4.1: التوزيع الهندسي الفائق

Last updated
Save as PDF

Page ID: 199183

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

إن أبسط دالة للكثافة الاحتمالية هي الهندسة الفائقة. هذا هو أبسط شيء لأنه تم إنشاؤه من خلال الجمع بين معرفتنا بالاحتمالات من مخططات Venn وقواعد الجمع والضرب وصيغة العد الاندماجي.

للعثور على عدد الطرق للحصول على 2 آس من الأربعة الموجودة في المجموعة، قمنا بحسابها:

\[\left(\begin{array}{l}{4} \\ {2}\end{array}\right)=\frac{4 !}{2 !(4-2) !}=6\nonumber\]

وإذا لم نهتم بما لدينا أيضًا للبطاقات الثلاث الأخرى، فسنقوم بحسابها:

\[\left(\begin{array}{c}{48} \\ {3}\end{array}\right)=\frac{48 !}{3 ! 45 !}=17,296\nonumber\]

بوضع هذا معًا، يمكننا حساب احتمالية الحصول على رصاصتين بالضبط في يد بوكر من 5 بطاقات على النحو التالي:

\[\frac{\left(\begin{array}{l}{4} \\ {2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{48} \\ {3}\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}{52} \\ {5}\end{array}\right)}=.0399\nonumber\]

هذا الحل هو في الحقيقة مجرد توزيع الاحتمالي المعروف باسم Hyperegometric. الصيغة المعممة هي:

\[h(x)=\frac{\left(\begin{array}{l}{A} \\ {x}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{N-A} \\ {n-x}\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{l}{N} \\ {n}\end{array}\right)}\nonumber\]

أين\(x\) = الرقم الذي يهمنا أن يأتي من المجموعة التي تحتوي على كائنات A.

\(h(x)\)هو احتمال\(x\) النجاح، في محاولات n، عندما تكون نجاحات A (الآسات في هذه الحالة) في مجموعة تحتوي على عناصر N. يعتبر التوزيع الهندسي الفائق مثالاً على التوزيع الاحتمالي المنفصل لأنه لا توجد إمكانية للنجاح الجزئي، أي أنه لا يمكن أن تكون هناك أيدي بوكر بـ 2 1/2 آس. بطريقة أخرى، يجب أن يكون المتغير العشوائي المنفصل رقمًا كاملًا أو عدديًا فقط. يعمل توزيع الاحتمالات هذا في الحالات التي يتغير فيها احتمال النجاح مع كل سحب. طريقة أخرى لقول هذا هي أن الأحداث ليست مستقلة. عند استخدام مجموعة من البطاقات، نقوم بأخذ عينات بدون استبدال. إذا أعدنا كل بطاقة بعد سحبها، فسيكون التوزيع الفائق غير مناسب لـ Pdf.

لكي تعمل الهندسة الفائقة،

يجب تقسيم السكان إلى مجموعتين فرعيتين مستقلتين فقط (aces و non-aces في مثالنا). المتغير العشوائي\(X\) = عدد العناصر من مجموعة الاهتمام.
يجب أن تحتوي التجربة على احتمالات نجاح متغيرة مع كل تجربة (حقيقة عدم استبدال البطاقات بعد السحب في مثالنا تجعل هذا صحيحًا في هذه الحالة). هناك طريقة أخرى لقول ذلك وهي أنك تقوم بأخذ عينة بدون استبدال وبالتالي فإن كل اختيار ليس مستقلاً.
يجب أن يكون المتغير العشوائي منفصلًا وليس مستمرًا.

مثال\(\PageIndex{1}\)

يحتوي طبق الحلوى على 30 حبة جيلي و 20 قطرة علكة. يتم اختيار عشرة حلوى بشكل عشوائي. ما احتمال أن تكون ٥ من ١٠ قطرات لثة؟ المجموعتان هما حبوب الجيلي وقطرات العلكة. نظرًا لأن السؤال الاحتمالي يسأل عن احتمال التقاط قطرات اللثة، فإن مجموعة الاهتمام (المجموعة الأولى A في الصيغة) هي guddrops. حجم مجموعة الاهتمام (المجموعة الأولى) هو 30. حجم المجموعة الثانية هو 20. حجم العينة هو 10 (حبوب الهلام أو قطرات العلكة). Let\(X\) = عدد قطرات اللثة في العينة المكونة من 10. \(X\)يأخذ القيم\(x = 0, 1, 2, ..., 10\). أ. ما هو بيان الاحتمالات المكتوب رياضيًا؟ ب- ما دالة الكثافة الاحتمالية الفائقة التي كُتبت لحل هذه المشكلة؟ ج- ما هو الجواب على السؤال «ما احتمال سحب 5 قطرات من العلكة في 10 قطرات من الطبق؟»

إجابة: أ.\(P(x=5)\)
ب.\(P(x=5)=\frac{\left(\begin{array}{c}{30} \\ {5}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{20} \\ {5}\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}{50} \\ {10}\end{array}\right)}\)
ج.\(P(x=5)=0.215\)

التمارين\(\PageIndex{1}\)

تحتوي الحقيبة على مربعات الحروف. أربعة وأربعون بلاطًا عبارة عن حروف متحركة و 56 حرفًا ساكنًا. يتم اختيار سبعة مربعات بشكل عشوائي. تريد معرفة احتمال أن تكون أربعة من المربعات السبعة عبارة عن أحرف متحركة. ما مجموعة الاهتمام، وحجم مجموعة الاهتمام، وحجم العينة؟