمكن كتابته رياضيًا كـ\(P(0 < x < 2) = P(x < 2) = 0.1\).

    لنفترض أننا نريد العثور على المنطقة\(\bf{f(x) = \frac{1}{20}}\) الواقعة بين المحور x وأين\(\bf{ 4 < x < 15 }\).

    يوضح هذا الرسم البياني للدالة f (x) = 1/20. يتراوح الخط الأفقي من النقطة (0، 1/20) إلى النقطة (20، 1/20). يمتد الخط العمودي من المحور السيني إلى نهاية الخط عند النقطة (20، 1/20) لإنشاء مستطيل. المنطقة مظللة داخل المستطيل من x = 4 إلى x = 15.
    الشكل\(\PageIndex{7}\)

    \(\operatorname{AREA}=(15-4)\left(\frac{1}{20}\right)=0.55\)

    \((15 – 4) = 11 = \text{the base of a rectangle}\)

    تتوافق المنطقة مع الاحتمال\(P (4 < x < 15) = 0.55\).

    لنفترض أننا نريد أن نجد\(P(x = 15)\). على الرسم البياني xy،\(x = 15\) يوجد خط عمودي. لا يحتوي الخط العمودي على عرض (أو عرض صفري). لذلك،\(P(x = 15) =\) (القاعدة) (الارتفاع)\(= (0)\left(\frac{1}{20}\right) = 0\)

    يوضح هذا الرسم البياني للدالة f (x) = 1/20. يتراوح الخط الأفقي من النقطة (0، 1/20) إلى النقطة (20، 1/20). يمتد الخط العمودي من المحور السيني إلى نهاية الخط عند النقطة (20، 1/20) لإنشاء مستطيل. يمتد الخط العمودي من المحور الأفقي إلى الرسم البياني عند x = 15.
    الشكل\(\PageIndex{8}\)

    \(P(X ≤ x)\)، والتي يمكن كتابتها أيضًا\(P(X < x)\) بالنسبة للتوزيعات المستمرة، تسمى دالة التوزيع التراكمي أو CDF. لاحظ الرمز «أقل من أو يساوي». يمكننا أيضًا استخدام CDF للحساب\(P (X > x)\). يعطي CDF «المنطقة إلى اليسار»\(P(X > x)\) ويعطي «المنطقة إلى اليمين». نحسب\(P(X > x)\) التوزيعات المستمرة على النحو التالي:\(P(X > x) = 1 – P (X < x)\).

    يوضح هذا الرسم البياني للدالة f (x) = 1/20. يتراوح الخط الأفقي من النقطة (0، 1/20) إلى النقطة (20، 1/20). يمتد الخط العمودي من المحور السيني إلى نهاية الخط عند النقطة (20، 1/20) لإنشاء مستطيل. المنطقة الموجودة على يسار القيمة، x، مظللة.
    الشكل\(\PageIndex{9}\)

    قم بتسمية الرسم البياني بـ\(f(x)\) و\(x\). قم بقياس\(y\) المحاور\(x\) و مع الحد الأقصى\(x\)\(y\) والقيم. \(f(x) = \frac{1}{20} , 0 ≤ x ≤ 20\).

    لحساب الاحتمال\(x\) بين قيمتين، انظر إلى الرسم البياني التالي. قم بتظليل المنطقة بين\(x = 2.3\) و\(x = 12.7\). ثم احسب المساحة المظللة للمستطيل.

    يوضح هذا الرسم البياني للدالة f (x) = 1/20. يتراوح الخط الأفقي من النقطة (0، 1/20) إلى النقطة (20، 1/20). يمتد الخط العمودي من المحور السيني إلى نهاية الخط عند النقطة (20، 1/20) لإنشاء مستطيل. المنطقة مظللة داخل المستطيل من x = 2.3 إلى x = 12.7
    الشكل\(\PageIndex{10}\)

    \(P(2.3<x<12.7)=(\text { base })(\text { height })=(12.7-2.3)\left(\frac{1}{20}\right)=0.52\)

    التمارين\(\PageIndex{1}\)

    ضع في اعتبارك الوظيفة\(f(x) = \frac{1}{8}\) لـ\(0 \leq x \leq 8\). ارسم الرسم البياني\(f(x))\) وابحث\(P(2.5 < x < 7.5)\).