Skip to main content
Global

4.0: مقدمة للمتغيرات العشوائية المنفصلة

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    199131

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    تُظهر هذه الصورة البرق الفرعي القادم من سحابة داكنة ويصل إلى الأرض.
    الشكل\(\PageIndex{1}\) يمكنك استخدام الاحتمالات والمتغيرات العشوائية المنفصلة لحساب احتمالية ضرب البرق الأرض خمس مرات خلال عاصفة رعدية مدتها نصف ساعة. (الائتمان: ليزيك ليزتشينسكي)

    يأخذ الطالب اختبارًا صحيحًا وكاذبًا من عشرة أسئلة. نظرًا لأن جدول الطلاب كان مزدحمًا، لم يتمكن من الدراسة والتخمين بشكل عشوائي في كل إجابة. ما احتمال نجاح الطالب في الاختبار بنسبة 70% على الأقل؟

    قد تكون الشركات الصغيرة مهتمة بعدد المكالمات الهاتفية البعيدة التي يجريها موظفوها خلال وقت الذروة من اليوم. لنفترض أن المتوسط التاريخي هو 20 مكالمة. ما احتمال قيام الموظفين بإجراء أكثر من 20 مكالمة هاتفية بعيدة المدى خلال وقت الذروة؟

    يوضح هذان المثالان نوعين مختلفين من مشاكل الاحتمالات التي تتضمن متغيرات عشوائية منفصلة. تذكر أن البيانات المنفصلة هي البيانات التي يمكنك حسابها، أي أن المتغير العشوائي يمكن أن يأخذ قيم الأرقام الكاملة فقط. يصف المتغير العشوائي نتائج التجربة الإحصائية بالكلمات. يمكن أن تختلف قيم المتغير العشوائي مع كل تكرار للتجربة، وغالبًا ما تسمى التجربة.

    ترميز متغير عشوائي

    يشير الحرف العلوي X إلى متغير عشوائي. تشير الأحرف الصغيرة مثل x أو y إلى قيمة المتغير العشوائي. إذا كان X متغيرًا عشوائيًا، فسيتم كتابة X بالكلمات، ويتم إعطاء x كرقم.

    على سبيل المثال، دع X = عدد الرؤوس التي تحصل عليها عند رمي ثلاث عملات معدنية عادلة. مساحة العينة لرمي ثلاث عملات معدنية عادلة هي TTT؛ THH؛ HTH؛ HTT؛ HTT؛ TTH؛ HHH. ثم، x = 0، 1، 2، 3. X بالكلمات و x هو رقم. لاحظ أنه بالنسبة لهذا المثال، تعتبر قيم x نتائج قابلة للعد. نظرًا لأنه يمكنك حساب القيم المحتملة كأرقام كاملة يمكن لـ X أن تأخذها والنتائج عشوائية (القيم x 0، 1، 2، 3)، فإن X عبارة عن متغير عشوائي منفصل.

    دوال الكثافة الاحتمالية (PDF) لمتغير عشوائي

    تتميز دالة الكثافة الاحتمالية أو دالة توزيع الاحتمالات بخاصيتين:

    1. دالة الكثافة الاحتمالية هي صيغة رياضية تحسب الاحتمالات لأنواع معينة من الأحداث، وهو ما نسميه التجارب. هناك نوع من السحر لدالة الكثافة الاحتمالية (Pdf) جزئيًا لأن الصيغة نفسها غالبًا ما تصف أنواعًا مختلفة جدًا من الأحداث. على سبيل المثال، سيحسب ملف PDF ذو الحدين احتمالات قلب العملات، وأسئلة نعم/لا في الاختبار، وآراء الناخبين في استطلاع رأي صعودي أو هبوطي، بل وأي حدث ثنائي. ستوفر وظائف الكثافة الاحتمالية الأخرى احتمالات الوقت حتى يفشل الجزء، والوقت الذي سيصل فيه العميل إلى كشك التوصيل، وعدد المكالمات الهاتفية التي تصل إلى لوحة المفاتيح المركزية، ومعدل نمو البكتيريا، وما إلى ذلك. هناك مجموعات كاملة من وظائف الكثافة الاحتمالية التي تُستخدم في مجموعة متنوعة من التطبيقات، بما في ذلك الطب والأعمال والتمويل والفيزياء والهندسة وغيرها.

      لتلبية احتياجاتنا هنا، سنركز فقط على عدد قليل من وظائف الكثافة الاحتمالية أثناء تطوير أدوات الإحصاء الاستنتاجي.

      معادلات العد والصيغة التوافقية

      كمعادلة هذا هو:

      \[P(A)=\frac{\text { number of ways to get } \mathrm{A}}{\text { Total number of possible outcomes }}\]

      عندما نظرنا إلى مساحة العينة لقلب 3 عملات، يمكننا بسهولة كتابة مساحة العينة الكاملة وبالتالي يمكننا بسهولة حساب عدد الأحداث التي حققت النتيجة المرجوة، على سبيل المثال x = 1، حيث X هو المتغير العشوائي المحدد بعدد الرؤوس.

      نظرًا لوجود أعداد أكبر من العناصر في مساحة العينة، مثل مجموعة كاملة من 52 بطاقة، تصبح القدرة على كتابة مساحة العينة مستحيلة.

      نرى أن الاحتمالات ليست أكثر من حساب الأحداث في كل مجموعة نهتم بها والقسمة على عدد العناصر في الكون، أو مساحة العينة. هذا أمر سهل بما يكفي إذا كنا نحسب طلاب السنة الثانية في فصل Stat، ولكن في الحالات الأكثر تعقيدًا، قد يستغرق سرد جميع النتائج المحتملة وقتًا طويلاً. هناك، على سبيل المثال، 36 نتيجة محتملة لرمي نرد سداسي الجوانب فقط حيث يكون المتغير العشوائي هو مجموع عدد النقاط على الجوانب المواجهة لأعلى. إذا كانت هناك أربعة أحجار نرد، فسيصبح العدد الإجمالي للنتائج المحتملة 1,296. هناك أكثر من 2.5 مليون يد بوكر ممكنة مكونة من 5 بطاقات في مجموعة قياسية من 52 بطاقة. من الواضح أن تتبع كل هذه الاحتمالات وحسابها للحصول على احتمال واحد سيكون أمرًا شاقًا في أحسن الأحوال.

      البديل لإدراج مساحة العينة الكاملة وحساب عدد العناصر التي نهتم بها، هو تخطي خطوة إدراج مساحة العينة، وببساطة معرفة عدد العناصر الموجودة فيها والقيام بالقسمة المناسبة. إذا كنا نبحث عن احتمال، فإننا لا نحتاج حقًا إلى رؤية كل عنصر في مساحة العينة، نحتاج فقط إلى معرفة عدد العناصر الموجودة. تم اختراع صيغ العد للقيام بذلك. يخبروننا بعدد المجموعات الفرعية غير المرتبة بحجم معين والتي يمكن إنشاؤها من مجموعة من العناصر الفريدة. يعني عدم الترتيب أنه عند التعامل مع البطاقات، على سبيل المثال، لا يهم ما إذا كنت قد حصلت على {ace أو ace أو ace أو ace أو ace أو king} أو {كينج أو إيس أو إيس أو إيس} أو {إيس أو كينغ أو إيس أو إيس أو إيس أو إيس} وما إلى ذلك. كل مجموعة من هذه المجموعات الفرعية هي نفسها لأن لكل منها 4 آسات وملك واحد.

      صيغة توفيقية

      \[\left(\begin{array}{l}{n} \\ {x}\end{array}\right)=_{n} C_{x}=\frac{n !}{x !(n-x) !}\nonumber\]

      هذه هي الصيغة التي توضح عدد المجموعات الفرعية الفريدة غير المرتبة من الحجم x التي يمكن إنشاؤها من n عناصر فريدة. تتم قراءة الصيغة «n x الاندماجي». في بعض الأحيان يتم قراءتها كـ «n choose x». علامة التعجب «!» يسمى بالمعامل ويخبرنا بأخذ جميع الأرقام من 1 إلى الرقم قبل! وضربهم معًا حتى 4! هو 1 · 2 · 3 · 4 = 24. حسب التعريف 0! = 1. تسمى الصيغة الصيغة التوافقية. ويسمى أيضًا المعامل ذي الحدين، لأسباب ستتضح قريبًا. في حين أن هذا المفهوم الرياضي كان مفهومًا لفترة طويلة قبل عام 1653، إلا أن بليز باسكال يُنسب إليه الفضل الكبير في إثباته التي نشرها في ذلك العام. علاوة على ذلك، طور طريقة عامة لحساب قيم التوافقات المعروفة لنا باسم مثلث باسكال. كان باسكال أحد العباقرة في عصر التقدم الفكري الاستثنائي الذي تضمن أعمال غاليليو وريني ديكارت وإسحاق نيوتن وويليام شكسبير وصقل المنهج العلمي، وهو الأساس المنطقي لموضوع هذا النص.

      دعونا نجد بالطريقة الصعبة العدد الإجمالي لمجموعات الأوراق الأربعة في مجموعة من البطاقات إذا كنا سنأخذ منها اثنتين في كل مرة. ستكون مساحة العينة:

      S= {سبيد، هارت)، (سبيد، دايموند)، (سبيد، كلوب)، (دايموند، كلوب)، (هارت، دايموند)، (هارت، كلوب)}

      هناك 6 مجموعات؛ رسميًا، ست مجموعات فرعية فريدة غير مرتبة من الحجم 2 يمكن إنشاؤها من 4 عناصر فريدة. لاستخدام الصيغة الاندماجية، سنحل الصيغة على النحو التالي:

      \[\left(\begin{array}{l}{4} \\ {2}\end{array}\right)=\frac{4 !}{(4-2) ! 2 !}=\frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1}=6\nonumber\]

      إذا أردنا معرفة عدد أيدي البوكر الفريدة المكونة من 5 بطاقات والتي يمكن إنشاؤها من مجموعة بطاقات 52، فإننا ببساطة نحسب:

      \[\left(\begin{array}{c}{52} \\ {5}\end{array}\right)\nonumber\]

      حيث 52 هو العدد الإجمالي للعناصر الفريدة التي نرسم منها و 5 هي مجموعة الحجم التي نضعها فيها.

      باستخدام الصيغة الاندماجية، يمكننا حساب عدد العناصر في مساحة العينة دون الحاجة إلى كتابة كل منها، وهو عمل حقيقي مدى الحياة لعدد 5 بطاقات فقط من مجموعة مكونة من 52 بطاقة. يمكننا الآن تطبيق هذه الأداة على دالة الكثافة الاحتمالية المهمة جدًا، وهي التوزيع فوق الهندسي.

      تذكر أن دالة الكثافة الاحتمالية تحسب الاحتمالات بالنسبة لنا. نحن ببساطة نضع الأرقام المناسبة في الصيغة ونحصل على احتمال أحداث معينة. ومع ذلك، لكي تعمل هذه الصيغ، يجب تطبيقها فقط على الحالات التي تم تصميمها من أجلها.