4.2: التوزيع ذو الحدين

Last updated
Save as PDF

Page ID: 199171

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

دالة الكثافة الاحتمالية الأكثر قيمة مع العديد من التطبيقات هي التوزيع ذي الحدين. سيحسب هذا التوزيع الاحتمالات لأي عملية ذات حدين. العملية ذات الحدين، والتي غالبًا ما تسمى عملية برنولي تيمنًا بأول شخص يطور خصائصها بالكامل، هي أي حالة لا توجد فيها سوى نتيجتين محتملتين في أي تجربة واحدة، تسمى النجاحات والفشل. تحصل على اسمها من نظام الأرقام الثنائية حيث يتم تقليل جميع الأرقام إلى أرقام 1 أو 0، وهو الأساس لتكنولوجيا الكمبيوتر وتسجيلات موسيقى الأقراص المضغوطة.

صيغة ذات حدين

\[b(x)=\left(\begin{array}{l}{n} \\ {x}\end{array}\right) p^{x} q^{n-x}\nonumber\]

\(b(x)\)أين احتمال\(X\) النجاح في\(n\) التجارب عندما يكون احتمال النجاح في أي تجربة واحدة\(p\). \(q=(1-p)\)وبالطبع هو احتمال الفشل في أي تجربة واحدة.

يمكننا الآن أن نرى لماذا تسمى الصيغة التوافقية أيضًا بالمعامل ذي الحدين لأنها تظهر مرة أخرى هنا مرة أخرى في دالة الاحتمال ذات الحدين. لكي تعمل الصيغة ذات الحدين، يجب أن يكون احتمال النجاح في أي تجربة واحدة هو نفسه من تجربة إلى أخرى، أو بعبارة أخرى، يجب أن تكون نتائج كل تجربة مستقلة. إن قلب العملة هو عملية ذات حدين لأن احتمال الحصول على رأس في قلب واحد لا يعتمد على ما حدث في التقلبات السابقة. (في هذا الوقت، تجدر الإشارة إلى أن استخدام\(p\) معامل التوزيع ذي الحدين يعد انتهاكًا للقاعدة التي تنص على أن المعلمات السكانية محددة بأحرف يونانية. في العديد من الكتب المدرسية\(\theta\) (يتم استخدام theta المنطوقة) بدلاً من p وهذا ما ينبغي أن يكون عليه الأمر.

تمامًا مثل مجموعة البيانات، تحتوي دالة الكثافة الاحتمالية على متوسط وانحراف معياري يصف مجموعة البيانات. بالنسبة للتوزيع ذي الحدين، يتم تقديمها بواسطة الصيغ:

\[\mu=np\nonumber\]

\[\sigma=\sqrt{n p q}\nonumber\]

لاحظ أن p هي المعلمة الوحيدة في هذه المعادلات. وهكذا يُنظر إلى التوزيع ذي الحدين على أنه يأتي من عائلة المعلمة الواحدة للتوزيعات الاحتمالية. باختصار، نحن نعرف كل ما يمكن معرفته عن المعادلة ذات الحدين بمجرد أن نعرف p، وهو احتمال النجاح في أي تجربة واحدة.

في نظرية الاحتمالات، في ظل ظروف معينة، يمكن استخدام توزيع احتمالي واحد لتقريب توزيع آخر. نقول أن أحدهما هو التوزيع المحدود للآخر. إذا كان سيتم سحب عدد صغير من عدد كبير من السكان، حتى لو لم يكن هناك بديل، فلا يزال بإمكاننا استخدام المعادلة ذات الحدين حتى لو اعتقدنا أن هذه ليست عملية ذات حدين. إذا لم يكن هناك بديل فإنه ينتهك قاعدة الاستقلال الخاصة بالثنائية. ومع ذلك، يمكننا استخدام المعادلة ذات الحدين لتقريب احتمال يمثل حقًا توزيعًا هيفرهندسيًا إذا كنا نرسم أقل من 10 بالمائة من السكان، أي أن n أقل من 10 بالمائة من N في صيغة الدالة فوق الهندسية. الأساس المنطقي لهذه الحجة هو أنه عند رسم نسبة صغيرة من السكان، لا نغير احتمالية النجاح من السحب إلى السحب بأي طريقة ذات معنى. تخيل الرسم ليس من مجموعة واحدة مكونة من 52 بطاقة ولكن من 6 مجموعات من البطاقات. إن احتمال رسم الآس على سبيل المثال لا يغير الاحتمالية المشروطة لما يحدث في السحب الثاني بنفس الطريقة التي سيحدث بها إذا كان هناك 4 آسات فقط بدلاً من 24 آسًا الآن للسحب منها. هذه القدرة على استخدام توزيع احتمالي واحد لتقدير الآخرين ستصبح ذات قيمة كبيرة بالنسبة لنا لاحقًا.

هناك ثلاث خصائص للتجربة ذات الحدين.

هناك عدد ثابت من التجارب. فكر في التجارب على أنها تكرار للتجربة. \(n\)تشير الرسالة إلى عدد التجارب.
المتغير العشوائي\(x\)، عدد النجاحات، منفصل.
هناك نتيجتان محتملتان فقط، تسمى «النجاح» و «الفشل»، لكل تجربة. \(p\)تشير الرسالة إلى احتمال النجاح في أي تجربة واحدة،\(q\) وتشير إلى احتمال الفشل في أي تجربة واحدة. \(p + q = 1\).
تعتبر تجارب n مستقلة ويتم تكرارها باستخدام شروط متطابقة. فكر في هذا على أنه رسم مع الاستبدال. نظرًا لأن التجارب n مستقلة، فإن نتيجة إحدى التجارب لا تساعد في التنبؤ بنتيجة تجربة أخرى. هناك طريقة أخرى لقول هذا وهي أنه بالنسبة لكل تجربة فردية\(p\)، يظل احتمال النجاح واحتمال الفشل كما هو.\(q\) على سبيل المثال، يؤدي التخمين العشوائي في سؤال إحصائي صحيح إلى نتيجتين فقط. إذا كان النجاح هو التخمين بشكل صحيح، فإن الفشل هو التخمين بشكل غير صحيح. لنفترض أن جو دائمًا ما يخمن بشكل صحيح في أي سؤال إحصائي صحيح مع احتمال\(p = 0.6\). ثم،\(q = 0.4\). هذا يعني أنه بالنسبة لكل سؤال إحصائي صحيح خاطئ يجيب عليه جو، يظل احتمال نجاحه (\(p = 0.6\)) واحتمالية فشله (\(q = 0.4\)) كما هو.

تتناسب نتائج التجربة ذات الحدين مع التوزيع الاحتمالي ذي الحدين. المتغير العشوائي\(X\) = عدد النجاحات التي تم الحصول عليها في التجارب\(n\) المستقلة.

المتوسط\(\mu\)\(\sigma^2\) والتباين للتوزيع الاحتمالي ذي الحدين هما\(\mu = np\) و\(\sigma^2 = npq\). الانحراف المعياري،\(\sigma\)، هو إذن\ sigma =\(\sqrt{n p q}\).

أي تجربة لها الخصائص الثالثة والرابعة وأين\(n = 1\) تسمى تجربة برنولي (سميت باسم جاكوب بيرنولي الذي درسها على نطاق واسع في أواخر القرن السادس عشر). يتم إجراء تجربة ذات حدين عندما يتم حساب عدد النجاحات في تجربة واحدة أو أكثر من تجارب Bernoulli.

مثال\(\PageIndex{2}\)

لنفترض أنك تلعب لعبة يمكنك الفوز بها أو خسارتها فقط. احتمال فوزك بأي لعبة هو 55٪، واحتمال خسارتك هو 45٪. كل لعبة تلعبها مستقلة. إذا لعبت اللعبة 20 مرة، فاكتب الدالة التي تصف احتمال فوزك بـ 15 مرة من أصل 20 مرة. هنا، إذا قمت\(X\) بتعريفها على أنها عدد الانتصارات،\(X\) فستأخذ القيم 0، 1، 2، 3،...، 20. احتمال النجاح هو\(p = 0.55\). احتمال الفشل هو\(q = 0.45\). عدد التجارب هو\(n = 20\). يمكن ذكر السؤال الاحتمالي رياضيًا على النحو التالي\(P(x = 15)\)

التمارين\(\PageIndex{2}\)

يقوم المدرب بتعليم الدلفين القيام بالحيل. احتمال نجاح الدلفين في تنفيذ الخدعة هو 35٪، واحتمال عدم نجاح الدلفين في أداء الخدعة بنجاح هو 65٪. من بين 20 محاولة، تريد العثور على احتمال نجاح الدلفين 12 مرة. ابحث عن\(P(X=12)\) ملف Pdf ذي الحدين

مثال\(\PageIndex{3}\)

يتم قلب العملة العادلة 15 مرة. كل فليب مستقل. ما احتمال الحصول على أكثر من عشرة رؤوس؟ دعونا\(X\) = عدد الرؤوس في 15 قلبًا للعملة العادلة. \(X\)يأخذ القيم 0، 1، 2، 3،...، 15. بما أن العملة عادلة،\(p = 0.5\) و\(q = 0.5\). عدد التجارب هو\(n = 15\). اذكر سؤال الاحتمال رياضيًا.

إجابة: \(P (x > 10)\)

مثال\(\PageIndex{4}\)

ما يقرب من 70% من طلاب الإحصاء يقومون بواجباتهم المدرسية في الوقت المناسب حتى يتم جمعها وتصنيفها. يقوم كل طالب بالواجبات المنزلية بشكل مستقل. في فصل الإحصاء الذي يضم 50 طالبًا، ما احتمال قيام 40 طالبًا على الأقل بأداء واجباتهم المدرسية في الوقت المحدد؟ يتم اختيار الطلاب بشكل عشوائي.

أ. هذه مشكلة ذات حدين نظرًا لوجود نجاح أو __________ فقط، وهناك عدد ثابت من التجارب، واحتمال النجاح هو 0.70 لكل تجربة.

إجابة: أ. فشل

ب- إذا كنا مهتمين بعدد الطلاب الذين يقومون بواجباتهم المنزلية في الوقت المحدد، فكيف نحدد ذلك\(X\)؟

إجابة: b.\(X\) = عدد طلاب الإحصاء الذين يقومون بواجباتهم المنزلية في الوقت المحدد

ج- ما هي القيم التي\(x\) تتخذها؟

إجابة: ج. 0، 1، 2،...، 50

د- ما هو «الفشل» بالكلمات؟

إجابة

د- يُعرّف الفشل بأنه الطالب الذي لا يكمل واجبه المنزلي في الوقت المحدد.

احتمال النجاح هو\(p = 0.70\). عدد التجارب هو\(n = 50\).

هـ. إذا\(p + q = 1\)، فما هو\(q\)؟

إجابة: ه.\(q = 0.30\)

f. تُترجم عبارة «على الأقل» على أنها نوع عدم المساواة لسؤال الاحتمال\(P(x\) ____ (40).

إجابة: f. أكبر من أو يساوي (\(\geq\))
سؤال الاحتمال هو\(P(x \geq 40)\).

التمارين\(\PageIndex{4}\)

يجتاز خمسة وستون بالمائة من الأشخاص اختبار القيادة الحكومي في المحاولة الأولى. يتم اختيار مجموعة من 50 شخصًا اجتازوا اختبار القيادة بشكل عشوائي. أعط سببين لماذا هذه مشكلة ذات حدين

التمارين\(\PageIndex{4}\)

خلال موسم الدوري الأمريكي لكرة السلة للمحترفين لعام 2013، حقق DeAndre Jordan من لوس أنجلوس كليبرز أعلى معدل إنجاز للأهداف الميدانية في الدوري. سجل DeAndre بنسبة 61.3% من طلقاته. لنفترض أنك اخترت عينة عشوائية من 80 لقطة من DeAndre خلال موسم 2013. Let\(X\) = عدد التسديدات التي سجلت نقاطًا.

ما التوزيع الاحتمالي\(X\)؟
باستخدام الصيغ، قم بحساب المتوسط (i) و (ii) الانحراف المعياري لـ\(X\).
أوجد احتمال أن يكون DeAndre قد سجل هدفًا بـ 60 من هذه التسديدات.
أوجد احتمال تسجيل DeAndre لأكثر من 50 من هذه التسديدات.