Skip to main content
Global

4.3: توزيع هندسي

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    199132

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    تعتمد دالة كثافة الاحتمالات الهندسية على ما تعلمناه من التوزيع ذي الحدين. في هذه الحالة، تستمر التجربة حتى يحدث نجاح أو فشل بدلاً من عدد محدد من التجارب. هناك ثلاث خصائص رئيسية للتجربة الهندسية.

    1. هناك تجربة واحدة أو أكثر من تجارب Bernoulli مع جميع حالات الفشل باستثناء التجربة الأخيرة، وهي تجربة ناجحة. بمعنى آخر، تستمر في تكرار ما تفعله حتى النجاح الأول. ثم تتوقف. على سبيل المثال، تقوم برمي السهام على نقطة الهدف حتى تصل إلى نقطة الهدف. المرة الأولى التي تضرب فيها الهدف هي «نجاح» لذلك تتوقف عن رمي السهام. قد يستغرق الأمر ست محاولات حتى تصل إلى الهدف. يمكنك التفكير في التجارب على أنها فشل أو فشل أو فشل أو فشل أو نجاح أو توقف.
    2. من الناحية النظرية، يمكن أن يستمر عدد التجارب إلى الأبد.
    3. إن\(p\) احتمال النجاح واحتمال الفشل هو نفسه بالنسبة لكل تجربة.\(q\) \(p + q = 1\)و\(q = 1 − p\). على سبيل المثال، احتمال ضرب الرقم 3 عند رمي رمية واحدة عادلة هو\(\frac{1}{6}\). هذا صحيح بغض النظر عن عدد المرات التي تقوم فيها بلف النرد. لنفترض أنك تريد معرفة احتمال الحصول على الثلاثة الأولى في القائمة الخامسة. في اللفات من الأولى إلى الرابعة، لن تحصل على وجه بثلاثة. احتمال كل من القوائم هو q =\(\frac{5}{6}\)، احتمال الفشل. احتمال الحصول على ثلاثة في القائمة الخامسة هو\(\left(\frac{5}{6}\right)\left(\frac{5}{6}\right)\left(\frac{5}{6}\right)\left(\frac{5}{6}\right)\left(\frac{1}{6}\right) = 0.0804\)
    4. \(X\)= عدد التجارب المستقلة حتى النجاح الأول.

    مثال\(\PageIndex{5}\)

    تلعب لعبة الحظ التي يمكنك الفوز بها أو خسارتها (لا توجد احتمالات أخرى) حتى تخسر. احتمالية الخسارة الخاصة بك هي\(p = 0.57\). ما احتمال أن تستغرق خمس مباريات حتى تخسر؟ Let\(X\) = عدد الألعاب التي تلعبها حتى تخسرها (بما في ذلك اللعبة الخاسرة). ثم يأخذ X القيم 1، 2، 3،... (يمكن أن تستمر إلى أجل غير مسمى). سؤال الاحتمال هو\(P (x = 5)\).

    التمارين الرياضية\(\PageIndex{5}\)

    تقوم برمي السهام على اللوح حتى تصل إلى المنطقة المركزية. احتمالية اصطدامك بمنطقة المركز هي\(p = 0.17\). تريد العثور على احتمال أن يستغرق الأمر ثماني رميات حتى تصل إلى المركز. ما القيم التي\(X\) تتخذها؟

    مثال\(\PageIndex{6}\)

    تشعر مهندسة السلامة أن 35٪ من جميع الحوادث الصناعية في مصنعها ناتجة عن فشل الموظفين في اتباع التعليمات. قررت النظر في تقارير الحوادث (يتم اختيارها عشوائيًا واستبدالها في الكومة بعد القراءة) حتى تجد تقريرًا يُظهر حادثًا ناتجًا عن فشل الموظفين في اتباع التعليمات. في المتوسط، كم عدد التقارير التي تتوقع مهندسة السلامة النظر فيها حتى تجد تقريرًا يوضح حادثًا ناتجًا عن فشل الموظف في اتباع التعليمات؟ ما احتمال أن تقوم مهندسة السلامة بفحص ثلاثة تقارير على الأقل حتى تجد تقريرًا يوضح حادثًا ناتجًا عن فشل الموظف في اتباع التعليمات؟

    Let\(X\) = عدد الحوادث التي يجب على مهندسة السلامة فحصها حتى تجد تقريرًا يوضح حادثًا ناتجًا عن فشل الموظف في اتباع التعليمات. يأخذ X القيم 1، 2، 3،... يطلب منك السؤال الأول العثور على القيمة المتوقعة أو المتوسط. السؤال الثاني يطلب منك أن تجد\(P (x \geq 3)\). (يُترجم «على الأقل» إلى رمز «أكبر من أو يساوي»).

    التمارين الرياضية\(\PageIndex{6}\)

    يشعر المعلم أن 15% من الطلاب يحصلون على درجة أقل من C في الاختبار النهائي. تقرر النظر إلى الاختبارات النهائية (يتم اختيارها عشوائيًا واستبدالها في الكومة بعد القراءة) حتى تجد اختبارًا يُظهر درجة أقل من C. نريد أن نعرف احتمال أن يضطر المعلم إلى فحص عشرة اختبارات على الأقل حتى تجد واحدًا بدرجة أقل من C. ما هو سؤال الاحتمال بدأت رياضيا؟

    مثال\(\PageIndex{7}\)

    لنفترض أنك تبحث عن طالب في كليتك يعيش على بعد خمسة أميال منك. أنت تعلم أن 55% من 25,000 طالب يعيشون على بعد خمسة أميال منك. يمكنك الاتصال بشكل عشوائي بطلاب من الكلية حتى يقول أحدهم إنه يعيش على بعد خمسة أميال منك. ما هو احتمال أن تحتاج إلى الاتصال بأربعة أشخاص؟

    هذه مشكلة هندسية لأنك قد تواجه عددًا من الإخفاقات قبل أن تحقق النجاح الوحيد الذي تريده. أيضًا، يظل احتمال النجاح كما هو تقريبًا في كل مرة تسأل فيها طالبًا عما إذا كان يعيش على بعد خمسة أميال منك. لا يوجد عدد محدد من التجارب (عدد المرات التي تسأل فيها طالبًا).

    أ. let\(X\) = رقم ____________ الذي يجب أن تسأله ____________ يقول المرء نعم.

    إجابة

    أ. let\(X\) = عدد الطلاب الذين يجب أن تسألهم حتى يقول أحدهم نعم.

    ب- ما هي القيم التي\(X\) تتخذها؟

    إجابة

    ب. 1، 2، 3،...، (إجمالي عدد الطلاب)

    ج- ما هي\(p\) الأرض\(q\)؟

    إجابة

    ج.\(p = 0.55; q = 0.45\)

    د. سؤال الاحتمال هو\(P\) (_______).

    إجابة

    د.\(P (x = 4)\)

    الترميز الهندسي: G = دالة توزيع الاحتمالات الهندسية

    \(X \sim G (p)\)

    اقرأ هذا كـ "\(X\)متغير عشوائي بتوزيع هندسي». المعلمة هي\(p\)؛\(p\) = احتمال نجاح كل تجربة.

    يخبرنا ملف PDF الهندسي باحتمالية أن حدوث النجاح لأول مرة يتطلب\(x\) عددًا من التجارب المستقلة، ولكل منها احتمال نجاح p. إذا كان احتمال النجاح في كل تجربة هو p، فإن احتمال أن تكون التجربة\(x\) العاشرة (خارج\(x\) التجارب) هي النجاح الأول هو:

    \[\mathrm{P}(X=x)=(1-p)^{x-1} p\nonumber\]

    من أجل\(x = 1, 2, 3\)،...
    القيمة المتوقعة لـ\(X\)، متوسط هذا التوزيع، هي\(1/p\). يخبرنا هذا عن عدد التجارب التي يجب أن نتوقعها حتى نحقق النجاح الأول بما في ذلك عدد التجارب التي تؤدي إلى النجاح. يتم استخدام الشكل أعلاه للتوزيع الهندسي لنمذجة عدد التجارب حتى النجاح الأول. يتضمن عدد التجارب التجربة الناجحة:\(x\) = جميع التجارب بما في ذلك التجربة الناجحة. يمكن رؤية ذلك في شكل الصيغة. إذا كان\(X\) = عدد التجارب بما في ذلك النجاح، فيجب علينا ضرب احتمال الفشل\((1-p)\)، مضروبًا في عدد حالات الفشل، أي\(X-1\).

    على النقيض من ذلك، يتم استخدام الشكل التالي للتوزيع الهندسي لنمذجة عدد حالات الفشل حتى النجاح الأول:

    \[\mathrm{P}(X=x)=(1-p)^{x} p\nonumber\]

    من أجل\(x = 0, 1, 2, 3\)،...
    في هذه الحالة، لا يتم احتساب التجربة الناجحة كتجربة في الصيغة:\(x\) = عدد حالات الفشل. القيمة المتوقعة، المتوسطة، لهذا التوزيع هي\(\mu=\frac{(1-p)}{p}\). يخبرنا هذا عن عدد حالات الفشل التي يمكن توقعها قبل أن نحقق النجاح. في كلتا الحالتين، تسلسل الاحتمالات هو تسلسل هندسي.

    مثال\(\PageIndex{8}\)

    افترض أن احتمال وجود مكون كمبيوتر معيب هو 0.02. يتم اختيار المكونات بشكل عشوائي. أوجد احتمال أن يكون العيب الأول ناتجًا عن المكون السابع الذي تم اختباره. كم عدد المكونات التي تتوقع اختبارها حتى يتم اكتشاف وجود عيب فيها؟

    Let\(X\) = عدد مكونات الكمبيوتر التي تم اختبارها حتى يتم العثور على العيب الأول.

    يأخذ X القيم\(1, 2, 3\)،... أين\(p = 0.02. X \sim G(0.02)\)

    ابحث\(P (x = 7)\). الإجابة:\(P (x = 7) = (1 - 0.02)7-1 \times 0.02 = 0.0177\).

    احتمال أن يكون المكون السابع هو العيب الأول هو 0.0177.

    الرسم البياني\(X \sim G(0.02)\) هو:

    يوضِّح هذا الرسم البياني التوزيع الاحتمالي الهندسي. وتتكون من قضبان تصل ذروتها إلى اليسار وتنحدر إلى الأسفل مع كل شريط متتالي إلى اليمين. تحسب القيم الموجودة على المحور x عدد مكونات الكمبيوتر التي تم اختبارها حتى يتم العثور على العيب. يتم تحجيم المحور y من 0 إلى 0.02 بزيادات قدرها 0.005.
    الشكل\(\PageIndex{2}\)

    يحتوي\(y\) المحور -على احتمال\(x\)، أين\(X\) = عدد مكونات الكمبيوتر التي تم اختبارها. لاحظ أن الاحتمالات تنخفض بزيادة شائعة. هذه الزيادة هي نفس النسبة بين كل رقم وتسمى بالتقدم الهندسي وبالتالي اسم دالة الكثافة الاحتمالية هذه.

    عدد المكونات التي تتوقع اختبارها حتى تجد المكون المعيب الأول هو المتوسط،\(\mu = 50\).

    يتم تعريف صيغة المتوسط للمتغير العشوائي بعدد حالات الفشل حتى النجاح الأول\(\mu=\frac{1}{p}=\frac{1}{0.02}=50\)

    انظر المثال\(\PageIndex{9}\) للحصول على مثال حيث يتم تعريف المتغير العشوائي الهندسي على أنه عدد التجارب حتى النجاح الأول. ستكون القيمة المتوقعة لهذه الصيغة الهندسية مختلفة عن هذا الإصدار من التوزيع.

    صيغة التباين هي\(\sigma^2 =\left(\frac{1}{p}\right)\left(\frac{1}{p}-1\right)=\left(\frac{1}{0.02}\right)\left(\frac{1}{0.02}-1\right)= 2,450\)

    الانحراف المعياري هو\(\sigma = \sqrt{\left(\frac{1}{p}\right)\left(\frac{1}{p}-1\right)}=\sqrt{\left(\frac{1}{0.02}\right)\left(\frac{1}{0.02}-1\right)} = 49.5\)

    يبلغ خطر الإصابة بسرطان البنكرياس مدى الحياة حوالي واحد من كل 78 (1.28٪). Let X = عدد الأشخاص الذين تسألهم قبل أن يقول أحدهم إنه مصاب بسرطان البنكرياس. يتضمن المتغير العشوائي X في هذه الحالة فقط عدد التجارب التي فشلت ولا يحسب التجربة التي نجحت في العثور على شخص مصاب بالمرض. الصيغة المناسبة لهذا المتغير العشوائي هي الصيغة الثانية المعروضة أعلاه. ثم X هو متغير عشوائي منفصل مع توزيع هندسي: X ~ G\(\left(\frac{1}{78}\right)\) أو X ~ G (0.0128).

    1. ما احتمال أن تسأل 9 أشخاص قبل أن يقول أحدهم إنه مصاب بسرطان البنكرياس؟ هذا هو السؤال، ما هو احتمال أن تسأل 9 أشخاص دون جدوى وأن يكون الشخص العاشر ناجحًا؟
    2. ما احتمال أن تسأل 20 شخصًا؟
    3. ابحث عن المتوسط (i) و (ii) الانحراف المعياري لـ X.
    إجابة

    أ.\(P(x=9)=(1-0.0128)^{9} \cdot 0.0128=0.0114\)

    ب.\(P(x=20)=(1-0.0128)^{19} \cdot 0.0128=0.01\)

    1. يعني =\(\mu =\frac{(1-p)}{p}=\frac{(1-0.0128)}{0.0128}=77.12\)
    2. الانحراف المعياري =\(\sigma =\sqrt{\frac{1-p}{p^{2}}}=\sqrt{\frac{1-0.0128}{0.0128^{2}}} \approx 77.62\)

    التمارين الرياضية\(\PageIndex{9}\)

    ويقيس معدل الإلمام بالقراءة والكتابة في الدولة نسبة الأشخاص الذين تبلغ أعمارهم 15 سنة فأكثر والذين يمكنهم القراءة والكتابة. يبلغ معدل معرفة القراءة والكتابة للنساء في مستعمرات الاستقلال المتحدة 12٪. دعونا\(X\) = عدد النساء اللواتي تسألهن حتى تقول إحداهن إنها متعلمة.

    1. ما التوزيع الاحتمالي لـ\(X\)؟
    2. ما احتمال أن تسأل خمس نساء قبل أن تقول إحداهن إنها متعلمة؟
    3. ما احتمال أن تسأل عشر نساء؟

    مثال\(\PageIndex{10}\)

    يبلغ متوسط ضربات لاعب البيسبول 0.320. هذا هو الاحتمال العام بأنه يحصل على ضربة في كل مرة يمارس فيها المضرب.

    ما احتمال حصوله على الضربة الأولى في الرحلة الثالثة للمضرب؟

    إجابة

    \(P(x=3)=(1-0.32)^{3-1} \times .32=0.1480\)

    في هذه الحالة، يكون التسلسل هو الفشل والفشل والنجاح.

    كم عدد رحلات المضرب التي تتوقع أن يحتاجها الضارب قبل الحصول على الضربة؟

    إجابة

    \(\mu=\frac{1}{p}=\frac{1}{0.320}=3.125 \approx 3\)

    هذه ببساطة القيمة المتوقعة للنجاحات وبالتالي متوسط التوزيع.

    مثال\(\PageIndex{11}\)

    هناك احتمال بنسبة 80٪ أن يكون لدى الكلب الدلماسي 13 بقعة سوداء. تذهب إلى عرض الكلاب وتحسب المواقع على الدلماسيين. ما احتمال مراجعة البقع على 3 كلاب قبل أن تجد واحدة بها 13 بقعة سوداء؟

    إجابة

    \(P(x=3)=(1-0.80)^{3} \times 0.80=0.0064\)

    الحواشي

    1» انتشار فيروس نقص المناعة البشرية، الإجمالي (٪ من السكان الذين تتراوح أعمارهم بين 15-49)»، البنك الدولي، 2013. متاح على الإنترنت على http://data.worldbank.org/indicator/...last&sort=desc (تم الوصول إليه في 15 مايو 2013).