Skip to main content
Global

4.7: عناصر الفصل الرئيسية

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    199120

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    تجارب بيرنولي
    تجربة بالخصائص التالية:
    1. هناك نتيجتان محتملتان فقط تسمى «النجاح» و «الفشل» لكل تجربة.
    2. \(p\)احتمال النجاح هو نفسه لأي تجربة (لذا فإن\(q = 1 − p\) احتمال الفشل هو نفسه لأي تجربة).
    تجربة ذات حدين
    تجربة إحصائية تستوفي الشروط الثلاثة التالية:
    1. هناك عدد ثابت من التجارب،\(n\).
    2. هناك نتيجتان محتملتان فقط، تسمى «النجاح» و «الفشل»، لكل تجربة. \(p\)تشير الرسالة إلى احتمال النجاح في تجربة واحدة،\(q\) وتشير إلى احتمال الفشل في تجربة واحدة.
    3. \(n\)التجارب مستقلة ويتم تكرارها باستخدام شروط متطابقة.
    التوزيع الاحتمالي ذو الحدين
    متغير عشوائي منفصل (RV) ينشأ من تجارب برنولي؛ هناك عدد ثابت من التجارب المستقلة.\(n\) تعني كلمة «المستقلة» أن نتيجة أي تجربة (على سبيل المثال، التجربة الأولى) لا تؤثر على نتائج التجارب التالية، ويتم إجراء جميع التجارب في ظل نفس الظروف. في ظل هذه الظروف،\(X\) يتم تعريف RV ثنائي الحدود على أنه عدد النجاحات في التجارب. المتوسط هو\(\mu=n p\) والانحراف المعياري هو\(\sigma=\sqrt{n p q}\). احتمال نجاح x بالضبط في\(n\) التجارب هو\(P(X=x)=\left(\begin{array}{l}{n} \\ {x}\end{array}\right) p^{x} q^{n-x}\).
    توزيع هندسي
    متغير عشوائي منفصل (RV) ينشأ من تجارب Bernoulli؛ تتكرر التجارب حتى النجاح الأول. يتم تعريف المتغير الهندسي X على أنه عدد التجارب حتى النجاح الأول. المتوسط هو\(\mu=\frac{1}{p}\) والانحراف المعياري هو\(\sigma = \sqrt{\frac{1}{p}\left(\frac{1}{p}-1\right)}\). يتم إعطاء احتمال الفشل x بالضبط قبل النجاح الأول من خلال الصيغة:\(P(X=x)=p(1-p)^{x-1}\) حيث يريد المرء معرفة احتمالية عدد التجارب حتى النجاح الأول: المسار\(x\) العاشر هو النجاح الأول.
    تطرح الصيغة البديلة للتوزيع الهندسي السؤال التالي: ما هو احتمال\(x\) الفشل حتى النجاح الأول؟ في هذه الصيغة، لا يتم احتساب التجربة التي أدت إلى النجاح الأول. صيغة هذا العرض الهندسي هي:\(P(X=x)=p(1-p)^{x}\)
    القيمة المتوقعة في هذا الشكل من التوزيع الهندسي هي\(\mu=\frac{1-p}{p}\)
    أسهل طريقة للحفاظ على هذين الشكلين من التوزيع الهندسي مستقيمين هي تذكر أن p هي احتمال النجاح و\((1−p)\) هو احتمال الفشل. في الصيغة، تحسب الأسس ببساطة عدد النجاحات وعدد حالات الفشل في النتيجة المرجوة من التجربة. بالطبع يجب إضافة مجموع هذين الرقمين إلى عدد التجارب في التجربة.
    تجربة هندسية
    تجربة إحصائية بالخصائص التالية:
    1. هناك تجربة واحدة أو أكثر من تجارب برنولي مع جميع حالات الفشل باستثناء التجربة الأخيرة، وهي تجربة ناجحة.
    2. من الناحية النظرية، يمكن أن يستمر عدد التجارب إلى الأبد. يجب أن تكون هناك تجربة واحدة على الأقل.
    3. إن احتمال النجاح واحتمال الفشل لا\(q\) يتغيران من محاكمة إلى أخرى.\(p\)
    تجربة هندسية فائقة
    تجربة إحصائية بالخصائص التالية:
    1. يمكنك أخذ عينات من مجموعتين.
    2. أنت مهتم بمجموعة من الاهتمامات تسمى المجموعة الأولى.
    3. يمكنك أخذ عينات بدون استبدال من المجموعات المدمجة.
    4. كل اختيار ليس مستقلاً، لأن أخذ العينات بدون استبدال.
    الاحتمال الهندسي الفائق
    متغير عشوائي منفصل (RV) يتميز بما يلي:
    1. عدد ثابت من التجارب.
    2. احتمال النجاح ليس هو نفسه من التجربة إلى المحاكمة.
    نقوم بأخذ عينات من مجموعتين من العناصر عندما نكون مهتمين بمجموعة واحدة فقط. \(X\)يتم تعريفه على أنه عدد النجاحات من إجمالي عدد العناصر المختارة.
    توزيع بواسون الاحتمالي
    متغير عشوائي منفصل (RV) يحسب عدد المرات التي سيحدث فيها حدث معين في فترة زمنية محددة؛ خصائص المتغير:
    • احتمال حدوث الحدث في فترة زمنية معينة هو نفسه لجميع الفواصل الزمنية.
    • تحدث الأحداث بمتوسط معروف وبشكل مستقل عن الوقت منذ الحدث الأخير.
    يتم تعريف التوزيع من خلال متوسط\(\mu\) الحدث في الفاصل الزمني. المتوسط هو\(\mu = np\). الانحراف المعياري هو\(\sigma=\sqrt{\mu}\). احتمال تحقيق\(x\) نجاحات بالضبط في\(r\) التجارب هو\(P(x)=\frac{\mu^{x} e^{-\mu}}{x !}\). غالبًا ما يتم استخدام توزيع Poisson لتقريب التوزيع ذي الحدين، عندما يكون\(n\) «كبيرًا» و\(p\) «صغيرًا» (القاعدة العامة هي أنه\(np\) يجب أن يكون أكبر من أو يساوي 25\(p\) ويجب أن يكون أقل من أو يساوي 0.01).
    دالة توزيع الاحتمالات (PDF)
    وصف رياضي لمتغير عشوائي منفصل (RV)، يتم تقديمه إما في شكل معادلة (صيغة) أو في شكل جدول يسرد جميع النتائج المحتملة للتجربة والاحتمال المرتبط بكل نتيجة.
    متغير عشوائي (RV)
    سمة من سمات الاهتمام بالسكان الذين تتم دراستهم؛ الترميز الشائع للمتغيرات هو الأحرف اللاتينية الكبيرة\(X, Y, Z\)،...؛ الترميز الشائع لقيمة معينة من المجال (مجموعة من جميع القيم الممكنة للمتغير) هي الأحرف اللاتينية الصغيرة\(x, y\)، و\(z\). على سبيل المثال،\(X\) إذا كان عدد الأطفال في الأسرة، فإنه\(x\) يمثل عددًا صحيحًا محددًا 0، 1، 2، 3،... تختلف المتغيرات في الإحصاء عن المتغيرات في الجبر المتوسط بالطريقتين التاليتين.
    • مجال المتغير العشوائي (RV) ليس بالضرورة مجموعة رقمية؛ يمكن التعبير عن المجال بالكلمات؛ على سبيل المثال، إذا كان لون\(X =\) الشعر فإن المجال هو {أسود، أشقر، رمادي، أخضر، برتقالي}.
    • لا يمكننا معرفة القيمة المحددة x التي\(X\) يستغرقها المتغير العشوائي إلا بعد إجراء التجربة.