Skip to main content
Global

3.4: جداول الطوارئ وأشجار الاحتمالات

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    198927

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    جداول الطوارئ

    يوفر جدول الطوارئ طريقة لتصوير البيانات التي يمكن أن تسهل حساب الاحتمالات. يساعد الجدول في تحديد الاحتمالات الشرطية بسهولة تامة. يعرض الجدول قيم العينة فيما يتعلق بمتغيرين مختلفين قد يعتمدان أو يتوقفان على بعضهما البعض. في وقت لاحق، سنستخدم جداول الطوارئ مرة أخرى، ولكن بطريقة أخرى.

    مثال\(\PageIndex{20}\)

    لنفترض أن دراسة مخالفات السرعة والسائقين الذين يستخدمون الهواتف المحمولة أنتجوا البيانات الخيالية التالية:

    \ (\ فهرس الصفحات {2}\) «>
    مخالفة السرعة في العام الماضي لا يوجد انتهاك للسرعة في العام الماضي الإجمالي
    يستخدم الهاتف الخلوي أثناء القيادة 25 280 305
    لا تستخدم الهاتف الخلوي أثناء القيادة 45 405 450
    الإجمالي 70 685 755
    طاولة\(\PageIndex{2}\)

    إجمالي عدد الأشخاص في العينة هو 755. إجماليات الصفوف هي 305 و 450. مجاميع الأعمدة هي 70 و 685. لاحظ أن 305 + 450 = 755 و 70 + 685 = 755.

    احسب الاحتمالات التالية باستخدام الجدول.

    أ. ابحث عن P (برنامج التشغيل هو مستخدم هاتف محمول).

    إجابة

    الحل 3.20

    أ.\(\frac{\text { number of cell phone users }}{\text { total number in study }}=\frac{305}{755}\)

    ب- Find P (لم يتعرض السائق لأي انتهاك في العام الماضي).

    إجابة

    الحل 3.20

    ب.\(\frac{\text { number that had no violation }}{\text { total number in study }}=\frac{685}{755}\)

    ج- Find P (لم يتعرض السائق لأي انتهاك في العام الماضي\(\cap\) كان مستخدمًا للهاتف الخلوي).

    إجابة

    الحل 3.20

    ج.\(\frac{280}{755}\)

    د- Find P (برنامج التشغيل هو مستخدم للهاتف الخلوي ولم يتعرض\(\cup\) برنامج التشغيل لأي انتهاك في العام الماضي).

    إجابة

    الحل 3.20

    د.\(\left(\frac{305}{755}+\frac{685}{755}\right)-\frac{280}{755}=\frac{710}{755}\)

    هـ- Find P (برنامج التشغيل هو مستخدم هاتف محمول تعرض\(|\) السائق لانتهاك في العام الماضي).

    إجابة

    الحل 3.20

    هـ.\(\frac{25}{70}\) (يتم تقليل مساحة العينة إلى عدد السائقين الذين تعرضوا للمخالفة.)

    f. Find P (لم يتعرض السائق لأي انتهاك في العام الماضي لم يكن\(|\) السائق مستخدمًا للهاتف الخلوي)

    إجابة

    الحل 3.20

    f.\(\frac{405}{450}\) (يتم تقليل مساحة العينة إلى عدد السائقين الذين لم يكونوا من مستخدمي الهواتف المحمولة.)

    التمارين الرياضية\(\PageIndex{20}\)

    \(\PageIndex{3}\)يوضح الجدول عدد الرياضيين الذين يمارسون تمارين الإطالة قبل التمرين وعدد الإصابات خلال العام الماضي.

    \ (\ فهرس الصفحات {3}\) «>
    الإصابة في العام الماضي لا توجد إصابات في العام الماضي الإجمالي
    تمتد 55 295 350
    لا تتمدد 231 219 450
    الإجمالي 286 514 800

    الجدول 3-3

    1. ما هو P (تمارين الإطالة الرياضية قبل التمرين)؟
    2. ما هو P (تمارين الإطالة الرياضية قبل التمرين | | عدم وجود إصابة في العام الماضي)؟

    مثال\(\PageIndex{21}\)

    \(\PageIndex{4}\)يوضِّح الجدول عيِّنة عشوائية من 100 متنزّه ومناطق التنزه التي يفضلونها.

    \ (\ pageIndex {4}\) تفضيلات منطقة التنزه «>
    الجنس الخط الساحلي بالقرب من البحيرات والجداول على قمم الجبال الإجمالي
    أنثى 18 16 ___ 45
    ذكر ___ ___ 14 55
    الإجمالي ___ 41 ___ ___

    الجدول 3.4 تفضيلات منطقة المشي

    أ. أكمل الجدول.

    إجابة

    الحل 3.21

    أ.

    \ (\ pageIndex {5}\) تفضيلات منطقة التنزه «>
    الجنس الخط الساحلي بالقرب من البحيرات والجداول على قمم الجبال الإجمالي
    أنثى 18 16 11 45
    ذكر 16 25 14 55
    الإجمالي 34 41 25 100
    تفضيلات منطقة\(\PageIndex{5}\) المشي على الطاولة

    (ب) هل الأحداث «النسائية» و «تفضيل الخط الساحلي» أحداثاً مستقلة؟

    دع F = أن تكون أنثى ودع C = تفضل الخط الساحلي.

    1. ابحث\(P(F\cap C)\).
    2. ابحث عن (ف ف) (ف) (ج)

    هل هذان الرقمان متماثلان؟ إذا كانت كذلك، فإن F و C مستقلان. إذا لم تكن كذلك، فإن F و C ليسا مستقلين.

    إجابة

    الحل 3.21

    ب.

    1. \(P(F\cap C)=\frac{18}{100}\)= 0.18
    2. P (F) (P) (C)\(\left(\frac{45}{100}\right)\left(\frac{34}{100}\right)\) = (0.45) (0.34) = 0.153

    \(P(F\cap C)\)P (F) P (C)، وبالتالي فإن الأحداث F و C ليست مستقلة.

    ج- أوجد احتمال أن يكون الشخص ذكرًا بالنظر إلى أنه يفضل التنزه بالقرب من البحيرات والجداول. دع M = أن يكون ذكرًا، ودع L = يفضل التنزه بالقرب من البحيرات والجداول.

    1. ما الكلمة التي تخبرك أن هذا شرطي؟
    2. املأ الفراغات واحسب الاحتمال: P (___||___) = ___.
    3. هل مساحة العينة لهذه المشكلة هي جميع المتنزهين المائة؟ إذا لم يكن الأمر كذلك، فما هو؟
    إجابة

    الحل 3.21

    ج.

    1. تخبرك كلمة «معطى» أن هذا أمر شرطي.

    2.P (م | | لتر) =\(\frac{25}{41}\)

    3. لا، مساحة العينة لهذه المشكلة هي 41 من المتنزهين الذين يفضلون البحيرات والجداول.

    د- أوجد احتمال أن يكون الشخص أنثى أو يفضل التنزه على قمم الجبال. دع F = أنثى، ودع P = تفضل قمم الجبال.

    1. ابحث عن (P).
    2. ابحث عن (P).
    3. ابحث\(P(F\cap P)\).
    4. ابحث\(P(F\cup P)\).
    إجابة

    الحل 3.21

    د.

    1. (ف) =\(\frac{45}{100}\)
    2. (ف) =\(\frac{25}{100}\)
    3. \(P(F\cap P)\)=\(\frac{11}{100}\)
    4. \(P(F\cup P)\)=\(\frac{45}{100}+\frac{25}{100}-\frac{11}{100}=\frac{59}{100}\)

    التمارين الرياضية\(\PageIndex{21}\)

    \(\PageIndex{6}\)يوضِّح الجدول عينة عشوائية من 200 من راكبي الدراجات والطرق التي يفضلونها. دع M = الذكور و H = مسار التلال.

    \ (\ فهرس الصفحات {6}\) «>
    الجنس مسار البحيرة مسار التلال مسار مشجر الإجمالي
    أنثى 45 38 27 110
    ذكر 26 52 12 90
    الإجمالي 71 90 39 200
    طاولة\(\PageIndex{6}\)
    1. من بين الذكور، ما احتمال تفضيل راكب الدراجة لمسار التلال؟
    2. هل أحداث «كون المرء ذكرًا» و «تفضيل المسار الجبلي» أحداثًا مستقلة؟

    مثال\(\PageIndex{22}\)

    يعيش Muddy Mouse في قفص بثلاثة أبواب. إذا خرج مودي من الباب الأول، فإن احتمال أن يتم القبض عليه من قبل أليسا القطة هو 1515 واحتمال عدم القبض عليه هو 4545. إذا خرج من الباب الثاني، فإن احتمال القبض عليه من قبل أليسا هو 1414 واحتمال عدم القبض عليه هو 3434. احتمال إصابة أليسا بمودي وهو يخرج من الباب الثالث هو 1212 واحتمال عدم إصابتها بمودي هو 1212. من المحتمل أيضًا أن تختار Muddy أيًا من الأبواب الثلاثة، لذا فإن احتمال اختيار كل باب هو 1313.

    \ (\ pageIndex {7}\) اختيار الباب «>
    تم القبض عليها أم لا باب واحد الباب الثاني باب ثلاثة الإجمالي
    تم القبض \(\frac{1}{15}\) \(\frac{1}{12}\) \(\frac{1}{6}\) ____
    لم يتم القبض عليه \(\frac{4}{15}\) \(\frac{3}{12}\) \(\frac{1}{6}\) ____
    الإجمالي ____ ____ ____ 1
    اختيار\(\PageIndex{7}\) باب الطاولة
    • الإدخال الأول\(\frac{1}{15}=\left(\frac{1}{5}\right)\left(\frac{1}{3}\right)\) هو\(P(Door One\cap Caught)\)
    • الإدخال\(\frac{4}{15}=\left(\frac{4}{5}\right)\left(\frac{1}{3}\right)\) هو\(P(Door One\cap Not Caught)\)

    تحقق من الإدخالات المتبقية.

    أ - أكمل جدول الاحتمالات الاحتمالية. احسب إدخالات الإجماليات. تحقق من أن إدخال الزاوية السفلية اليمنى هو 1.

    إجابة

    الحل 3.22

    أ.

    \ (\ pageIndex {8}\) اختيار الباب «>
    تم القبض عليها أم لا باب واحد الباب الثاني باب ثلاثة الإجمالي
    تم القبض \(\frac{1}{15}\) \(\frac{1}{12}\) \(\frac{1}{6}\) \(\frac{19}{60}\)
    لم يتم القبض عليه \(\frac{4}{15}\) \(\frac{3}{12}\) \(\frac{1}{6}\) \(\frac{41} {60}\)
    الإجمالي \(\frac{5}{15}\) \(\frac{4}{12}\) \(\frac{2}{6}\) 1
    اختيار\(\PageIndex{8}\) باب الطاولة

    ب- ما احتمال عدم إصابة أليسا بمودي؟

    إجابة

    الحل 3.22

    ب.\(\frac{41}{60}\)

    ج- ما هو احتمال اختيار مودي للباب الأول\ الباب الثاني بالنظر إلى أن المودي تم القبض عليه من قبل أليسا؟

    إجابة

    الحل 3.22

    ج.\(\frac{9}{19}\)

    مثال\(\PageIndex{23}\)

    \(\PageIndex{9}\)يحتوي الجدول على عدد الجرائم لكل 100,000 ساكن من 2008 إلى 2011 في الولايات المتحدة

    \ (\ pageIndex {9}\) معدلات مؤشر الجريمة في الولايات المتحدة لكل 100,000 نسمة 2008-2011 «>
    عام السرقة السطو الاغتصاب مركبة الإجمالي
    2008 145.7 732.1 29.7 314.7
    2009 133.1 717.7 29.1 259.2
    2010 119.3 701 27.7 239.1
    2011 113.7 702.2 26.8 229.6
    الإجمالي
    جدول: معدلات مؤشر الجريمة في الولايات\(\PageIndex{9}\) المتحدة لكل 100 ألف نسمة 2008 - 2011

    إجمالي كل عمود وكل صف. إجمالي البيانات = 4,520.7

    1. ابحث\(P(2009\cap Robbery)\).
    2. ابحث\(P(2010\cap Burglary)\).
    3. ابحث\(P(2010\cup Burglary)\).
    4. ابحث عن (2011|الاغتصاب).
    5. ابحث عن (مركبة | 2008).
    إجابة

    الحل 3.23

    1. 0.0294
    2. 0.1551
    3. 0.7165
    4. 0.2365
    5. 0.2575

    التمارين الرياضية\(\PageIndex{23}\)

    يوضح\(\PageIndex{10}\) الجدول أوزان وارتفاعات مجموعة من الأفراد المشاركين في دراسة قائمة على الملاحظة.

    \ (\ فهرس الصفحات {10}\) «>
    الوزن/الارتفاع طويل متوسط قصير المجاميع
    بدانة 18 28 14
    عادي 20 51 28
    نقص الوزن 12 25 9
    المجاميع
    طاولة\(\PageIndex{10}\)
    1. ابحث عن الإجمالي لكل صف وعمود
    2. أوجد احتمال أن يكون الفرد الذي تم اختياره عشوائيًا من هذه المجموعة طويل القامة.
    3. أوجد احتمال أن يكون الفرد الذي تم اختياره عشوائيًا من هذه المجموعة بدينًا وطويل القامة.
    4. أوجد احتمال أن يكون الفرد الذي تم اختياره عشوائيًا من هذه المجموعة طويل القامة بالنظر إلى أن الفرد يعاني من السمنة.
    5. أوجد احتمال أن يكون الفرد الذي تم اختياره عشوائيًا من هذه المجموعة مصابًا بالسمنة بالنظر إلى أن الفرد طويل القامة.
    6. أوجد احتمال أن يكون الفرد الذي تم اختياره عشوائيًا من هذه المجموعة طويل القامة ومنخفض الوزن.
    7. هل أحداث السمنة والطول مستقلة؟

    مخططات الشجرة

    في بعض الأحيان، عندما تكون مشاكل الاحتمالات معقدة، قد يكون من المفيد رسم الموقف. يمكن استخدام المخططات الشجرية لتصور وحل الاحتمالات الشرطية.

    مخططات الشجرة

    مخطط الشجرة هو نوع خاص من الرسوم البيانية المستخدمة لتحديد نتائج التجربة. وتتكون من «فروع» يتم تصنيفها إما بالترددات أو الاحتمالات. يمكن للمخططات الشجرية أن تسهل تصور بعض المشكلات الاحتمالية وحلها. يوضح المثال التالي كيفية استخدام مخطط الشجرة.

    مثال\(\PageIndex{24}\)

    في الجرة، هناك 11 كرة. ثلاث كرات حمراء (R) وثماني كرات زرقاء (B). ارسم كرتين، واحدة في كل مرة، مع الاستبدال. تعني عبارة «مع الاستبدال» أنك تعيد الكرة الأولى إلى الجرة قبل اختيار الكرة الثانية. فيما يلي مخطط الشجرة باستخدام الترددات التي تعرض جميع النتائج المحتملة.

    هذا مخطط شجري بفروع توضح ترددات كل سحب. يعرض الفرع الأول سطرين: 8B و 3R. يحتوي الفرع الثاني على مجموعة من سطرين (8B و 3R) لكل سطر من الفرع الأول. اضرب على طول كل سطر للعثور على 64BB و 24BR و 24RB و 9RR.
    \(\PageIndex{2}\)مجموع الشكل = 64 + 24 + 24 + 9 = 121

    تمثل المجموعة الأولى من الفروع السحب الأول. تمثل المجموعة الثانية من الفروع السحب الثاني. كل نتيجة متميزة. في الواقع، يمكننا إدراج كل كرة حمراء كـ R1 و R2 و R3 وكل كرة زرقاء مثل B1 و B2 و B3 و B4 و B5 و B6 و B7 و B8. ثم يمكن كتابة نتائج RR التسعة على النحو التالي:

    R1R1؛ R1R2؛ R1R3؛ R2R1؛ R2R2؛ R2R3؛ R3R1؛ R3R2؛ R3R3

    النتائج الأخرى متشابهة.

    هناك ما مجموعه 11 كرة في الجرة. ارسم كرتين، واحدة تلو الأخرى، مع الاستبدال. هناك 11 (11) = 121 نتيجة، حجم مساحة العينة.

    أ. قم بإدراج نتائج BR الـ 24: B1R1، B1R2، B1R3،...

    إجابة

    الحل 3.24

    أ. B1R1؛ B1R3؛ B2R3؛ B2R2؛ B2R3؛ B3R3؛ B3R2؛ B3R2؛ B3R3؛ B4R1؛ B4R3؛ B4R3؛ B5R2؛ B5R3؛ B6R2؛ B6R3؛ B7R1؛ B7R2؛ B7R3؛ B7R2؛ B7R3؛ B7R2؛ B7R3؛ B7R3؛ B7R2؛ B7R3؛ B1؛ B8R2؛ B8R3

    ب- باستخدام الرسم التخطيطي الشجري، احسب P (RR).

    إجابة

    الحل 3.24

    ب. (الموارد العادية) =\(\left(\frac{3}{11}\right)\left(\frac{3}{11}\right) = \frac{9}{121}\)

    ج. باستخدام مخطط الشجرة، قم بحساب P (RB\ كوب BR) (RB\ cup BR).

    إجابة

    الحل 3.24

    ج.\(P(RB\cup BR)\) =\(\left(\frac{3}{11}\right)\left(\frac{8}{11}\right)+\left(\frac{8}{11}\right)\left(\frac{3}{11}\right)=\frac{48}{121}\)

    د. باستخدام مخطط الشجرة، قم بالحساب\(P(Ron 1st draw\cap Bon 2nd draw)\).

    إجابة

    الحل 3.24

    د.\(P(Ron 1st draw\cap Bon 2nd draw) = \left(\frac{3}{11}\right)\left(\frac{8}{11}\right)=\frac{24}{121}\)

    هـ. باستخدام مخطط الشجرة، قم بحساب P (R في السحب الثاني | b في السحب الأول).

    إجابة

    الحل 3.24

    هـ. P (R عند السحب الثاني | ب في السحب الأول) = P (R على 2nd|b في الأول) =\(\frac{24}{88} = \frac{3}{11}\)

    هذه المشكلة مشروطة. تم تقليل مساحة العينة إلى تلك النتائج التي تحتوي بالفعل على اللون الأزرق في السحب الأول. هناك 24 + 64 = 88 نتيجة محتملة (24 BR و 64 BB). أربعة وعشرون من 88 نتيجة محتملة هي BR. \(\frac{24}{88} = \frac{3}{11}\).

    f. باستخدام مخطط الشجرة، قم بحساب P (BB).

    إجابة

    الحل 3.24

    F. (BB) =\(\frac{64}{121}\)

    g. باستخدام مخطط الشجرة، قم بحساب P (B في السحب الثاني|R في السحب الأول).

    إجابة

    الحل 3.24

    ز. P (B في السحب الثاني | r في السحب الأول) =\(\frac{8}{11}\)

    هناك 9 + 24 نتيجة حصلت على R في السحب الأول (9 RR و 24 RB). ثم تكون مساحة العينة 9 + 24 = 33. 24 من أصل 33 نتيجة لها B في السحب الثاني. الاحتمال هو إذن\(\frac{24}{33}\).

    التمارين الرياضية\(\PageIndex{24}\)

    في المجموعة القياسية، هناك 52 بطاقة. 12 بطاقة هي بطاقات وجه (الحدث F) و 40 بطاقة ليست بطاقات وجه (الحدث N). ارسم بطاقتين، واحدة في كل مرة، مع الاستبدال. يتم عرض جميع النتائج المحتملة في مخطط الشجرة على شكل ترددات. باستخدام مخطط الشجرة، قم بحساب P (FF).

    هذا مخطط شجري بفروع توضح ترددات كل سحب. يعرض الفرع الأول سطرين: 12F و 40N. يحتوي الفرع الثاني على مجموعة من سطرين (12F و 40N) لكل سطر من الفرع الأول. اضرب على طول كل سطر للعثور على 144FF و 480FN و 480NF و 1,600NN.
    الشكل\(\PageIndex{3}\)

    مثال\(\PageIndex{25}\)

    تحتوي الجرة على ثلاث كرات حمراء وثماني كرات زرقاء. ارسم كرمتين، واحدة تلو الأخرى، هذه المرة بدون استبدال، من الجرة. تعني عبارة «بدون استبدال» أنك لا تعيد الكرة الأولى قبل اختيار الرخام الثاني. فيما يلي مخطط شجري لهذا الموقف. يتم تصنيف الفروع بالاحتمالات بدلاً من الترددات. يتم حساب الأرقام في نهايات الفروع بضرب الأرقام في الفرعين المطابقين، على سبيل المثال،\(\left(\frac{3}{11}\right)\left(\frac{2}{10}\right)=\frac{6}{110}\).

    هذا مخطط شجري بفروع توضح احتمالات كل سحب. يعرض الفرع الأول سطرين: B 8/11 و R 3/11. يحتوي الفرع الثاني على مجموعة من سطرين لكل سطر فرعي أول. يوجد أدناه B 8/11 B 7/10 و R 3/10. يوجد أدناه R 3/11 B 8/10 و R 2/10. اضرب على طول كل سطر للعثور على BB 56/110 و BR 24/110 و RB 24/110 و RR 6/110.
    الشكل\(\PageIndex{4}\) الإجمالي =\(\frac{56+24+24+6}{110}=\frac{110}{110}=1\)

    ملاحظة

    إذا قمت برسم أحمر على السحب الأول من الاحتمالات الحمراء الثلاثة، فهناك كرمتان باللون الأحمر متبقتان للرسم في السحب الثاني. لا يمكنك إعادة أو استبدال الرخام الأول بعد رسمه. يمكنك الرسم بدون استبدال، بحيث يتبقى في السحب الثاني عشر كرات رخامية في الجرة.

    احسب الاحتمالات التالية باستخدام مخطط الشجرة.

    أ. P (RR) = ________

    إجابة

    الحل 3.25

    أ. (الموارد العادية) =\(\left(\frac{3}{11}\right)\left(\frac{2}{10}\right)=\frac{6}{110}\)

    ب- املأ الفراغات:

    \(P(RB\cup BR) = \left(\frac{3}{11}\right)\left(\frac{8}{10}\right)\)+ (___) (___) =\(\frac{48}{110}\)

    إجابة

    الحل 3.25

    ب.\(P(RB\cup BR) = \left(\frac{3}{11}\right)\left(\frac{8}{10}\right)+\left(\frac{8}{11}\right)\left(\frac{3}{10}\right)=\frac{48}{110}\)

    ج. (R في 2nd|b في الأول) =

    إجابة

    الحل 3.25

    ج. (R في 2nd|b في الأول) =\(\frac{3}{10}\)

    د. املأ الفراغات.

    \(P(Ron 1st\cap Bon 2nd)\)= (___) (___) =\(\frac{24}{100}\)

    إجابة

    الحل 3.25

    د.\(P(R \text{ on 1st }\cap B \text{ on 2nd}) = \left(\frac{3}{11}\right)\left(\frac{8}{10}\right)=\frac{24}{110}\)

    على سبيل المثال، ابحث عن (PBB).

    إجابة

    الحل 3.25

    (هـ) (BB) =\(\left(\frac{8}{11}\right)\left(\frac{7}{10}\right)\)

    f. ابحث عن P (B في 2nd|r في الأول).

    إجابة

    الحل 3.25

    f. باستخدام مخطط الشجرة، P (B على 2nd|r في 1) = P (R|B) =\(\frac{8}{10}\).

    إذا كنا نستخدم الاحتمالات، يمكننا تسمية الشجرة بالطريقة العامة التالية.

    هذا مخطط شجري لتجربة من خطوتين. يظهر الفرع الأول النتيجة الأولى: P (B) و P (R). يحتوي الفرع الثاني على مجموعة من سطرين لكل سطر من الفرع الأول: احتمال B المعطى B = P (BB)، واحتمال R المعطى B = P (RB)، واحتمال B المعطى R = P (BR)، واحتمال R المعطى R = P (RR).

    • P (R | R) هنا يعني P (R على 2nd|r في الأول)
    • P (B|R) هنا يعني P (B على 2nd|r في الأول)
    • P (R | B) هنا يعني P (R على 2nd|b في الأول)
    • P (B | B) هنا يعني P (B على 2nd|b في الأول)

    التمارين الرياضية\(\PageIndex{25}\)

    في المجموعة القياسية، هناك 52 بطاقة. 12 بطاقة هي بطاقات وجه (F) و 40 بطاقة ليست بطاقات وجه (N). ارسم بطاقتين، واحدة تلو الأخرى، بدون استبدال. تم تسمية مخطط الشجرة بكل الاحتمالات الممكنة.

    هذا مخطط شجري بفروع توضح ترددات كل سحب. يُظهر الفرع الأول سطرين: F 12/52 و N 40/52. يحتوي الفرع الثاني على مجموعة من سطرين (F 11/52 و N 40/51) لكل سطر من الفرع الأول. اضرب على طول كل سطر للعثور على FF 121/2652 و FN 480/2652 و NF 480/2652 و NN 1560/2652.
    الشكل\(\PageIndex{5}\)
    1. ابحث\(P(FN\cup NF)\).
    2. ابحث عن (P | F).
    3. ابحث عن P (بطاقة وجه واحدة على الأكثر).
      تلميح: «بطاقة وجه واحدة على الأكثر» تعني صفر أو بطاقة وجه واحدة.
    4. ابحث عن P (على الأقل على بطاقة الوجه).
      تلميح: «بطاقة وجه واحدة على الأقل» تعني بطاقة وجه واحدة أو اثنتين.

    مثال\(\PageIndex{26}\)

    تحتوي مجموعة صغيرة من القطط الصغيرة المتاحة للتبني في جمعية Humane Society على أربع قطط صغيرة وخمس قطط سوداء. تأتي الأسرة وتختار قطتين بشكل عشوائي (بدون بديل) للتبني.

    هذا مخطط شجري بفروع توضح احتمالات اختيارات القطط. يظهر الفرع الأول سطرين: T 4/9 و B 5/9. يحتوي الفرع الثاني على مجموعة من سطرين لكل سطر فرعي أول. تحت T 4/9 هي T 3/8 و B 5/8. أدناه B 5/9 هي T 4/8 و B 4/8. اضرب على طول كل سطر للعثور على احتمالات التركيبات الممكنة.
    1. ما احتمال أن تكون كلتا القطتين صغيرتين صغيرتين؟

      \(a \cdot\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right) b \cdot\left(\frac{4}{9}\right)\left(\frac{4}{9}\right) c \cdot\left(\frac{4}{9}\right)\left(\frac{3}{8}\right) d \cdot\left(\frac{4}{9}\right)\left(\frac{5}{9}\right)\)
    2. ما احتمال اختيار قطة واحدة من كل تلوين؟

      أ.\(\left(\frac{4}{9}\right)\left(\frac{5}{9}\right)\) ب.\(\left(\frac{4}{9}\right)\left(\frac{5}{8}\right)\) ج.\(\left(\frac{4}{9}\right)\left(\frac{5}{9}\right)+\left(\frac{5}{9}\right)\left(\frac{4}{9}\right)\) د.\(\left(\frac{4}{9}\right)\left(\frac{5}{8}\right)+\left(\frac{5}{9}\right)\left(\frac{4}{8}\right)\)
    3. ما احتمال اختيار قطة صغيرة لتكون القطة الثانية عند اختيار قطة سوداء كأول؟
    4. ما احتمال اختيار قطتين من نفس اللون؟
    إجابة

    الحل 3.26

    أ. ج، ب. د، ج\(\frac{4}{8}\)، د.\(\frac{32}{72}\)

    التمارين الرياضية\(\PageIndex{26}\)

    لنفترض أن هناك أربع كرات حمراء وثلاث كرات صفراء في صندوق. يتم سحب كرتين من الصندوق بدون استبدال. ما احتمال اختيار كرة واحدة من كل لون؟